一類具有球面葉層結(jié)構(gòu)的二次廣義Hamilton系統(tǒng)的分支結(jié)構(gòu)

陳 強(qiáng), 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

隨著人類認(rèn)識(shí)、改造和利用自然能力的不斷提高以及實(shí)際應(yīng)用的需要，經(jīng)常需處理大量非線性問題.Hamilton系統(tǒng)是非線性科學(xué)研究中的一個(gè)重要領(lǐng)域，它的產(chǎn)生與發(fā)展具有深刻的實(shí)際背景[1].經(jīng)典的Hamilton系統(tǒng)都是在偶數(shù)維相空間上定義的，這種結(jié)構(gòu)雖然具有很好的性質(zhì)，也有豐富的研究成果和實(shí)際應(yīng)用[2]，但也限制了其應(yīng)用范圍.為了使Hamilton系統(tǒng)的觀點(diǎn)和方法能應(yīng)用于實(shí)際研究中廣泛存在的奇數(shù)維系統(tǒng)(一個(gè)最經(jīng)典的例子是自由剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的Euler方程，其相空間是3維的，由3個(gè)角動(dòng)量軸構(gòu)成)，人們對(duì)經(jīng)典的Hamilton系統(tǒng)進(jìn)行了擴(kuò)展，從而提出了廣義Hamilton系統(tǒng)的概念[3].廣義Hamilton系統(tǒng)是通過廣義Poisson括號(hào)定義的，而廣義Poisson括號(hào)是去掉非退化條件限制的Poisson括號(hào).因此，用廣義Hamilton系統(tǒng)可以研究奇數(shù)階的非線性系統(tǒng).廣義Hamilton系統(tǒng)的Poisson流形(具有廣義Poisson括號(hào)結(jié)構(gòu)的流形)表示法是一種十分方便、有用的表示法.所以，Hamilton系統(tǒng)已由經(jīng)典的(偶數(shù)維)形式推廣為廣義形式(任意維).

廣義Hamilton系統(tǒng)作為經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的推廣，可以作為描述包括奇數(shù)維系統(tǒng)在內(nèi)的更加廣泛的非線性動(dòng)力學(xué)問題的模型，在機(jī)械工程、光學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域中都有很多的應(yīng)用，其中很大的一類是具有球面葉層結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)[2,4-5].在許多實(shí)際模型中,這種具有球面葉層結(jié)構(gòu)的Hamilton系統(tǒng)模型，其Hamilton函數(shù)常以二次函數(shù)的形式居多.文獻(xiàn)[6]已證明，對(duì)它的研究可以歸結(jié)為對(duì)以下5類Hamilton函數(shù)所對(duì)應(yīng)的廣義Hamilton系統(tǒng)的研究：

1)H=w;

迄今為止，對(duì)前4種情況，相應(yīng)的廣義Hamilton系統(tǒng)在球面葉層上的平衡點(diǎn)分叉及其全局相圖已被完全研究清楚[7-9].但對(duì)Hamilton函數(shù)中含4個(gè)參數(shù)的第5種情況，正如文獻(xiàn)[10]指出的，其對(duì)應(yīng)的廣義Hamilton系統(tǒng)在球面葉層上的分叉及相圖還未見相關(guān)報(bào)道.

基于此,筆者利用微分方程定性理論與動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論(特別是Hamilton系統(tǒng)相圖分析技巧)研究了第5類Hamilton函數(shù)在λ=1時(shí)所對(duì)應(yīng)的具有球面葉層的廣義Hamilton系統(tǒng)，仔細(xì)分析了平衡點(diǎn)分叉及穩(wěn)定性，獲得了完整的全局相圖分類.

1 平衡點(diǎn)分叉及穩(wěn)定性分析

(1)

此時(shí)的Casimir函數(shù)為G(u,v,w)?u2+v2+w2,其水平集是以(0,0,0)為中心的球面，記為ML={(u,v,w)|u2+v2+w2=L2}.由于C≠0,故可將式(1)改寫為

(2)

(3)

由上述討論可知,只需對(duì)系統(tǒng)(1)在C=1時(shí)的參數(shù)進(jìn)行討論即可,即

(4)

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化研究其相圖的性質(zhì)，作如下對(duì)稱變換：

(u,A)→(-u,-A);(v,B)→(-v,-B).

顯然,系統(tǒng)(1)在此變換下保持H不變，說明只需要對(duì)參數(shù)A≥0且B≥0的情況進(jìn)行討論即可.

下面考慮系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性隨參數(shù)變化的分叉性質(zhì).由系統(tǒng)(4)的相空間具有葉層結(jié)構(gòu)的性質(zhì)以及Casimir函數(shù)可知，其平衡點(diǎn)由以下方程組確定:

(5)

經(jīng)過化簡(jiǎn)可得平衡點(diǎn)(u,v,w)的分量v滿足分叉方程

F(v)=A2v2(λv+B)2+v2[(λ-1)v+B]2+

(v2-L2)[(λ-1)v+B]2(λv+B)2.

(6)

與方程F(v)=0的根ve對(duì)應(yīng),可以得到系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we),其中

(7)

為了弄清系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)q的穩(wěn)定性，給出其Jacobi矩陣

其相應(yīng)的特征方程為

|τI-Ja|=Bτ+τ3=0.

其中

B=ue(ve(λ-1)(-1-λ+2weλ)+

B(-we-λ+2weλ))+A(Bwe(λ-1)+

ve(1+we(λ-2)λ))+(-1-A2-

Bve(2λ-1)).

(8)

由此特征方程易知其3個(gè)根為:

根據(jù)微分定性理論[11]和廣義Hamilton系統(tǒng)的性質(zhì)可得命題1.

命題1平衡點(diǎn)類型與B的關(guān)系如下：

1)當(dāng)B<0時(shí),τ2,3為一對(duì)實(shí)數(shù)根,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)為鞍點(diǎn);

2)當(dāng)B=0時(shí),τ1,2,3為三重零根,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)為尖點(diǎn);

3)當(dāng)B>0時(shí),τ2,3為一對(duì)純虛根,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)為中心.

根據(jù)前面的討論可知，系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)是由分叉方程(6)的解決定，而B的符號(hào)也是由分叉方程(6)的解決定.因此，接下來就討論分叉方程的零根的個(gè)數(shù)隨參數(shù)變化的分布情況.

考慮到分叉方程的復(fù)雜性， 筆者僅對(duì)λ=1的情形進(jìn)行討論.

當(dāng)λ=1時(shí),其特征方程為

定理1

1)當(dāng)ve>v*時(shí),B1>0,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且是個(gè)中心；

2)當(dāng)ve=v*時(shí),B1=0,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)q=(ue,ve,we)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且是個(gè)尖點(diǎn)；

3)當(dāng)ve

接下來利用定理1判別在不同參數(shù)條件下系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和類型.

當(dāng)λ=1時(shí)，此時(shí)關(guān)于v的多項(xiàng)式函數(shù)變?yōu)?/p>

F(v)=A2v2(v+B)2+v2B2+

(v2-L2)B2(v+B)2=

(A+B)2v2(v+B)2+v2B2-

L2B2(v+B)2.

則可分析得到：

1)當(dāng)0

①當(dāng)0v*,所以f1(v)=f2(v)的2個(gè)根v(1),v(2)>v*,因此，2個(gè)平衡點(diǎn)e1,e2都為穩(wěn)定平衡點(diǎn),并且為2個(gè)中心.

②當(dāng)1≤L-B>v*,所以2個(gè)平衡點(diǎn)e1,e2都為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且為2個(gè)中心.

2)當(dāng)L=M時(shí),由多項(xiàng)式根的分布可知f1(v)與f2(v)有1個(gè)切點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)，多項(xiàng)式函數(shù)f1(v)與f2(v)的圖像如圖3所示.因?yàn)閒1(v)=f2(v)有3個(gè)根v=v(1),v(2),v(3)(切點(diǎn))，v(1),v(2)>-B>v*,所以2個(gè)為穩(wěn)定平衡點(diǎn).當(dāng)v=v(3)時(shí)，B1=0,所以也為穩(wěn)定平衡點(diǎn)(尖點(diǎn)).即此時(shí)有3個(gè)平衡點(diǎn)e1,e2和e3，且都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且是2個(gè)平衡點(diǎn)e1,e2為中心、1個(gè)平衡點(diǎn)e3為尖點(diǎn).

圖1 0

圖3 L=M時(shí)f1(v)與f2(v)交點(diǎn)及根的分布圖 圖4 L>M時(shí)f1(v)與f2(v)交點(diǎn)及根的分布圖

3)當(dāng)L>M時(shí),由多項(xiàng)式根的分布可知f1(v)與f2(v)有且僅有4個(gè)交點(diǎn),即此時(shí)有4個(gè)平衡點(diǎn)，多項(xiàng)式函數(shù)f1(v)與f2(v)的圖像如圖4所示.設(shè)f1(v)=f2(v)的4個(gè)根為v(1),v(2),v(3),v(4).由函數(shù)f1(v)與f2(v)圖像可知，v(4)v*，而v(4)

2 球面葉層上的全局相圖

有了前面的平衡點(diǎn)分叉及穩(wěn)定性分析,就可以研究系統(tǒng)(4)的球面葉層上的全局相圖.由前面的參數(shù)分析可得:

1)當(dāng) 0

如圖5(a)所示,e1和e2為系統(tǒng)(4)的2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且都為中心.

2)當(dāng)L=M時(shí),系統(tǒng)(4)的相圖為2個(gè)中心、1個(gè)尖點(diǎn).

如圖5(b)所示，e1,e2和e3為系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，e1,e2為中心,e3為尖點(diǎn).

3)當(dāng)L>M時(shí),系統(tǒng)(4)的相圖為3個(gè)中心、1個(gè)鞍點(diǎn).

如圖5(c)所示，e1,e2和e3為系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，e4為系統(tǒng)(4)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn),e1,e2和e3為中心，e4為鞍點(diǎn).

(a)2個(gè)中心 (b)2個(gè)中心1個(gè)尖點(diǎn) (c)3個(gè)中心1個(gè)鞍點(diǎn)

3 小 結(jié)

利用微分方程定性理論與動(dòng)力系統(tǒng)分叉理論研究了二次Hamilton函數(shù)在λ=1時(shí)對(duì)應(yīng)的具有球面葉層結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)，仔細(xì)分析了平衡點(diǎn)分叉及穩(wěn)定性性質(zhì)，獲得了對(duì)應(yīng)的全局相圖分類.但是,對(duì)此類二次廣義Hamilton系統(tǒng)更一般的情況(λ≠1)還有待于進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]Arnold V I.Dynamical systems Ⅲ[M].Berlin:Springer-Verlag,1988.

[2]Arnold V I.Mathematical methods of classical mechanics[M].2nd ed.New York:Springer-Verlag,1989.

[3]李繼彬,趙曉華,劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[4]Pyshchev A P.Classical approach to effective rotational energy and bifurcation in rotational dynamics ofH2Xmolecules[J].Physical Review A,2003,68(4):1-10.

[5]Zhilinski B I.Symmetry invariants and topology in molecular models[J].Physics Reports,2001,341(1/2/3/4/5/6):85-171.

[6]Frauendiener J.Quadratic Hamiltonians on the unit sphere[J].Mech Res Commun,1995,22(4):313-317.

[7]Lanchares V,Elipe A.Bifurcations in biparametric quadratic potentials[J].Chaos,1995,5(2):367-373.

[8]Lanchares V,Elipe A.Bifurcations in biparametric quadratic potentials Ⅱ[J].Chaos,1995,5(3):531-535.

[9]Lanchares V,Inarrea M,Salas J P,et al.Surfaces of bifurcation in a triparametric quadratic Hamiltonian[J].Physical Review E,1995,52(5):5540-5548.

[10]Elipe A,Lanchares V.Exact solution of a triaxial gyrostat with one rotor[J].Celest Mech Dyn Astr,2008,101(1/2):49-68.

[11]張芷芬,丁同仁,黃文灶,等.微分方程定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1985.