空間相機主反射鏡的拓撲優(yōu)化設(shè)計

劉秀敏，何 斌，沙 巍，張星祥，孫 斌，任建岳

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院研究生院，北京 100039）

空間相機主反射鏡的拓撲優(yōu)化設(shè)計

劉秀敏1，2，何 斌1，沙 巍1，2，張星祥1，孫 斌1，任建岳1

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院研究生院，北京 100039）

為滿足空間反射鏡高面形精度、高輕量化率的要求，在外徑700mm圓反射鏡的設(shè)計過程中引入拓撲優(yōu)化方法，依據(jù)變密度法建立了SIMP模型。在反射鏡光軸方向重力工況下，以結(jié)構(gòu)整體柔度為設(shè)計約束，最小體積為設(shè)計目標(biāo)進行迭代，優(yōu)化設(shè)計出了RMS值為8.89nm，輕量化率達82％的反射鏡模型。在同等質(zhì)量下，基于傳統(tǒng)的三角形輕量化孔結(jié)構(gòu)設(shè)計出的反射鏡模型RMS值為11.75nm，輕量化率為65％。在徑向重力工況下，拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)也能滿足面形要求。計算結(jié)果表明，拓撲優(yōu)化的輕量化形式在面形和輕量化率上都優(yōu)于傳統(tǒng)形式。

空間反射鏡；拓撲優(yōu)化；鏡面面形

1 引言

隨著空間光學(xué)遙感器觀測精度的不斷提高，對其主要光學(xué)元件的精度要求也越來越高。主鏡作為空間光學(xué)遙感器的關(guān)鍵件之一，對它的要求是質(zhì)量輕，且鏡片的可加工性好，不致于在外載荷的作用下產(chǎn)生面形精度超差。由于主鏡是光學(xué)遙感器中具有大集中質(zhì)量的光學(xué)元件，其質(zhì)量的增加，會使整機質(zhì)量增加，成本上升；同時動力學(xué)特性也發(fā)生改變，導(dǎo)致整機自振頻率的下降，抵抗整機運行過程中常見的低頻振動能力降低，所以輕量化主鏡在重量減小的同時，不僅能改變自身性能，還可以改善光機系統(tǒng)的力學(xué)性能［1］。

拓撲優(yōu)化設(shè)計處于結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計階段，其主要思想是把尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲問題轉(zhuǎn)化為在給定的設(shè)計區(qū)域內(nèi)尋求材料的最佳分布問題［2］。具體來說就是在一個確定的連續(xù)區(qū)域內(nèi)尋求結(jié)構(gòu)內(nèi)部非實體區(qū)域位置和數(shù)量的最佳配置，以及結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件布局及節(jié)點聯(lián)結(jié)方式最優(yōu)化，使結(jié)構(gòu)能在滿足應(yīng)力、位移等約束條件下，將外載荷傳遞到結(jié)構(gòu)支撐位置，同時使結(jié)構(gòu)的某種性態(tài)指標(biāo)達到最優(yōu)。本文將拓撲優(yōu)化方法引入了一個外徑為700mm的圓反射鏡的設(shè)計過程，利用拓撲優(yōu)化進行主反射鏡的輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計，克服了傳統(tǒng)主反射鏡參數(shù)化設(shè)計的局限性，完成了設(shè)計所要求的輕量化主反射鏡的最佳拓撲結(jié)構(gòu)形式。

2 拓撲優(yōu)化理論基礎(chǔ)

2.1 基本理論

變密度法是連續(xù)體拓撲優(yōu)化的常用方法，屬于材料描述方式。該方法的基本思想是引入一種假想的密度，即O-1的可變材料，指定每個有限單元的密度相同，并以每個單元的相對密度為設(shè)計變量。當(dāng)單元相對密度z＝0時，表示該單元無材料，單元應(yīng)刪除；當(dāng)單元相對密度z＝1時，表示該單元有材料，應(yīng)保留或增加該單元。變密度法直接假定相對密度與材料彈性模量之間的非線性對應(yīng)關(guān)系［3］。其中應(yīng)用得比較多的模型是SIMP（Solid Isotropic Microstructure with Penalization）法，其材料模型為：

式中：xe為每個單元的相對密度，ρ（x）為拓撲優(yōu)化設(shè)計變量，ρ0為設(shè)計區(qū)域每個單元的固有密度，E（x）為優(yōu)化后的彈性模量，E0為初始彈性模量，p為懲罰因子［4］。

2.2 數(shù)學(xué)求解方法

目前，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)求解方法主要分為優(yōu)化準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和遺傳算法［5］。

早期的結(jié)構(gòu)（特別是航空結(jié)構(gòu)）設(shè)計使用的是直覺的準(zhǔn)則法，如滿應(yīng)力設(shè)計，同時破壞模式和均勻能量密度方法。優(yōu)化準(zhǔn)則法不需要導(dǎo)數(shù)信息，對設(shè)計變量的增加不敏感，迭代次數(shù)少，計算效率高，還由于概念簡單，容易編程，特別適合于工程實際的應(yīng)用。但另一方面，優(yōu)化準(zhǔn)則法需要建立準(zhǔn)則和相應(yīng)的迭代公式，而建立準(zhǔn)則和迭代公式的理論依據(jù)尚欠充分，且與研究問題的特點有關(guān)，缺乏通用性。所以，優(yōu)化準(zhǔn)則法不能保證收斂到最優(yōu)解，甚至不能收斂到局部最優(yōu)解，或不收斂。

在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法中，結(jié)構(gòu)設(shè)計成為被一些應(yīng)力、位移和頻率等行為函數(shù)約束的多維設(shè)計空間中的目標(biāo)函數(shù)的極值問題，可采用線性和非線性規(guī)劃得到極值解。數(shù)學(xué)規(guī)劃不僅要進行結(jié)構(gòu)分析，還需要計算每個設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)，特別是實際問題中變量較多時，優(yōu)化效率很低，運算費用太高。

遺傳算法是借鑒生物進化的原理產(chǎn)生的一種人工智能算法。遺傳算法更適于尋找全局最優(yōu)解，且可以同時找到幾個局部最優(yōu)解，不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，具有理論模型簡單等優(yōu)點。尤其是對離散變量的尋優(yōu)，更有獨到之處，但目前算法的計算效率還有待進一步提高。

2.3 反射鏡拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)設(shè)計中經(jīng)常以剛度最大化或應(yīng)變能最小化作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)整體的體積約束作為優(yōu)化的約束條件，在給定載荷和位移邊界條件下，基于密度函數(shù)模型建立線彈性結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的靜力狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型為：

式中，Vj為優(yōu)化后的單元體積，xj為單元設(shè)計變量，C（x）-C*≤0為結(jié)構(gòu)的總體柔度約束，U為位移列陣，K為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，F(xiàn)為力向量，xmin為單元設(shè)計變量下限（引入密度xmin下限的目的是防止單元剛度矩陣奇異），n為結(jié)構(gòu)離散單元總數(shù)。

在反射鏡模型中，將對結(jié)構(gòu)剛度（柔度）的要求轉(zhuǎn)化為對鏡面節(jié)點的位移量要求，從而柔度響應(yīng)可以用鏡面節(jié)點的總位移來代替。將體積分?jǐn)?shù)定義為響應(yīng)，根據(jù)數(shù)學(xué)模型，取鏡面節(jié)點總位移最大10nm作為約束上限，以最小體積為目標(biāo)進行迭代。

3 反射鏡拓撲優(yōu)化模型求解

3.1 反射鏡模型

圖1 反射鏡有限元模型Fig.1 FEM of themirror

研究對象為空間光學(xué)遙感器的主反射鏡（如圖1），外徑為700mm，內(nèi)徑為175mm，鏡面為凹球面，背部為平背形，材料為碳化硅［6］。定義光軸方向為地面的法向，此工況下，反射鏡采用背部三點支撐方式［7］，由背部支撐提供支撐力。本文是在光軸與地面垂直時在自重作用與背部支撐綜合工況下對反射鏡進行拓撲優(yōu)化的。

圖2為模型設(shè)計區(qū)域和非設(shè)計區(qū)域定義情況，因為必須要保證反射鏡鏡面的完整性及3個支撐孔具有一定的壁厚，所以將支撐孔孔壁（5mm）和反射鏡面（5mm）等區(qū)域排除在設(shè)計區(qū)域以外。

圖2 反射鏡拓撲優(yōu)化模型Fig.2 Original topologicalmodel

圖3 拓撲優(yōu)化流程Fig.3 Flow chart of topological optimization

3.2 優(yōu)化的應(yīng)用

利用OPTISTRUCT優(yōu)化軟件，對主鏡進行連續(xù)體拓撲優(yōu)化，流程如圖3所示。經(jīng)過迭代分析計算，得到了主反射鏡最終拓撲結(jié)構(gòu)形式。優(yōu)化后的輕量化形式如圖4所示，拓撲優(yōu)化得到的輕量化形式并不能直接應(yīng)用于工程，需要根據(jù)要求將此形式稍作改動，將輕量化形式轉(zhuǎn)換為較容易加工的加強筋形式（圖5），進而在不改動拓撲形式的情況下達到最佳工藝性。

圖4 拓撲優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Topological optimization result

圖5 拓撲優(yōu)化模型Fig.5 Mirrormodel after topological optimization

3.3 優(yōu)化結(jié)果及對比

為比較拓撲優(yōu)化后反射鏡的PV和RMS值，建立了比較模型（圖6），三角形輕量化孔相對于正方形、六邊形和扇形輕量化孔在自重變形和熱變形兩個方面的表現(xiàn)都相對突出，同時也能達到相當(dāng)高的輕量化率［8］。在軸向重力工況下對兩模型進行對比計算得到軸向變形云紋圖，如圖7和圖8所示。

圖6 三角形輕量化孔模型Fig.6 Model of triangular lightweight hole

圖7 拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)變形云紋圖（軸向）Fig.7 Displacement contours of optimized topological model（axial）

圖8 對比結(jié)構(gòu)變形云紋圖（軸向）Fig.8 Displacement contours of contrastive model（axial）

常規(guī)方式和拓撲優(yōu)化方式的反射鏡模型PV和PMS值的對比結(jié)果列于表1。

表1 方法對比（軸向）Tab.1 Com parison ofmethods（axial）

從表1可以看出，拓撲優(yōu)化的輕量化結(jié)構(gòu)與常規(guī)優(yōu)化結(jié)構(gòu)均能滿足鏡面面形要求，但是經(jīng)拓撲優(yōu)化方法得到的反射鏡結(jié)構(gòu)不僅在面形和輕量化率上優(yōu)于常規(guī)結(jié)構(gòu)，在一階頻率上也優(yōu)于常規(guī)結(jié)構(gòu)。拓撲優(yōu)化是在軸向重力工況下尋優(yōu)得到的，而反射鏡在徑向重力工況下的面形值也需要考慮，在徑向重力工況下對兩模型進行對比計算，得到變形云紋圖（圖9、圖10）、PV和RMS值（表2）。

圖9 拓撲優(yōu)化后的變形云紋圖（徑向）Fig.9 Displacement contours of optimized topological model（radial）

圖10 對比模型變形云紋圖（徑向）Fig.10 Displacement contours of contrastivemodel（radial）

由于拓撲優(yōu)化是針對軸向重力工況下，保證軸向剛度情況下實現(xiàn)的最小體積設(shè)計，所以在其他工程參數(shù)上可能會有所降低。拓撲優(yōu)化的目標(biāo)一般是工程中比較重要的參數(shù)，其他較次要的參數(shù)指標(biāo)如果在設(shè)計中有所下降，只要依然在允許范圍內(nèi)，即認(rèn)為拓撲優(yōu)化設(shè)計是可行的。如果存在多個重要參數(shù)，則可以在模型中添加多個設(shè)計約束，從而達到滿足多個要求的優(yōu)化結(jié)果。

從表2中的數(shù)據(jù)可見，針對軸向重力方向?qū)Ψ瓷溏R進行拓撲優(yōu)化，導(dǎo)致徑向重力下的面形精度有所下降，不過優(yōu)化結(jié)果完全能滿足徑向重力工況的設(shè)計要求。綜合考慮以上兩種工況，可以說明拓撲優(yōu)化方法得到的反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)優(yōu)于常規(guī)輕量化結(jié)構(gòu)［9］。

表2 方法對比（徑向）Tab.2 Comparison ofmethods（radial）

4 結(jié)論

本文將拓撲優(yōu)化設(shè)計方法應(yīng)用在空間光學(xué)遙感器主反射鏡的輕量化設(shè)計中，得到了滿足面形要求及較高輕量化率的最佳主反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)。該方法打破了主反射鏡傳統(tǒng)的設(shè)計思路，理論性強、目的明確、效率高，是一種新型的設(shè)計方法。該方法也可以推廣到其它部件的設(shè)計上，為機械設(shè)計人員提供全新的設(shè)計方案，進而得到更合理的結(jié)構(gòu)。

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Topological lightweight design of primary m irror in space camera

LIU Xiu-min1，2，HE Bin2，SHAWei1，2，ZHANG Xing-xiang1，SUN Bin1，REN Jian-yue1
（1.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ineMechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China）

In order to satisfy the strict requirements of the surface-shapes and lightweight ratios for spacemirrors，the topologicalmethod was introduced to design the reflectmirror with aФ700mm.According to the densitymethod，the Solid Isotropic Microstructure with Penalization（SIMP）model was established.In the condition of axial-oriented gravity，by taking the general flexibility as a design constraint，and the minimum volume as a design objective，a better structure with a RMSof8.89nm and a lightweight ratio of82％was obtained after iterations.In the same weight，the conventional triangular lightweight structure shows its RMS in 11.75nm and lightweight ratio in 65％.In the condition of radial-oriented gravity，the surface-shape of the topological structure alsomeets the requirements of the design.In the considerations of the surface-shape and lightweight ratio，the computational result shows that the topological optimizationmethod is better than the conventionalmethod.

spacemirror；topological optimization；surface-shape

國家863高技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目（863-2-5-1-13B）

1674-2915（2010）03-0239-06

V475.3；TH703

A

2010-01-22；

2010-03-16

劉秀敏（1985—），女，河北衡水人，碩士研究生，主要從事空間光學(xué)儀器CAD/CAE方面的研究。E-mail：liuxiumin1126@126.com

何 斌（1961—），男，吉林長春人，研究員，主要從事空間光學(xué)遙感器技術(shù)方面的研究。E-mail：hbemail@163.com