圓心松弛的圓環(huán)格點(diǎn)陣及其靈敏度優(yōu)化研究

賀 鋒，李曙光，張 悅，胡 飛

(1. 華中科技大學(xué) 電子信息與通信學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2. 多譜信息處理技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074；3. 上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

微波(包括毫米波)輻射測(cè)量已被廣泛用于對(duì)地遙感和射電天文。各種地物和人造目標(biāo)，由于不同的物質(zhì)屬類、物理溫度、幾何結(jié)構(gòu)和觀測(cè)方位的差異導(dǎo)致目標(biāo)和背景的微波輻射特性存在明顯差異，故可將微波輻射測(cè)量用于目標(biāo)探測(cè)和識(shí)別[1]。微波輻射探測(cè)具有被動(dòng)接收隱蔽性好、全天候準(zhǔn)全天時(shí)工作、圖像直觀易于辨識(shí)等優(yōu)勢(shì)[2]。實(shí)孔徑輻射計(jì)采用機(jī)械掃描方式成像，用于近距離無源制導(dǎo)探測(cè)。但實(shí)孔徑微波輻射計(jì)的空間分辨率受限于天線口徑，且實(shí)時(shí)成像困難。綜合孔徑輻射計(jì)無需機(jī)械掃描即可對(duì)整個(gè)場(chǎng)景凝視成像，最先應(yīng)用于射電天文，后被引入對(duì)地遙感，取得了很大的成功。2009年歐洲空間局研制的國際上首個(gè)星載L波段綜合孔徑輻射計(jì)發(fā)射升空，目前已在軌正常運(yùn)行8年，提供了大量全球海洋鹽度和土壤濕度遙感觀測(cè)數(shù)據(jù)[3]。

綜合孔徑輻射計(jì)由多個(gè)小單元天線構(gòu)成一個(gè)天線陣列，陣列中任何一對(duì)天線構(gòu)成一個(gè)基線，基線由這兩個(gè)天線的位置差矢量決定。每個(gè)基線干涉測(cè)量場(chǎng)景的熱輻射信號(hào)，獲得的可見度數(shù)據(jù)代表場(chǎng)景輻射亮溫的空間頻率域分量，由可見度反演圖像即可得到場(chǎng)景亮溫[4]。

綜合孔徑陣列的排布對(duì)陣列性能具有重要影響。陣列的空間分辨率由最大基線長度決定。位置差矢量相同的不同天線對(duì)構(gòu)成冗余基線，冗余基線在uv平面(空間頻率域)上對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)。對(duì)冗余基線得到的可見度作平均處理后可以降低數(shù)據(jù)的噪聲,從而提高輻射測(cè)量的溫度靈敏度。給定單元天線個(gè)數(shù)，陣列的靈敏度和空間分辨率不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。具體應(yīng)用時(shí)需根據(jù)實(shí)際條件調(diào)整陣列的優(yōu)化準(zhǔn)則。在目標(biāo)探測(cè)應(yīng)用時(shí)，允許的積分時(shí)間通常較短，陣列排布并不以最大稀疏為優(yōu)化目標(biāo)，而需適當(dāng)?shù)娜哂郲5]。常見的陣列形式有Y型[3]、交錯(cuò)Y型[6]、U型[7]、T型等，這類陣列的uv采樣點(diǎn)等間距分布，可利用快速傅里葉變換(FFT)實(shí)現(xiàn)快速高效反演成像。圓環(huán)陣易與平臺(tái)共形，具有均勻的陣列結(jié)構(gòu)，甚至還可獲得無冗余的uv采樣；然而獲得的uv采樣點(diǎn)間的間距非常不均勻，不能直接利用FFT反演，雖然經(jīng)過優(yōu)化排布可提升其uv分布的均勻度[8]，但仍需一定程度的插值，以變換到某種規(guī)則的uv分布[9]。插值容易降低反演精度，反演復(fù)雜度較高[10]。

為得到均勻柵格上的uv采樣分布，同時(shí)保持圓環(huán)陣閉合且易于與平臺(tái)共形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，文獻(xiàn)[11]中提出了圓環(huán)格點(diǎn)陣(CLA)，即在均勻圓環(huán)陣(UCA)的基礎(chǔ)上，劃分矩形柵格網(wǎng)，將陣元放置在給定2個(gè)同心圓之間的圓環(huán)范圍內(nèi)的格點(diǎn)上。由于柵格點(diǎn)間的位置差都是柵格邊長的整數(shù)倍，故可得均勻分布的uv采樣。均勻方形或六邊形環(huán)陣[12]，兼具不占據(jù)口徑中部區(qū)域、與圓形平臺(tái)共形性好且可獲得均勻uv采樣的優(yōu)點(diǎn)，但不能改變其外切圓和內(nèi)切圓的半徑比例，不能進(jìn)一步優(yōu)化其冗余基線的分布。CLA可通過調(diào)節(jié)布陣區(qū)域?qū)?yīng)的內(nèi)環(huán)和外環(huán)的半徑、陣元總數(shù)來更靈活地滿足空間分辨率、無混疊視場(chǎng)范圍和陣元總數(shù)等布陣約束條件，且其總體冗余度和冗余基線分布也可根據(jù)靈敏度需要優(yōu)化設(shè)計(jì)，故可更好地滿足陣列優(yōu)化的實(shí)際需求。

基于CLA，文獻(xiàn)[13]中提出基于人工免疫算法對(duì)陣元數(shù)、陣列有效uv采樣數(shù)以及陣列退化因子的多目標(biāo)優(yōu)化方法[13]。已有的CLA相關(guān)研究普遍存在兩方面的問題：一是網(wǎng)格與圓環(huán)外圓相切，從而圓心在小方格內(nèi)的相對(duì)位置固定，不利于陣列性能的優(yōu)化；二是網(wǎng)格中小方格的邊長、內(nèi)外圓的半徑的設(shè)定不靈活，不利于在滿足陣列對(duì)空間分辨率和無混疊視場(chǎng)范圍要求的前提下優(yōu)化陣列。

本文改進(jìn)了原CLA中網(wǎng)格固定與外圓相切的畫法，通過引入圓心的隨機(jī)擾動(dòng)尋優(yōu)，在不放松圓環(huán)區(qū)域布陣約束的前提下，可提供更多的布陣點(diǎn)位；提出了考慮空間角分辨率和無混疊視場(chǎng)約束的廣義CLA(GCLA)設(shè)計(jì)方法,并在多個(gè)可選陣列中進(jìn)一步優(yōu)化其輻射溫度靈敏度。

1 圓環(huán)格點(diǎn)陣

CLA可由UCA計(jì)算得到，對(duì)于一個(gè)陣元數(shù)為N，圓環(huán)半徑為r0的圓環(huán)陣，網(wǎng)格劃分以及2個(gè)同心圓的半徑可表示為[11]

(1)

(2)

(3)

式中：算子int[·]為取整運(yùn)算。

通過式(1)～(3)可得布陣的圓環(huán)區(qū)域和柵格劃分，如圖 1所示，其中藍(lán)色圓點(diǎn)表示UCA陣元位置，紅色方形點(diǎn)表示可排布陣元的位置；放置UCA陣元的圓環(huán)與劃分的柵格相切，圓環(huán)與柵格的相對(duì)位置固定，且對(duì)應(yīng)唯一的圓環(huán)格點(diǎn)滿陣。圓環(huán)與柵格的相對(duì)位置可用圓心等效表示，以下均以圓心位置描述。

從圖 1可看出，假設(shè)矩形柵格網(wǎng)不動(dòng)，若圓環(huán)的圓心在一個(gè)矩形柵格內(nèi)擾動(dòng)，落入圓環(huán)內(nèi)(半徑分別為r1和r2的2個(gè)同心圓之間的區(qū)域)，總的可排布陣元位置數(shù)則會(huì)變化。更多的可布陣元位置數(shù)，對(duì)于避免uv平面出現(xiàn)采樣空洞和提高陣列性能來說具有重要意義。

2 圓環(huán)格點(diǎn)陣圓心位置優(yōu)化

給定圓環(huán)陣陣元數(shù)N和圓環(huán)半徑r0，當(dāng)圓環(huán)的外圓與網(wǎng)格線相切時(shí)[6]，其圓心在一個(gè)小方格內(nèi)的相對(duì)位置(x0,y0)可表示為

(4)

式中：mod(·)為求余運(yùn)算。

給定N和r0，依上述規(guī)則可得唯一圓心位置(對(duì)應(yīng)圓環(huán)與柵格固定的相對(duì)位置)，可能得不到?jīng)]有uv采樣空洞的CLA陣列(見圖2)。由式(4)可以看出，CLA的圓心位置僅為(0,0)、(0.25,0.25)、(0.5,0.5)、(0.75,0.75)中的一個(gè)，事實(shí)上圓心可以在均勻柵格中的任意位置，即x0∈[0,1]，y0∈[0,1]。

為找到最優(yōu)圓心坐標(biāo)，建立如下優(yōu)化模型

(5)

式中：s.t.為約束條件；max為取最大值；自變量(x,y)為圓心坐標(biāo)；NCLA為2個(gè)圓環(huán)之間的所有格點(diǎn)數(shù)；Hhole為其對(duì)應(yīng)的uv分布中的空洞數(shù)。

圓心位置可在單元柵格中變化，因圓環(huán)與柵格具有對(duì)稱性，只需考慮四分之一單元柵格，即圓心在圖2中陰影區(qū)域的變化，也即x0∈[0,0.5],y0∈[0,0.5]。

根據(jù)以上優(yōu)化模型，利用模擬退火(SA)算法進(jìn)行優(yōu)化。SA算法選取區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)圓心初始化坐標(biāo)X0(x0，y0)。每次退火降溫后，在原圓心的鄰域中隨機(jī)選取一個(gè)新的圓心，記為X(x，y)。若新圓心優(yōu)于當(dāng)前圓心，接受新圓心并作為新解；若劣于當(dāng)前圓心，以式(6)判定是否接受新圓心，式(6)成立則接受新圓心。

p(Fi)=exp(-ΔF/T)=

exp[-(Fi-Fi-1)/T]>p

(6)

式中：T、Fi分別為退火過程中的溫度和圓心對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)；p為0～1間均勻隨機(jī)數(shù)。在該問題中，目標(biāo)函數(shù)F表示不同圓心的圓環(huán)格點(diǎn)滿陣對(duì)應(yīng)的候選位置數(shù)目，而圓心位置(x0,y0)即為優(yōu)化變量。在SA算法的計(jì)算過程中，這種可能接受新解的行為可使退火過程跳出局部最優(yōu)的死循環(huán)，理論上可最終獲得全局最優(yōu)解。

使用SA算法優(yōu)化圓心位置的具體步驟如下：

1) 給定初始溫度T0、降溫比率α、最低溫度Te，任意設(shè)定圓心位置(x0,y0)的初值，計(jì)算出當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)F(x0,y0)值，記為F0。

2) 隨機(jī)選取(x0,y0)鄰域中位置(x,y)，如其uv分布存在空洞，重復(fù)2)，否則計(jì)算圓心變動(dòng)后的目標(biāo)函數(shù)F(x,y)值，記為F。

3) 當(dāng)F大于或等于F0時(shí),接受位置(x,y)為新解，否則判斷exp[-(F-F0)/T]>p是否成立，成立則接受新圓心，否則返回到2)。

4) 退火過程(降溫)采用線性退火方案，T=αT0。

5) 判斷是否達(dá)到最低溫度Te，是則結(jié)束，輸出優(yōu)化圓心及其滿陣陣元數(shù)目，否則回到2)繼續(xù)迭代。

結(jié)合式(5)優(yōu)化模型，利用SA算法，初始溫度T0=500 K，降溫比率α=0.95，最低溫度Te=1×10-8K，當(dāng)陣元數(shù)為13時(shí)，最優(yōu)圓心為(0.241 9,0.247 9)，陣列及其uv分布如圖3所示，得到的圓環(huán)格點(diǎn)滿陣對(duì)應(yīng)的候選位置數(shù)目NCLA=24。

3 廣義圓環(huán)格點(diǎn)陣設(shè)計(jì)

綜合孔徑干涉陣對(duì)場(chǎng)景的輻射進(jìn)行空間頻率域離散帶限采樣。通過離散傅里葉逆變換(IDFT)反演得到原始場(chǎng)景亮溫的估計(jì)，其過程等效于場(chǎng)景亮溫與綜合孔徑的陣列因子(點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù))相卷積。由此，可推導(dǎo)出陣列因子為uv采樣函數(shù)(即uv分布，不是可見度數(shù)據(jù))的離散傅里葉變換。在不考慮系統(tǒng)誤差的前提下，綜合孔徑輻射計(jì)成像的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是確定的。由陣列因子的表達(dá)式可得出其空間角分辨率(陣列因子主瓣半功率波束寬度)和無混疊視場(chǎng)(陣列因子的相鄰柵瓣間距)[14]。對(duì)于圓形uv采樣，其各方向上的空間分辨率均為

(7)

式中：λ為波長；D為陣列口徑。

無混疊視場(chǎng)為

(8)

式中：ξ=sinθcosφ,η=sinθsinφ為球坐標(biāo)系中的方向余弦；Δu、Δv分別為空間頻率域2個(gè)方向上的最小采樣間距。

將具有圓環(huán)布陣約束的均勻柵格陣列定義為廣義CLA，廣義是相對(duì)于文獻(xiàn)[11]中原始CLA而言，CLA中同心圓環(huán)約束半徑、最小陣元間距都是由對(duì)應(yīng)的UCA的半徑r0及陣元數(shù)NUCA決定，廣義UCA可根據(jù)具體應(yīng)用需求直接確定布陣區(qū)域(r1，r2)、陣元數(shù)目(N)以及陣元最小間隔(Δd)。r1、r2限定了圓環(huán)的內(nèi)徑和外徑，由陣列的空間角分辨率需求決定。最小陣元間距Δd由需達(dá)到的無混疊視場(chǎng)范圍決定。陣元數(shù)目N由系統(tǒng)能承受的硬件復(fù)雜度限定。廣義CLA的設(shè)計(jì)能滿足成像具體需求，因而更具實(shí)際意義。如綜合孔徑陣列無混疊視場(chǎng)要求達(dá)到±11.5°，分辨率為1.18°，由式(7)可得其最小陣列口徑D，由式(8)得到最小陣元間隔Δd為

(9)

(10)

式中：Δθ和θmax分別為陣列的空間角分辨率和無混疊視場(chǎng)范圍。

4 廣義圓環(huán)格點(diǎn)陣的靈敏度優(yōu)化

4.1 優(yōu)化過程

依據(jù)上述廣義CLA設(shè)計(jì)方法，可獲得一個(gè)滿陣的所有陣元位置。然而滿陣所需的陣元數(shù)較多，通常需要適當(dāng)稀疏，即以較少的陣元數(shù)達(dá)到與滿陣相同的uv覆蓋。在同等陣元數(shù)條件下，可能獲得多個(gè)相同uv覆蓋的陣列排布方案，這些陣列的不同之處在于冗余基線在不同uv采樣點(diǎn)上的分布不同。冗余基線的分布對(duì)系統(tǒng)平均靈敏度有較大影響，其影響可通過退化因子f描述[15]，即

(11)

式中：rmn為某一個(gè)基線的重復(fù)次數(shù)；P和Q分別為橫軸和縱軸方向最大基線編號(hào)。系統(tǒng)的靈敏度與退化因子f直接相關(guān)，可以通過優(yōu)化f來改善靈敏度，f越小，靈敏度越優(yōu)。

給定陣元數(shù)N，保證無空洞，且uv覆蓋點(diǎn)數(shù)大于內(nèi)圓覆蓋的點(diǎn)數(shù)時(shí)，退化因子優(yōu)化為

(12)

式中：Nv為有效采樣點(diǎn)數(shù)；Nr1為圓環(huán)的內(nèi)圓范圍內(nèi)所有網(wǎng)格點(diǎn)上布滿天線時(shí)獲得的uv有效采樣點(diǎn)數(shù)；Hhole為空洞數(shù)。

利用SA算法優(yōu)化退化因子的步驟如下:

1) 給定初始溫度T0，降溫比率α，最低溫度Te，初始陣元位置X0并計(jì)算陣列的退化因子f0，其中X0為所有陣元X0的坐標(biāo)序列。

2) 擾動(dòng)陣列中的一個(gè)陣元(選取一個(gè)新陣元，去掉一個(gè)原始陣元，陣元總數(shù)不變)得到新陣X，如果其uv分布存在空洞，重復(fù)2)，否則計(jì)算其退化因子f，轉(zhuǎn)到3)，其中X為所有陣元X的坐標(biāo)序列。

3) 判斷fp是否成立，成立則接受新陣，并更新X0、f0，否則返回到2)。

4) 降溫，T=αT0。

5) 判斷是否達(dá)到最低溫度Te，是則結(jié)束，輸出優(yōu)化陣列位置X0及其退化因子f0，否則回到2)繼續(xù)迭代。

結(jié)合式(12)優(yōu)化模型，利用SA算法優(yōu)化，初始溫度T0=500 K，降溫比率α=0.95，最低溫度Te=1×10-8K，給定50陣元得到的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

給定50陣元情況下，優(yōu)化的陣列退化因子為16.355 8，其有效采樣點(diǎn)數(shù)為739。其收斂情況如圖6所示。

4.2 靈敏度仿真

從可見度的相關(guān)性出發(fā)，利用可見度誤差與亮溫圖像誤差間的傳遞關(guān)系，仿真得到二維場(chǎng)景亮溫圖像的標(biāo)準(zhǔn)差，以此表征不同方向上的亮溫分辨能力，并采用其均方根表示系統(tǒng)的亮溫平均靈敏度。實(shí)驗(yàn)仿真優(yōu)化退化因子后的CLA和隨機(jī)排布CLA的靈敏度，對(duì)比2個(gè)CLA的靈敏度改善程度和退化因子改善程度可知，改善退化因子可有效優(yōu)化靈敏度。

仿真實(shí)驗(yàn)中給定的CLA設(shè)計(jì)中陣元數(shù)為50。退化因子最優(yōu)陣(見圖5)和一個(gè)無空洞隨機(jī)陣(見圖7)中陣列退化因子分別為16.355 8和19.412 0。

對(duì)給定場(chǎng)景的靈敏度仿真，并利用圖像的標(biāo)準(zhǔn)差衡量，仿真中陣元接收機(jī)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 陣元接收機(jī)系統(tǒng)參數(shù)

仿真中不考慮單元天線方向圖特性、通道的去相關(guān)效應(yīng)及其他誤差，仿真原始場(chǎng)景如圖8(a)所示。設(shè)計(jì)得到的CLA的uv分布為均勻的矩形柵格，將得到的所有采樣點(diǎn)擴(kuò)展到矩形區(qū)域，將矩形區(qū)域中未采樣到的點(diǎn)作補(bǔ)零處理。理想條件下，亮溫與可見度函數(shù)滿足傅里葉變換關(guān)系，可利用矩形區(qū)域的均勻柵格上的可見度離散傅里葉逆變換得到其反演亮溫，反演結(jié)果如圖8(b)所示。

考慮可見度的相關(guān)性和基線的冗余平均，2個(gè)陣列的反演圖像標(biāo)準(zhǔn)差[16](仿真得到的靈敏度)如圖9所示。

由圖9可看出，圖中每個(gè)像素的標(biāo)準(zhǔn)差不同，且其與原始亮溫圖像輪廓相近，系統(tǒng)亮溫平均靈敏度可表示為

(13)

式中：〈|ΔTmn|2〉為圖像中某一像素亮溫的方差。

仿真實(shí)驗(yàn)中，退化因子最優(yōu)陣的亮溫平均靈敏度ΔTavg=2.741 9，隨機(jī)陣列的亮溫平均靈敏度ΔTavg=3.254 6。

通過以上仿真可得，經(jīng)過退化因子優(yōu)化后的陣列的亮溫靈敏度的改善百分比為

(14)

其退化因子的改善程度可表示為

(15)

式(14)和式(15)中上標(biāo)r表示退化因子優(yōu)化之前，上標(biāo)m表示優(yōu)化之后。

由此可見，在CLA的設(shè)計(jì)中，在滿足無空洞前提下，優(yōu)化基線的冗余分布，可達(dá)到最優(yōu)靈敏度，即改善陣列的退化因子可改善陣列的靈敏度。

5 結(jié)束語

針對(duì)原始CLA網(wǎng)格與圓環(huán)外環(huán)相切導(dǎo)致可布陣點(diǎn)位并非最優(yōu)的問題，提出圓心松弛的圓環(huán)格點(diǎn)優(yōu)化方法，在不增加布陣范圍的前提下，有效增大了布陣自由度，從而為進(jìn)一步優(yōu)化陣列性能提供了基礎(chǔ)，仿真驗(yàn)證了圓心松弛的CLA能構(gòu)造更均勻和靈敏度更優(yōu)化的uv采樣分布的結(jié)論。結(jié)合成像無混疊視場(chǎng)范圍和空間分辨率約束，在原CLA的基礎(chǔ)上，改進(jìn)網(wǎng)格大小和內(nèi)外圓半徑差，提出廣義的CLA設(shè)計(jì)方法，能更靈活滿足應(yīng)用對(duì)陣列性能的指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)出的陣列比原CLA更具有工程實(shí)際意義。進(jìn)一步結(jié)合陣元總數(shù)約束，提出平均靈敏度最優(yōu)的廣義CLA優(yōu)化方法，仿真表明：優(yōu)化后的陣列排布具有更高的亮溫靈敏度。本文的陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)中未考慮實(shí)際單元天線的幾何尺寸及其對(duì)陣列性能的影響，實(shí)際天線具有一定的尺寸，在約束的圓環(huán)區(qū)域中需要一定的空間位置來放置，未來工作可將天線物理尺寸納入布陣約束條件，進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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