載流長(zhǎng)直螺線管和螺繞環(huán)的磁場(chǎng)對(duì)稱性分析

余仕成,周金華

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

在很多應(yīng)用問(wèn)題中會(huì)涉及到磁場(chǎng)分布[1]，而均勻密繞的載流長(zhǎng)直螺線管和螺繞環(huán)的磁場(chǎng)分布既是技術(shù)應(yīng)用中常見(jiàn)的磁場(chǎng)分布，又是大學(xué)物理中磁場(chǎng)理論的典型問(wèn)題.在一般大學(xué)物理教材[2-5]中，都是根據(jù)磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性利用磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理來(lái)求解，而在有關(guān)對(duì)稱性的討論中，其方向?qū)ΨQ性都沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明,本文利用畢奧-薩伐爾定律和磁場(chǎng)疊加原理對(duì)載流長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)方向?qū)ΨQ性和載流螺繞環(huán)的磁場(chǎng)方向?qū)ΨQ性進(jìn)行了分析與證明.

1 載流長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)方向

長(zhǎng)直螺線管是一個(gè)理想模型，其長(zhǎng)度當(dāng)作無(wú)限長(zhǎng)，通電導(dǎo)線是均勻密繞的.在理論分析時(shí)可看作是有很多的圓電流所構(gòu)成的.因?yàn)殡娏骶哂休S對(duì)稱，所以，磁場(chǎng)方向也具有對(duì)稱性：螺線管內(nèi)任意點(diǎn)的磁場(chǎng)方向都與管軸平行.

圖1 載流長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)方向

如圖1所示，任取一點(diǎn)P，到軸線的距離為r.建立直角坐標(biāo)系，z軸沿螺線管的中心軸線，y軸過(guò)P點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,r,0).取兩個(gè)圓電流O′和O″，它們到O點(diǎn)的距離都為z；在圓電流O′和O″的對(duì)應(yīng)位置A′和A″處各取一相同的電流元Idl，I是圓電流的強(qiáng)度.A′和A″的坐標(biāo)可表示為A′(Rcosθ,Rsinθ,-z)和A″(Rcosθ,Rsinθ,z)，而Idl=Idl(-sinθi+cosθj).根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，A′處的電流元Idl在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

其中μ0為真空磁導(dǎo)率,r′=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j+zk為由A′指向P的矢量，r′為A′點(diǎn)到P點(diǎn)的距離.而A″處的電流元Idl在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

其中r″=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j-zk為由A″指向P的矢量，r″為A″點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，且r″=r′.由磁場(chǎng)的疊加原理，可得兩電流元在P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(3)

而r′+r″=-2Rcosθi+2(r-Rsinθ)j

Idl×(r′+r″)=

代入(3)式得

(4)

即dB的方向沿螺線管的軸線方向.對(duì)于長(zhǎng)直螺線管來(lái)說(shuō)，圓電流是成對(duì)的，電流元也是成對(duì)的，所以P處的磁場(chǎng)方向必平行于螺線管的軸線方向.

2 載流螺繞環(huán)的磁場(chǎng)方向

均勻密繞的螺繞環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖2所示，也可看作是有很多的圓電流所構(gòu)成的.設(shè)螺繞環(huán)的中心軸線圓的半徑為R，環(huán)管截面圓的半徑(即圓電流的半徑)為r.如圖3所示，建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O在螺繞環(huán)的幾何對(duì)稱中心點(diǎn)，z軸豎直向上；任取一P點(diǎn)，使xoz平面通過(guò)P點(diǎn)(P點(diǎn)即可以在環(huán)管內(nèi)部，也可以在環(huán)管外部)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,0,z).任取兩個(gè)關(guān)于xoz平面對(duì)稱的圓電流O1和O2，其圓平面與xoz平面的夾角都為θ；作P點(diǎn)與圓O1和O2的垂直線，垂直線與O1和O2圓平面的交點(diǎn)分別為P1和P2，設(shè)直線O1P1與直線OO1的夾角為α，則直線O2P2與直線OO2的夾角也為α；在圓電流O1、O2的對(duì)應(yīng)位置A1、A2分別取大小相等的電流元Idl1、Idl2，半徑O1A1與O1P1的夾角為φ，半徑O2A2與O2P2的夾角也為φ.A1、A2的位置坐標(biāo)分別為A1(x1,-y1,z1)、A2(x1,y1,z1)，其中x1=(R+rcos(α+φ))cosθ、y1=(R+rcos(α+φ))sinθ、z1=rsin(α+φ)；電流元Idl1、Idl2分別表示為Idl1=a1i+b1j+c1k、Idl2=a1i-b1j+c1k，其中a1=-Idlsin(α+φ)×cosθ、b1=-Idlsin(α+φ)sinθ、c1=Idlcos(α+φ).根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Idl1在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖2 螺繞環(huán)

圖3 載流螺繞環(huán)的磁場(chǎng)方向

(5)

其中r1=a2i+b2j+c2k為由A1指向P的矢量，r1為A1點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，而a2=x-x1、b2=y1、c2=z-z1.而電流元Idl2在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(6)

其中r2=a2i-b2j+c2k為由A2指向P的矢量，r2為A2點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，且r2=r1.由磁場(chǎng)的疊加原理，可得兩電流元Idl1和Idl2在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(7)

而

(a1c2-a2c1)j+(a1b2-a2b1)k

則Idl1×r1+Idl2×r2=-2(a1c2-a2c1)j

將上式代入(7)式得

(8)

由于螺繞環(huán)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，上述電流元和圓電流都是成對(duì)出現(xiàn)的，所以P的磁場(chǎng)方向沿著通過(guò)P點(diǎn)的圓(圓心在z軸上且圓平面與 軸垂直)的切線方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]余仕成.一個(gè)電磁感應(yīng)演示實(shí)驗(yàn)的分析與計(jì)算[J].武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(2):94-96.

[2]吳錫瓏.大學(xué)物理教程(第二冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，1999:258-259.

[3]黃祝明，吳鋒.大學(xué)物理學(xué)(上冊(cè))[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2008:214-214.

[4]程守洙，江之永.普通物理學(xué)(第二冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，1998:231-232.

[5]張三慧.電磁學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999:261-262.