擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的設(shè)定方法

王 重，劉黎明

（首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 100026）

1 問題提出

構(gòu)建經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型研究經(jīng)濟(jì)問題，首先確定研究對(duì)象，然后分析研究對(duì)象，確定影響研究對(duì)象的變量；根據(jù)變量之間的相互關(guān)系，確定經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的結(jié)構(gòu)解析式；而后利用搜集到的數(shù)據(jù)估計(jì)模型未知參數(shù)；最后，對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，模型通過檢驗(yàn)后，就可以利用經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。

經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的變量選取，模型結(jié)構(gòu)解析式的確定需要經(jīng)濟(jì)理論和先驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)研究，模型檢驗(yàn)是經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型能夠解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的保證。經(jīng)典線性模型中的檢驗(yàn)中有擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、模型系數(shù)檢驗(yàn)、模型總體檢驗(yàn)。三個(gè)檢驗(yàn)方法中，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和模型總體檢驗(yàn)主要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度，模型通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，才可以進(jìn)行系數(shù)檢驗(yàn)。

2 模型檢驗(yàn)存在的問題

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)最早由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K·皮爾遜提出，皮爾遜明確指出統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅僅研究樣本，而是根據(jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷。模型檢驗(yàn)是構(gòu)建模型過程中重要的一環(huán)。經(jīng)典的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)通過構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行模型假設(shè)檢驗(yàn)。模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，模型假設(shè)和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造以數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)為基礎(chǔ)。經(jīng)典的模型檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)，并且還需檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂傮w顯著性。

回歸擬合度評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量：

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)回歸模型的擬合程度，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是模型系數(shù)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)，在模型通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)后，才可進(jìn)行模型系數(shù)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度被證明存在問題，Anscombe在1973年給出了四組著名數(shù)據(jù)，證明了R2不能充分檢驗(yàn)回歸模型擬合情況，統(tǒng)計(jì)量R2無法充分反映模型的擬合程度，使用統(tǒng)計(jì)量R2無法有效的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度。

表1中數(shù)據(jù)被分為四組，G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G3(x3,y3)，G4(x2,y4)，對(duì)這四組數(shù)據(jù)進(jìn)行一元線性回歸。設(shè)定模型：

y=β0+β1x+ε

采用最小二乘法估計(jì)模型，得到模型參數(shù)和模型的主要統(tǒng)計(jì)量。

表1 Anscombe數(shù)據(jù)

表2 各數(shù)據(jù)組模型統(tǒng)計(jì)量

表3 各組數(shù)據(jù)估計(jì)模型殘差表

從表2可以看出，數(shù)據(jù)組G1，G2，G3的模型參數(shù)估計(jì)值和模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量基本一致，0.7。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值不是很高，但還是不能否認(rèn)R2本身存在的問題。四組數(shù)據(jù)擬合模型，我們得到相似的回歸方程，但數(shù)據(jù)卻存在很大差別。

如圖1所示，模型y=3+0.5x對(duì)于數(shù)據(jù)組G1與G3的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.7，基本可以擬合，但是對(duì)于數(shù)據(jù)組G2，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也是0.7，擬合效果就要差很多，因此單獨(dú)利用R2檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度是欠妥的。

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2不能夠很好檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合情況，這與統(tǒng)計(jì)量 R2的構(gòu)造有關(guān)。 R2中包含有(Y-)與(Y^-)，獲得自變量數(shù)值的方式不同，也就具有不同的含義。自變量Y數(shù)據(jù)來源有兩種方式，第一類是通過可重復(fù)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)。例如：在常溫，常壓狀態(tài)下，某工廠測量合金A的強(qiáng)度，對(duì)合金A施加100000牛沖擊力，實(shí)驗(yàn)3萬次，合金A的3萬次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)記錄下來，測算合金A的強(qiáng)度。合金A的強(qiáng)度為研究對(duì)象，構(gòu)造模型y=p×s+ε，利用數(shù)理方法，估計(jì)合金A的強(qiáng)度?？芍貜?fù)實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)，可以保證實(shí)驗(yàn)條件的穩(wěn)定性，把外界的干擾控制到最低。在實(shí)驗(yàn)中，可以精確的控制每一個(gè)Y影響研究對(duì)象的變量。本例中，可以精確的控制溫度、壓強(qiáng)、沖擊力。此時(shí)R2的就是試驗(yàn)觀測數(shù)值得均值，并且與每一個(gè)十分接近，此時(shí)R2作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度不是很合適。第二類是不可重復(fù)性試驗(yàn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。在經(jīng)濟(jì)問題的研究中，我們得到大量無法重復(fù)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。例如：為了研究某地區(qū)的消費(fèi)規(guī)律，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料查到該地區(qū)人均收入、人均儲(chǔ)蓄和人均消費(fèi)1981年到2002年的年度數(shù)據(jù)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，估計(jì)人均收入、人均儲(chǔ)蓄對(duì)人均消費(fèi)的影響程度。人均消費(fèi)作為研究對(duì)象，記錄縱向年度不同時(shí)刻變量的值，利用這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建模型研究人均收入、人均儲(chǔ)蓄與人均消費(fèi)的關(guān)系。構(gòu)建面板數(shù)據(jù)模型，存在個(gè)自變量，研究面板數(shù)據(jù)研究自變量與因變量的關(guān)系，面板數(shù)據(jù)收集時(shí)，n個(gè)自變量與因變量同時(shí)變化，這時(shí)就變成自變量Y的算術(shù)平均值，并不能保證與每一個(gè)Y十分接近，那么借助R2與對(duì)模型進(jìn)行擬合的檢驗(yàn)就可能出現(xiàn)Anscombe所論證的問題。

3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度可以構(gòu)建新的統(tǒng)計(jì)量，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可以設(shè)定為：

模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是檢驗(yàn)設(shè)定模型的擬合程度，檢驗(yàn)擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該實(shí)際反映模型的擬合水平。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度，殘差是良好的統(tǒng)計(jì)量，使用殘差必須消除殘差的量綱影響，統(tǒng)計(jì)量αi消除量綱影響，殘差表示估計(jì)值與真實(shí)值之間的差別，殘差除以真實(shí)值表示殘差占真實(shí)值的比率。

模型因變量與自變量關(guān)系穩(wěn)定，確定模型變量之間的函數(shù)關(guān)系，yi服從正態(tài)分布。模型因變量服從正態(tài)分布，不可采用擬合優(yōu)度X2統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合優(yōu)度。估計(jì)模型函數(shù)關(guān)系確定后，構(gòu)造模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)X2統(tǒng)計(jì)量

模型假設(shè) εi服從獨(dú)立正態(tài)分布，εi～N（0，σ2），計(jì)算 X2統(tǒng)計(jì)量，必須知道殘差的方差 σ 的值，在 εi～N（0，σ2）的前提假設(shè)條件下，采用無偏統(tǒng)計(jì)量σ^2代替，代入X2統(tǒng)計(jì)量，得到X2(n-k-1)=n-k-1，因此X2統(tǒng)計(jì)量無法作為模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。模型總體檢驗(yàn)使用F統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造中含有R2，R2檢驗(yàn)擬合優(yōu)度存在不足，那么使用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度也是存在問題的，因此使用統(tǒng)計(jì)量β檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合優(yōu)度是可行。

如果模型每一個(gè)ai都是小于0.95，那么可以認(rèn)定模型擬合程度高，在上例中，數(shù)據(jù)組G3的統(tǒng)計(jì)量R2受異常點(diǎn)的影響，R2值不理想，但模型的擬合程度還是很高的。統(tǒng)計(jì)量β由所有因變量的殘差與真實(shí)值比值絕對(duì)值的平均數(shù)，表示模型總體的擬合情況。數(shù)據(jù)組 G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G3(x3,y3)，G4(x2,y4)的檢驗(yàn)結(jié)果見表3，表4。

表4 各模型擬合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表

從檢驗(yàn)結(jié)果來看，模型y=β0+β1x+ε對(duì)四組數(shù)據(jù)模擬，G3(x1,y3)的檢驗(yàn)值最小，統(tǒng)計(jì)量β=0.07，若假設(shè)β＜0.1就可以接受模型，那么就可以利用模型對(duì)數(shù)據(jù)G3(x1,y3)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析，數(shù)據(jù)組 G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G4(x2,y4)的模型需要進(jìn)行修正，僅當(dāng) G1、G2、G3 的模型統(tǒng)計(jì)量 βi＜0.1，才可借助模型進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。

4 結(jié)論

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合優(yōu)度，統(tǒng)計(jì)量R2構(gòu)造存在問題，不能很好地反映模型的實(shí)際擬合程度，而統(tǒng)計(jì)量β從模型本身出發(fā)，可以準(zhǔn)確的辨別模型的擬合情況。實(shí)際研究中，根據(jù)研究對(duì)象的不同，設(shè)定不同精度，得到擬合數(shù)據(jù)的最佳模型，分析經(jīng)濟(jì)問題。

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