基于誤判率的貝葉斯判別法在變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

陳 超 張獻(xiàn)州

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

在變形監(jiān)測(cè)過程中,監(jiān)測(cè)點(diǎn)的相鄰兩期坐標(biāo)之間存在差異,其包含了測(cè)量誤差和點(diǎn)位穩(wěn)定性信息[1～2]。為了判斷這種差異究竟是測(cè)量誤差干擾還是點(diǎn)位變動(dòng)引起的,本文采用基于誤判率的貝葉斯判別法對(duì)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行判別。

對(duì)于變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性分析其實(shí)是一個(gè)分類問題,而且是一個(gè)二類分類問題,即穩(wěn)定類(Ri)和非穩(wěn)定類(Rj)

式中XΙ、XΠ分別為兩期坐標(biāo)平差值,ΔX為坐標(biāo)之差。Ri表示兩期坐標(biāo)之差異是由測(cè)量誤差的干擾引起的,此時(shí)點(diǎn)位是穩(wěn)定的；Rj表示兩期坐標(biāo)之差異雖然存在測(cè)量誤差的干擾,但主要是由于點(diǎn)位自身的變動(dòng)引起的,此時(shí)點(diǎn)位是非穩(wěn)定的。

1 貝葉斯判別理論

在分類問題中,往往希望盡量減少分類的錯(cuò)誤。從這樣的要求出發(fā),利用概率論中的貝葉斯公式,建立基于誤判率的目標(biāo)函數(shù),得到分類規(guī)劃并對(duì)未知點(diǎn)進(jìn)行判定的方法,稱之為貝葉斯判別法[3]。

類別的狀態(tài)是一個(gè)隨機(jī)變量,而某種狀態(tài)出現(xiàn)的概率是可以估計(jì)的。假設(shè)在m維空間中,對(duì)兩種類別(設(shè)類別為R1和R2)進(jìn)行判定,識(shí)別前已知先驗(yàn)概率P(R1)和P(R2),顯然有P(R1)+P(R2)=1。則合理的判別規(guī)則應(yīng)為

若P(R1)>P(R2), 則做出屬于R1的判斷；若P(R1)

顯然,如果僅僅按照先驗(yàn)概率判別就會(huì)把所有樣本點(diǎn)都判別為一類,而根本沒有達(dá)到把兩類樣點(diǎn)分開的目的。這是因?yàn)橄闰?yàn)概率提供的分類信息太少,為此還必須利用對(duì)樣本進(jìn)行觀測(cè)和分析得到的信息,也就是構(gòu)成樣本數(shù)據(jù)中的m維觀測(cè)量。在變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性分析中,我們通常進(jìn)行的是單點(diǎn)分析,這樣就有m=1。則觀測(cè)樣本X在Ri狀態(tài)下的類條件概率密度就為P(X|Ri),i=1,2。利用貝葉斯公式

(1)

得到的條件概率P(Ri|X)稱為狀態(tài)的后驗(yàn)概率。因此,貝葉斯公式實(shí)質(zhì)是通過觀察X把狀態(tài)的先驗(yàn)概率轉(zhuǎn)化為后驗(yàn)概率。則基于誤判率的貝葉斯判別規(guī)則為

若P(R1|X)>P(R2|X),則做出屬于R1的判斷；若P(R1|X)

設(shè)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)穩(wěn)定類和非穩(wěn)定類的先驗(yàn)概率分別為P(Ri)和P(Rj),則有P(Ri)+P(Rj)=1；兩類的類條件概率分別為P(X|Ri)和P(X|Rj)。由于測(cè)量誤差的存在,兩類的條件概率密度的分布在一般情況下總是存在著不同的重疊,在非重疊的區(qū)域內(nèi),樣本可以被正確的區(qū)分開；而在重疊的區(qū)域內(nèi),就不能正確的把樣本區(qū)分開,從而決定了錯(cuò)誤率的大小。如圖1,圖中Pi(e)和Pj(e)分別為穩(wěn)定類和非穩(wěn)定類的錯(cuò)誤率,θij為兩類條件概率密度分布的交點(diǎn)。

圖1 類概率密度分布及錯(cuò)誤率示意

1.1 類概率距離(Dij)

由于類概率距離Dij能直接反映類概率密度的分布情況,且又與誤判率P(e)密切相關(guān),因此可成為類可分性的一種度量,作為變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性判別的基準(zhǔn)。

設(shè)在m維空間里,類概率密度P(X|Ri)的分布服從N(ξi,Σi),P(X|Rj)的分布服從N(ξj,Σj),且根據(jù)同精度觀測(cè)有Σi=Σj=Σ,則有

(2)

(2)式中,ξi,ξj,Σ分別為均值矩陣和協(xié)方差陣,Dij稱為兩類之間的馬氏距離[5](是類概率距離的一種)。當(dāng)樣本X的各維特征值之間相互獨(dú)立時(shí),則有

(3)

(4)

(4)式中ξi,ξj分別為Ri類和Rj類的期望值,σ為兩類的方差(兩類方差相等)。

由(2)、(3)和(4)式可知,兩均值之間的距離越遠(yuǎn),且它們的分布越集中(方差越小),則兩類的類概率距離(Dij)就越大,反之,Dij越小。由此可知,在兩期觀測(cè)坐標(biāo)及統(tǒng)計(jì)信息確定后,Dij的大小直接反映了兩期觀測(cè)值的可區(qū)分度。Dij越大,兩類就越容易區(qū)分,分類錯(cuò)誤率越??；Dij越小,兩類越難區(qū)分,分類錯(cuò)誤率就越大。

1.2 分類錯(cuò)誤率(P(e))

當(dāng)類概率距離確定后,需要考慮該距離是否能區(qū)分兩期觀測(cè)值,即評(píng)價(jià)其優(yōu)良性,在判別分析中采用誤判概率(P(e))來衡量。如果源于Ri(或者Rj)的樣品,取值落在Rj(或者Ri)中,那么按照貝葉斯判別規(guī)則就會(huì)把它誤判為Rj(或者Ri)的樣品,這種誤判的概率為

(5)

由圖1可知,分類誤判率P(e)為

P(e)=P(Ri)Pi(e)+P(Rj)Pj(e)

(6)

(6)式中P(Ri)和P(Rj)分別為變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)穩(wěn)定類和非穩(wěn)定類的先驗(yàn)概率[6～9]。由于變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性判別屬于二類分類問題,且假設(shè)兩類別出現(xiàn)的概率相等,即P(Ri)=P(Rj)=0.5。同時(shí)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)服從方差相同的一維正態(tài)分布,即P(X|Ri)服從N(ξi,σ),P(X|Rj)服從N(ξj,σ),因此P(X|Ri)與P(X|Rj)密度分布將關(guān)于他們的交點(diǎn)θij(臨界值點(diǎn))對(duì)稱,即θij為兩類空間取值范圍Ri與Rj的分界點(diǎn)。即可得

(7)

(7)式中Dij為兩類之間的馬氏距離。則根據(jù)(5)式可進(jìn)一步計(jì)算誤判率

(8)

由(6)、(7)和(8)可得

(9)

由上式可知,分類誤判率P(e)與類概率距離間存在反相關(guān)的關(guān)系。兩類之間的距離越大,誤判率越??；距離越小,誤判率越大。據(jù)此,我們可以通過設(shè)置適當(dāng)?shù)姆诸愓`判率,由(9)式反向計(jì)算得到合理的判別距離基準(zhǔn),根據(jù)基準(zhǔn)即可判別變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)定性。

2 分類判別步驟

(2)計(jì)算DⅢ和P(e)。兩期觀測(cè)精度相同,且服從一維正態(tài)分布,則由上步算得的σ根據(jù)(4)式計(jì)算類概率距離DⅢ；并由(9)式計(jì)算誤判率P(e)。

(3)選擇判別基準(zhǔn)D0。根據(jù)計(jì)算所得誤判率的大小,綜合工程的精度要求,合理的給定一個(gè)可接受的誤判率P0(e),由(9)式反向計(jì)算出判別的基準(zhǔn)值D0。

(4)分類判別。根據(jù)表1的分類規(guī)劃進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)穩(wěn)定性的判別。

表1 分類規(guī)劃

3 應(yīng)用實(shí)例

設(shè)有四點(diǎn)組成的二維(平面)網(wǎng),按重心基準(zhǔn)平差,兩期成果列于表2。

表2 平差坐標(biāo)及其統(tǒng)計(jì)信息

傳統(tǒng)的做法是采用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)(t檢驗(yàn)),以α=0.05為顯著性水平進(jìn)行t檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果如表3[10]。

本文采用基于誤判率的貝葉斯判別法,根據(jù)計(jì)算所得的誤判率,并為了能與t檢驗(yàn)法進(jìn)行比較,綜合考慮,決定選取誤判率臨界值P0(e)=0.05進(jìn)行判別。判別結(jié)果如表4。

表3 t檢驗(yàn)法結(jié)果

注：√表示點(diǎn)位發(fā)生了顯著性位移。下同。

表4 基于誤判率的貝葉斯判別結(jié)果

4 結(jié)論

(1)本文所述方法對(duì)于監(jiān)測(cè)穩(wěn)定性的判別結(jié)果與傳統(tǒng)t檢驗(yàn)法所得的結(jié)果一致,驗(yàn)證了該方法在變形分析中的可行性。

(2)在得出結(jié)論的同時(shí)還給出了誤判率,增強(qiáng)了判別結(jié)論的可靠性,與t檢驗(yàn)法相比具有一定的優(yōu)越性。

(3)本文方法可根據(jù)具體情況(如計(jì)算所得的誤判率大小),綜合考慮變形監(jiān)測(cè)精度的要求,設(shè)置合理的誤判率臨界值,進(jìn)而進(jìn)行分類判別,有效克服了傳統(tǒng)t檢驗(yàn)法中對(duì)于顯著性水平α選取的主觀性。

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