基于三維重建技術(shù)的三角剖分*

谷利國(guó)，侯振杰

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特010018）

在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中,三維重建是指由多幅二維圖像恢復(fù)物體三維可見(jiàn)表面幾何形狀的方法（物體的空間位置信息）。三維重建直接模擬人類(lèi)雙眼處理景物的方式，具有簡(jiǎn)單、可靠、靈活、使用范圍廣等特點(diǎn)，可以進(jìn)行非接觸、自動(dòng)、在線(xiàn)檢測(cè)等。

從某種角度上說(shuō)，三維重建的最終目的是可視，就是把被重建的物體真實(shí)地顯示出來(lái)。由三維重建算法得到的是一組三維點(diǎn)集，并不能求得整個(gè)物體表面的細(xì)節(jié)，因此需要對(duì)這些散亂的三維點(diǎn)進(jìn)行三角剖分，用許多小三角形組成的表面來(lái)近似物體表面，這樣就相當(dāng)于給散亂的三維點(diǎn)集搭起一個(gè)立體的網(wǎng)狀骨架模型。經(jīng)過(guò)三角剖分之后，所有三角形的平面片在空間撐出了物體的三維模型。這時(shí)只需要將物體的紋理從圖像中取出，并映射至三維模型上就可以提供物體的真實(shí)三維模型。

三角剖分是虛擬現(xiàn)實(shí)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。目前針對(duì)三角化的研究主要有：BOLL和VEMURI[1]、BRINKLEY和 SCHMITT等采用參數(shù)表示法，將三維數(shù)據(jù)映射到二維參數(shù)域上,在二維進(jìn)行曲面重構(gòu),然后將結(jié)果映射回三維空間；BOWYER和 WATSON[2]采用Delaunay三角剖分法,將二維的Delaunay三角剖分推廣到三維進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)。BERNARIDINI的 BPA算法[3]通過(guò)種子三角形不斷向周?chē)鷶U(kuò)展，從而構(gòu)成最終的三角形網(wǎng)格等。

目前,對(duì)于平面區(qū)域的散亂點(diǎn)集三角剖分已經(jīng)取得了一定的成果，但很多算法推廣至三維空間仍存在一些問(wèn)題，在算法的時(shí)間效率上也有待進(jìn)一步提高，因此對(duì)于三維空間散亂點(diǎn)集的三角剖分有待進(jìn)一步的發(fā)展。

本文提出了一種利用增量法與分治法相結(jié)合的算法，直接對(duì)空間散亂點(diǎn)進(jìn)行三角剖分，降低算法的時(shí)間復(fù)雜度，并通過(guò)編程證明了該算法的可行性。

1 三角剖分算法的基礎(chǔ)理論

三角剖分中以Delaunay三角剖分最具有代表性，它是優(yōu)化的三角剖分。Delaunay三角剖分的概念是1934年由俄國(guó)數(shù)學(xué)家Delaunay提出的。

三角剖分所具備的優(yōu)異特性主要有以下幾個(gè)方面：

(1)最接近：以最臨近的三點(diǎn)形成三角形，且各線(xiàn)段(三角形的邊)皆不相交；

(2)唯一性：不論從區(qū)域何處開(kāi)始構(gòu)建，最終都將得到一致的結(jié)果；

(3)最優(yōu)性：任意兩個(gè)相鄰三角形形成的凸四邊形的對(duì)角線(xiàn)如果可以互換的話(huà)，那么兩個(gè)三角形6個(gè)內(nèi)角中最小的角度不會(huì)變大；

(4)最規(guī)則：如果將三角網(wǎng)中的每個(gè)三角形的最小角進(jìn)行升序排列，則Delaunay三角網(wǎng)的排列得到的數(shù)值最大；

(5)區(qū)域性：新增、刪除、移動(dòng)某一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)只會(huì)影響臨近的三角形；

(6)具有凸多邊形的外殼：三角網(wǎng)最外層的邊界形成一個(gè)凸多邊形的外殼。

關(guān)于Delaunay三角剖分主要有三類(lèi):增量算法(逐點(diǎn)插入法)、分治法(分割歸并算法)和三角網(wǎng)生長(zhǎng)算法。三角網(wǎng)生長(zhǎng)法在20世紀(jì)80年代中期以后就很少用到,較常見(jiàn)的是分治算法和逐點(diǎn)插入法。

增量算法的思想：先構(gòu)造一個(gè)包含所有點(diǎn)集的大三角形，然后逐點(diǎn)在三角形內(nèi)插入點(diǎn)，插入的過(guò)程不斷用Delaunay三角優(yōu)化準(zhǔn)則去檢查和調(diào)整，直到所有點(diǎn)插入完整，算法結(jié)束。

逐點(diǎn)插入法有不同的實(shí)現(xiàn)方法，區(qū)別在于初始多邊形的不同和初始三角剖分的方法不同。較有代表性的是Lawson算法[4]以及 Lee和 Schacher算法[5]。

分治算法的思想：所謂的分治法，其實(shí)就是分而治之。首先把要處理的點(diǎn)集分成幾個(gè)相等的子點(diǎn)集，按Delaunay三角優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)各子點(diǎn)集進(jìn)行三角剖分，然后把各個(gè)子集的相鄰三角形邊界進(jìn)行合并，最后對(duì)合并時(shí)在子集邊界處新生成的三角形進(jìn)行優(yōu)化。

分治法也有不同的實(shí)現(xiàn)方法,其不同之處在于使用不同的子集劃分方法、子集中三角剖分方法或者各子集邊界的合并方法，比較經(jīng)典的算法是Lee和Schacher算法[5]、Dwyer 算法[6]。

2 改進(jìn)的三角剖分算法

2.1 復(fù)雜度及優(yōu)缺點(diǎn)分析

增量算法簡(jiǎn)單直觀(guān)，占用內(nèi)存小，魯棒性好，容易實(shí)現(xiàn)，但時(shí)間復(fù)雜度差,最壞情況為O(n2)。當(dāng)處理的散亂點(diǎn)數(shù)量增長(zhǎng)時(shí)，處理的時(shí)間也指數(shù)地增長(zhǎng)，故降低其時(shí)間復(fù)雜度顯得相當(dāng)重要。

分治算法時(shí)間復(fù)雜度方面較好，其最壞情況為O(lgn)，但由于遞歸執(zhí)行，需要較大的內(nèi)存空間，對(duì)于大規(guī)模的散亂點(diǎn)的處理要求大量的內(nèi)存空間。

兩種算法各有自己的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，增量算法時(shí)間效率差，節(jié)省內(nèi)存空間;而分治法時(shí)間效率好，但需要大量?jī)?nèi)存。

改進(jìn)的算法思想是把分治算法與增量法結(jié)相結(jié)合，以分治算法為主體,增量法為輔：當(dāng)遞歸分割數(shù)據(jù)點(diǎn)集的過(guò)程進(jìn)行到子點(diǎn)集中的數(shù)據(jù)量小于一個(gè)預(yù)定值——分割閾值時(shí)終止,然后用增量法在子集中生成子三角網(wǎng)。這一新的算法稱(chēng)為合成算法。

2.2 算法的改進(jìn)

2.2.1 分治法中的改進(jìn)

分治法中采用一對(duì)八式的八叉樹(shù)數(shù)據(jù)模型來(lái)完成分割與合并。

首先利用八叉樹(shù)模型對(duì)空間離散點(diǎn)進(jìn)行分割，然后對(duì)八叉樹(shù)葉子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行Delaunay三角化，最后依據(jù)Delaunay法則將各局部三角網(wǎng)自下而上逐級(jí)合并，進(jìn)而生成最終的整個(gè)點(diǎn)集三角網(wǎng)模型,這樣將兩種三角化適當(dāng)結(jié)合，提高了算法的效率。

其中，在合并的過(guò)程中盡量減少了查找正確擴(kuò)展點(diǎn)的范圍，從而節(jié)約了時(shí)間，提高了算法的執(zhí)行效率。

具體作法：將各節(jié)點(diǎn)生成三角網(wǎng)凸殼的擴(kuò)展邊（邊界）找出，用鏈表分別存儲(chǔ)，兩兩合并三角網(wǎng)時(shí)所需用到的邊和點(diǎn)就可直接取自這兩條鏈表中的數(shù)據(jù)，而無(wú)需在該區(qū)域中所有點(diǎn)中逐一比較尋找了，從而避免了很多無(wú)用功。

用八叉樹(shù)來(lái)表示三維形體，既可以看成是四叉樹(shù)方法在三維空間的推廣，也可以認(rèn)為是用三維體素陣列表示形體方法的一種改進(jìn),如圖1所示。

八叉樹(shù)有三種不同的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，分別是規(guī)則方式、線(xiàn)性方式以及一對(duì)八方式。相應(yīng)的八叉樹(shù)也分別稱(chēng)為規(guī)則八叉樹(shù)、線(xiàn)性八叉樹(shù)以及一對(duì)八式八叉樹(shù)。不同的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的空間利用率及運(yùn)算操作的方便性是不同的。分析表明，一對(duì)八式八叉樹(shù)優(yōu)點(diǎn)更多一些。

(1)規(guī)則八叉樹(shù)

規(guī)則八叉樹(shù)缺陷較多，最大的問(wèn)題是指針占用了大量的空間。假定每個(gè)指針要用2 B表示，而節(jié)點(diǎn)的描述用1 B,則存放指針要占總存儲(chǔ)量的94%。因此，這種方法雖然十分自然，容易掌握，但在存儲(chǔ)空間的使用率方面不是很理想。

(2)線(xiàn)性八叉樹(shù)

線(xiàn)性八叉樹(shù)不僅節(jié)省存儲(chǔ)空間，對(duì)某些運(yùn)算也較為方便,但是為此付出的代價(jià)是喪失了一定的靈活性。

(3)一對(duì)八式的八叉樹(shù)

一個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)有8個(gè)子節(jié)點(diǎn)，為了確定起見(jiàn)，將它們分別標(biāo)記為 0、1、2、3、4、5、6、7。綜上所述，如果一個(gè)記錄與一個(gè)節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，那么在這個(gè)記錄中描述的是這個(gè)結(jié)點(diǎn)的8個(gè)子節(jié)點(diǎn)的特性值。而指針給出的則是該8個(gè)子節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)記錄的存放處，而且還隱含地假定了這些子結(jié)點(diǎn)記錄存放的次序。也就是說(shuō)，即使某個(gè)記錄是不必要的(例如該節(jié)點(diǎn)已是葉節(jié)點(diǎn))，則相應(yīng)的存儲(chǔ)位置也必須空閑在那里，以保證不會(huì)錯(cuò)誤地存取到其他同輩節(jié)點(diǎn)的記錄。這樣當(dāng)然會(huì)有一定的浪費(fèi)，除非它是完全的八叉樹(shù)，即所有的葉節(jié)點(diǎn)均在同一層次出現(xiàn)，而在該層次之上的所有層中的節(jié)點(diǎn)均為非葉節(jié)點(diǎn)。

綜上優(yōu)缺分析后，文中選擇了一對(duì)八式的八叉樹(shù)數(shù)據(jù)模型。

2.2.2 Delaunay增量算法的改進(jìn)

Delaunay增量算法的思想是逐點(diǎn)插入,每次插入一個(gè)散亂點(diǎn)，經(jīng)處理形成若干新的四面體;但隨著插入點(diǎn)的增加，所生成的四面體便成倍地增長(zhǎng)，而計(jì)算量也大大增加。

如何縮短算法中各個(gè)環(huán)節(jié)的計(jì)算時(shí)間成為提高整個(gè)算法效率的關(guān)鍵。這些關(guān)鍵問(wèn)題涉及散亂點(diǎn)的加入方式、搜索方法等。

本文在搜索四面的外接圓時(shí)使用了指南針?biāo)惴ǎ岣吡怂惴ǖ乃阉餍省?/p>

2.3 可行性分析

(1)采用八叉樹(shù)分割，并用遞歸的思想，當(dāng)數(shù)據(jù)量大的時(shí)候，調(diào)用的程序運(yùn)行效率比較低。在本程序的實(shí)現(xiàn)中，將遞歸調(diào)用轉(zhuǎn)化為迭代，從而提高算法效率[7,8]。

(2)文中在增量算法中嵌入了指南針?biāo)惴ㄋ褜に拿骟w外接球體，以加快算法的搜尋速度。

(3)在合并的過(guò)程中盡量縮小查找正確擴(kuò)展點(diǎn)的范圍,提高了算法的執(zhí)行效率。

3 實(shí)驗(yàn)

本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境：CPU為Pentium(R)Dual-Core 2.5GHz，內(nèi)存1 GB，顯卡為集成顯卡，操作系統(tǒng)為 Window XP，仿真平臺(tái)為Matlab 7.0。

(1)選取通過(guò)三維掃描儀得到的點(diǎn)云圖，分別利用Matlab中的Delaunay（）函數(shù)剖分和改進(jìn)的三角剖分算法對(duì)點(diǎn)云圖進(jìn)行剖分，在點(diǎn)數(shù)變化時(shí)，對(duì)兩種算法所剖分出四面的數(shù)量和所用時(shí)間進(jìn)行比較,結(jié)果如表1所示。

(2)選取通過(guò)三維掃描儀得到的一條圍巾的點(diǎn)云圖，分別利用 Matlab中 Delaunay()函數(shù)、Delaunayn()剖分和改進(jìn)的三角剖分算法對(duì)點(diǎn)云圖進(jìn)行剖分。通過(guò)三維掃描儀掃描圍巾得到點(diǎn)云,如圖2所示，使用原算法和改進(jìn)算法對(duì)圍巾點(diǎn)云圖進(jìn)行三角剖分，結(jié)果如圖3和圖4所示。

對(duì)圖3和圖4中的1號(hào)與2號(hào)區(qū)域放大,比較效果分別如圖 5、圖 6、圖 7、圖 8所示。

使用兩種算法對(duì)圍巾點(diǎn)云剖分在剖分出四面的數(shù)量和所用時(shí)間方面進(jìn)行比較,結(jié)果如表2所示。

表1 對(duì)三維掃描儀得到的三維點(diǎn)進(jìn)行三角剖分

通過(guò)對(duì)不同數(shù)量的空間散亂點(diǎn)的三角剖分，利用Matlab內(nèi)置的Delauany()函數(shù)與改進(jìn)的三角剖分算法對(duì)空間散亂點(diǎn)集進(jìn)行三角剖分，對(duì)剖分出四面體的數(shù)量和所用時(shí)間進(jìn)行比較，改進(jìn)的算法在剖分出的四面體數(shù)量和時(shí)間效率上有明顯的優(yōu)勢(shì)。而且由以上圖的比較可以看出，對(duì)于重建出的模型效果，改進(jìn)后的算法明顯優(yōu)于前者。

表2 算法效率分析

本文算法通過(guò)使用分治法和增量法的合成算法，在分治法中使用八叉樹(shù)數(shù)據(jù)模型，使遞歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為迭代問(wèn)題，提高了算法的執(zhí)行效率；在增量法中嵌入指南針?biāo)惴?，提高了搜索效率。使用合成算法在空間的三角剖分方面有很大的優(yōu)勢(shì)。此外分析了算法中的不足之處，并提出有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題，為后續(xù)的展望工作打下基礎(chǔ)。

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