一類二自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析

李海虹，楊志永

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，太原 030024)

天津大學(xué)擁有獨(dú)立知識(shí)產(chǎn)權(quán)的二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu) Diamond機(jī)器人目前已規(guī)?；瘧?yīng)用在電子、醫(yī)藥、食品等工業(yè)領(lǐng)域中，為包裝、移載等物流環(huán)節(jié)提供了高效、高質(zhì)的保障[1]．為了滿足不斷提高的生產(chǎn)效率，需要進(jìn)一步對(duì)機(jī)器人進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，從而減輕慣性負(fù)載，提高作業(yè)速度．隨著質(zhì)量的降低，構(gòu)件的柔度增大，特別是類如 Diamond 機(jī)器人這種主要部件為柔性連桿的機(jī)構(gòu)，盡管采用了輕質(zhì)高強(qiáng)碳纖維材料，但是由于作業(yè)速度高，慣性負(fù)載大，很容易產(chǎn)生變形和振動(dòng)，影響作業(yè)精度和疲勞壽命，必須進(jìn)行機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)特性的研究，針對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力狀態(tài)，探索抑制彈性動(dòng)力響應(yīng)的措施．

隨著有限元方法的完善和軟件的普及，目前國(guó)內(nèi)外大多彈性動(dòng)力學(xué)研究都集中在理論建模的基礎(chǔ)上，借助計(jì)算機(jī)仿真完成動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)[2]．然而在初始建立有限元模型時(shí)，一般無(wú)法完全獲悉物理模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，只能利用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析完成模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)．經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，模態(tài)分析技術(shù)已經(jīng)比較完善，成功地應(yīng)用在結(jié)構(gòu)性能評(píng)價(jià)、結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)修改和動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究中[3-6]．但是高速機(jī)器人在運(yùn)行時(shí)具有較為明顯的時(shí)變模態(tài)特性，時(shí)變模態(tài)是復(fù)雜時(shí)變機(jī)械系統(tǒng)的研究難題，目前多集中在理論研究領(lǐng)域[7]．對(duì)于機(jī)器人方面的研究，文獻(xiàn)[8]分析了一類平面并聯(lián)機(jī)器人整機(jī)低階固有頻率分布與位姿變換的關(guān)系，而未報(bào)道適用于并聯(lián)機(jī)器人時(shí)變特性研究的模態(tài)試驗(yàn)方法. 為此，筆者以Diamond并聯(lián)機(jī)器人的時(shí)變模態(tài)研究為例，針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)特征，提出適用于時(shí)變模態(tài)研究的試驗(yàn)方法．

1 試驗(yàn)系統(tǒng)分析及試驗(yàn)方案制訂

由于Diamond機(jī)構(gòu)(如圖1所示)在工作過(guò)程中是一個(gè)時(shí)變機(jī)構(gòu)，而利用試驗(yàn)方法進(jìn)行時(shí)變機(jī)構(gòu)的模態(tài)分析的文章少有發(fā)表，所以本次研究將需要首先制訂適用于時(shí)變機(jī)構(gòu)的特定試驗(yàn)方案，并根據(jù)該方案搭建試驗(yàn)系統(tǒng)．

圖1 Diamond機(jī)器人Fig.1 Diamond robot

根據(jù) Diamond結(jié)構(gòu)特征，不易選擇柔性桿作為激勵(lì)對(duì)象，只能對(duì)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行激勵(lì)，在柔性桿多測(cè)點(diǎn)處完成拾振．圖 2為測(cè)點(diǎn)布置示意，圖中矩形標(biāo)記點(diǎn)即拾振點(diǎn)．鑒于傳感器質(zhì)量對(duì)柔性輕質(zhì)桿件模態(tài)的影響，每次拾振只能安裝一個(gè)傳感器，即只能拾取一個(gè)方向的振動(dòng)信號(hào)．

圖2 模態(tài)試驗(yàn)所需測(cè)點(diǎn)布置示意Fig.2 Geometry with the nodes for modal test

圖3顯示了Diamond工作空間和典型門字型工作軌跡．為了研究該機(jī)構(gòu)沿著該軌跡工作時(shí)動(dòng)態(tài)特性的變化規(guī)律，需要選取 N個(gè)位姿點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)．位姿點(diǎn)越多越可以提高時(shí)變模態(tài)規(guī)律的準(zhǔn)確性，但卻顯著增加了模態(tài)分析的工作量．其實(shí)，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)精度主要體現(xiàn)在動(dòng)平臺(tái)上，所以以動(dòng)平臺(tái)為觀測(cè)對(duì)象時(shí)，該機(jī)構(gòu)的模態(tài)可以劃分為以影響動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)精度的模態(tài)和其他模態(tài)．即將動(dòng)平臺(tái)看作剛體，在xOy平面內(nèi)，該剛體將體現(xiàn)為3個(gè)自由度的模態(tài)．如果只需完成三自由度簡(jiǎn)化模型的模態(tài)試驗(yàn)，不僅不會(huì)遺漏影響動(dòng)平臺(tái)精度的主要模態(tài)，還可以提高試驗(yàn)效率．

圖3 Diamond機(jī)器人工作空間及軌跡示意Fig.3 Working space and moving platform trajectory of the Diamond robot

簡(jiǎn)化后的模型如圖4所示．根據(jù)軌跡及機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性，測(cè)得8個(gè)位姿的模態(tài)數(shù)據(jù)就可以得到整個(gè)軌跡中15個(gè)位姿點(diǎn)的模態(tài)參數(shù)，各位姿間距60,mm，為工作行程距離的14.3%，基本可以滿足變化趨勢(shì)分析的精度．

圖4 簡(jiǎn)化模型及被測(cè)位姿示意Fig.4 Test configuration of the simplified model

由于簡(jiǎn)化模型的模態(tài)是諸多結(jié)構(gòu)參數(shù)的綜合體現(xiàn)，所以無(wú)法確定影響模態(tài)變化規(guī)律的結(jié)構(gòu)因素，尚需要完成機(jī)構(gòu)在典型位姿處的整體模型的模態(tài)，通過(guò)對(duì)比分析得出影響動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)精度的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)．對(duì)稱位姿是衡量此類機(jī)構(gòu)特性的主要位姿，同時(shí)起始點(diǎn)位姿是決定抓取機(jī)器人操作動(dòng)態(tài)精度的關(guān)鍵位姿，所以本次試驗(yàn)將對(duì)以上2個(gè)典型位姿進(jìn)行完整模型的模態(tài)試驗(yàn)．

根據(jù)以上分析，本次試驗(yàn)方案可以描述如下：分別進(jìn)行工作軌跡中 8個(gè)特定位姿處機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型的模態(tài)測(cè)試，根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，即模態(tài)頻率、模態(tài)振型、模態(tài)阻尼等模態(tài)參數(shù)，對(duì)樣機(jī)進(jìn)行直接的動(dòng)態(tài)性能評(píng)估，確定該時(shí)變機(jī)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)變換規(guī)律，驗(yàn)證理論分析結(jié)果的正確性．其次，分析該機(jī)構(gòu)在 2個(gè)典型位姿處的整體模型的模態(tài)．通過(guò)對(duì)比，尋找一階或若干階影響動(dòng)平臺(tái)精度的關(guān)鍵模態(tài)，確認(rèn)決定性能缺陷的主要因素，為理論模型修正提供修正基準(zhǔn)以及為進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供需要改進(jìn)的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)．

2 搭建試驗(yàn)系統(tǒng)

目前模態(tài)分析技術(shù)在結(jié)構(gòu)性能評(píng)價(jià)、結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)修改和優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究中的重要性日益顯現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外都研發(fā)了很多硬件及軟件系統(tǒng)，此次研究采用 B&K傳感器及LMS-Lab系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)完成模態(tài)試驗(yàn)．

由于該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)時(shí)為手抓安裝留有安裝孔，無(wú)法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確點(diǎn)的激勵(lì)，所以特別設(shè)計(jì)了安裝試驗(yàn)傳感器的夾具，如圖 5(a)所示．該夾具不僅可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確點(diǎn)的鉛垂激勵(lì)及水平激勵(lì)，同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)3個(gè)自由度的模態(tài)識(shí)別，即通過(guò) 1號(hào)傳感器識(shí)別水平模態(tài)、1號(hào)及 2號(hào)傳感器的信號(hào)異步識(shí)別轉(zhuǎn)角模態(tài)，以及通過(guò) 3號(hào)傳感器識(shí)別鉛垂方向的模態(tài)，如圖 5(b)所示．各傳感器及試驗(yàn)用力錘參數(shù)如表1所示．根據(jù)試驗(yàn)方案搭建測(cè)試系統(tǒng)如圖6所示．

圖5 試驗(yàn)夾具及傳感器安裝示意Fig.5 Clamp and installation of the sensors

表1 模態(tài)試驗(yàn)用儀器參數(shù)Tab.1 Parameters of the instruments in the modal test

圖6 試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.6 Test system

3 模態(tài)試驗(yàn)

根據(jù)試驗(yàn)方案，進(jìn)行時(shí)變模態(tài)變化規(guī)律的研究和典型位姿下的模態(tài)分析．

3.1 模態(tài)參數(shù)沿軌跡變化趨勢(shì)的試驗(yàn)研究

機(jī)構(gòu)在如圖4所示8個(gè)位姿處，分別通過(guò)水平及鉛垂激勵(lì)動(dòng)平臺(tái)，三通道同時(shí)拾振完成模態(tài)測(cè)試．圖7和圖 8分別是鉛垂方向以及水平方向本點(diǎn)激勵(lì)本點(diǎn)響應(yīng)的8個(gè)實(shí)時(shí)傳遞函數(shù)．其中水平方向由S-1傳感器進(jìn)行拾振．

匯總各路頻響函數(shù)的頻率峰值如表2所列，值得說(shuō)明的是，水平激勵(lì)時(shí)，20,Hz左右出現(xiàn)峰值，經(jīng)模態(tài)試驗(yàn)初測(cè)，動(dòng)平臺(tái)沿鉛垂軸扭轉(zhuǎn)模態(tài)為 20,Hz左右，其產(chǎn)生原因是由于水平激勵(lì)時(shí)，力錘未能準(zhǔn)確敲擊在鉛垂軸線上，從而造成動(dòng)平臺(tái)扭轉(zhuǎn)．由于扭轉(zhuǎn)模態(tài)影響動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)精度程度有限，所以該頻段處的扭轉(zhuǎn)模態(tài)不予考慮．

利用MATLAB中CFTOOL中的擬合工具，選用樣條曲線做數(shù)據(jù)擬合得到鉛垂模態(tài)及水平模態(tài)沿位姿變換規(guī)律，如圖 9所示．由于 S-1傳感器和 S-2傳感器測(cè)定的頻率峰值接近，所以只將 S-1傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析．

圖7 動(dòng)平臺(tái)鉛垂方向本點(diǎn)激勵(lì)本點(diǎn)響應(yīng)測(cè)得頻響函數(shù)Fig.7 FRFs of the moving platform along the vertical direction while the response point is the excitation point

表2 8個(gè)位姿處測(cè)得的頻響函數(shù)頻率峰值Tab.2 Peaks of the FRFs tested in 8 configurations Hz

通過(guò)動(dòng)平臺(tái)鉛垂模態(tài)及水平模態(tài)的軌跡變化規(guī)律，可以認(rèn)為該機(jī)構(gòu)在水平方向的固有頻率比鉛垂方向的固有頻率普遍低些，而兩個(gè)方向模態(tài)沿位姿變化基本浮動(dòng)在幾赫茲內(nèi)，無(wú)明顯奇變．

圖8 動(dòng)平臺(tái)水平方向本點(diǎn)激勵(lì)本點(diǎn)響應(yīng)測(cè)得頻響函數(shù)Fig.8 FRFs of the moving platform along the horizontal direction while the response point is the excitation point

利用 LMS模態(tài)參數(shù)識(shí)別模塊，可以識(shí)別出 8個(gè)位姿的模態(tài)，限于篇幅，只列出用于對(duì)比的 2個(gè)典型位姿的簡(jiǎn)化模態(tài)的分析結(jié)果．圖 10(a)為中間位姿處的動(dòng)平臺(tái)模態(tài)，分別對(duì)應(yīng) 36.372,Hz(阻尼率 3.05%)、45.129,Hz(阻尼率 4.23%)和 78.850,Hz(阻尼率8.74%)．圖 10(b)為起始點(diǎn)位姿處的動(dòng)平臺(tái)模態(tài)，分別對(duì)應(yīng)26.932,Hz(阻尼率7.74%)、40.123,Hz(阻尼率2.03%)、49.716,Hz(阻尼率 2.21%)和 81.525,Hz(阻尼率 8.46%)，可見(jiàn)機(jī)構(gòu)的水平平動(dòng)模態(tài)的固有頻率比轉(zhuǎn)角模態(tài)的固有頻率低．

值得注意的是，起始點(diǎn)位姿處，動(dòng)平臺(tái)模態(tài)分析結(jié)果顯示在 49,Hz左右，轉(zhuǎn)角模態(tài)已經(jīng)出現(xiàn)，實(shí)際從8個(gè)位姿的簡(jiǎn)化模型可見(jiàn)，該現(xiàn)象只出現(xiàn)在距離對(duì)稱位姿水平距離 300,mm處的兩個(gè)位姿，即最早出現(xiàn)50,Hz左右的轉(zhuǎn)角模態(tài)位于距離對(duì)稱點(diǎn)偏移 240～300,mm 之間，這一變化的具體原因需要通過(guò)完整模 型的模態(tài)分析才能得到解釋．

圖9 模態(tài)頻率變換規(guī)律曲線Fig.9 Curve of the change of modal frequency

圖10 簡(jiǎn)化模型的模態(tài)Fig.10 Mode shapes of the simplified model

3.2 典型位姿下模態(tài)試驗(yàn)分析

為了確定機(jī)構(gòu)中影響動(dòng)平臺(tái)主導(dǎo)模態(tài)的因素，分別對(duì)對(duì)稱位姿和起始點(diǎn)位姿做完整模型的模態(tài)試驗(yàn)，得到模態(tài)分別如圖11所示．

圖 11(a)中前 4階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)固有頻率為35.830,Hz(阻尼率 4.24%)、43.560,Hz(阻尼率5.15%)、52.130,Hz(阻尼率 3.56%)和 81.256,Hz(阻尼率 9.49%)．圖 11(b)中前 5階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)固有頻率為 26.750,Hz(阻尼率 13.43%)、36.639,Hz(阻尼率 4.94%)、41.898,Hz(阻尼率 9.97%)、51.018,Hz(阻尼率9.32%)和80.991,Hz(阻尼率5.67%)．

圖11 完整模型的模態(tài)Fig.11 Mode shapes of the full model

3.3 對(duì)比分析

通過(guò)對(duì)比對(duì)稱位姿處兩類模型的模態(tài)分析，可以看出：第一階固有頻率大概位于 35,Hz處，該階模態(tài)主要表現(xiàn)在主動(dòng)臂交錯(cuò)上下，從而帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)變形，動(dòng)平臺(tái)則相應(yīng)表現(xiàn)為基本沿水平位移；第二階固有頻率大概位于43,Hz處，該階模態(tài)主要表現(xiàn)為主動(dòng)臂的同步上下，從而帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)基本保持鉛垂方向位移；第三階固有頻率大概位于 52,Hz處，主要表現(xiàn)為從動(dòng)臂的變形，而動(dòng)平臺(tái)基本不變，所以在簡(jiǎn)化模型的模態(tài)試驗(yàn)，未能識(shí)別出該模態(tài)，也可以認(rèn)為簡(jiǎn)化模型的模態(tài)分析可以剔除與動(dòng)平臺(tái)精度無(wú)關(guān)的模態(tài)，從而提高了模態(tài)分析效率；第四階固有頻率大概位于 81,Hz處，主要表現(xiàn)為完全由于從動(dòng)臂擺動(dòng)，造成動(dòng)平臺(tái)在xOy面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)．

根據(jù)以上分析，主動(dòng)臂剛度是影響動(dòng)平臺(tái)水平以及鉛垂位移精度的主要因素，而從動(dòng)臂剛度則主要影響動(dòng)平臺(tái)扭轉(zhuǎn)剛度．且只有當(dāng)從動(dòng)臂同步變形時(shí)，才會(huì)造成動(dòng)平臺(tái)的扭轉(zhuǎn)．

通過(guò)對(duì)比起始點(diǎn)位姿處兩類簡(jiǎn)單模型的模態(tài)分析，可以看出，第一階固有頻率大概位于26,Hz處，該階模態(tài)主要表現(xiàn)在主動(dòng)臂交錯(cuò)上下，從而帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)變形，動(dòng)平臺(tái)則相應(yīng)表現(xiàn)為基本沿水平位移；第二階固有頻率大概位于 36,Hz處，主要表現(xiàn)為從動(dòng)臂的變形，但對(duì)動(dòng)平臺(tái)位移影響不大，所以在簡(jiǎn)化模型中未能識(shí)別出該模態(tài)；第三階固有頻率大概位于 41,Hz處，該階模態(tài)主要表現(xiàn)為主動(dòng)臂的同步上下，從而帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)基本保持鉛垂方向位移；第四階固有頻率大概位于 51,Hz處，主要表現(xiàn)為從動(dòng)臂的變形，此時(shí)與對(duì)稱位姿不同的是，由于機(jī)構(gòu)不對(duì)稱，近水平的從動(dòng)臂振動(dòng)使得動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角位移，所以在簡(jiǎn)化模型中識(shí)別出了轉(zhuǎn)角模態(tài)；第五階固有頻率大概位于81,Hz處，主要表現(xiàn)為完全由于兩邊從動(dòng)臂擺動(dòng)，造成動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)．

通過(guò)位姿對(duì)比結(jié)果得出主動(dòng)臂的剛度影響動(dòng)平臺(tái)水平及鉛垂剛度的結(jié)論與對(duì)稱位姿是一致的，所不同的是，由于受力情況的改變，即從動(dòng)桿單元的約束條件變化，受從動(dòng)桿剛度影響的動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角模態(tài)變化比較大，尤其是處于遠(yuǎn)離對(duì)稱位姿的工況．但是考慮到實(shí)際機(jī)構(gòu)工作方式是通過(guò)吸盤或手抓完成抓取放置操作，同時(shí)衡量機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)精度的主要是動(dòng)平臺(tái)的水平及鉛垂精度，雖然轉(zhuǎn)角動(dòng)剛度隨位姿發(fā)生較大變化，但其對(duì)應(yīng)固有頻率比較高，所以在改善機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的方案中將主要以提高水平動(dòng)剛度和鉛垂動(dòng)剛度為主要研究?jī)?nèi)容．根據(jù)分析主動(dòng)臂裝配體確定為改進(jìn)的關(guān)鍵部件．

4 結(jié)果分析

通過(guò)第 3.3節(jié)的分析，影響機(jī)構(gòu)動(dòng)剛度的薄弱環(huán)節(jié)確認(rèn)為主動(dòng)臂，但是比較從動(dòng)臂裝配體和主動(dòng)臂裝配體可知，單一主動(dòng)臂裝配體剛度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于從動(dòng)臂剛度，而且從模態(tài)圖中可以顯示，主動(dòng)臂局部的模態(tài)變形在分析的頻域內(nèi)并未出現(xiàn)．通過(guò)觀察機(jī)構(gòu)與減速器及電機(jī)裝配體，可以判定，造成以上兩種判斷矛盾的真正原因是聯(lián)接軸，即造成動(dòng)平臺(tái)動(dòng)剛度下降的主要原因應(yīng)該是聯(lián)接主動(dòng)臂和減速器的軸，軸的剛度才是最終影響機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)平動(dòng)位移動(dòng)剛度的主要因素，是真正影響機(jī)構(gòu)動(dòng)剛度的薄弱環(huán)節(jié)和改進(jìn)對(duì)象．

在理論計(jì)算模型和仿真模型中，均認(rèn)為軸的材料為鋼，且約束條件為固定聯(lián)接方式，所以模態(tài)分析結(jié)果與試驗(yàn)出現(xiàn)不一致，圖 12(a)中是理論模型得出該實(shí)變機(jī)構(gòu)的模態(tài)頻率變化規(guī)律曲線，與圖9的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線有較大差異，圖 12(b)是降低軸的彈性模量 50%后的頻率變化規(guī)律曲線，則與圖 9的試驗(yàn)曲線更為相似．

綜上，減速器軸的彈性模量只是假定值，在今后的研究中，將圍繞軸單元的準(zhǔn)確修正量，借助動(dòng)力修改判據(jù)進(jìn)行確定，同時(shí)改進(jìn)理論模型與仿真模型，修正后的理論模型才能夠用于優(yōu)化設(shè)計(jì)．

圖12 材料參數(shù)修正前后的仿真結(jié)果Fig.12 Simulation result calculated with the initial parameters and the modified parameters

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作方式，提出了研究一類時(shí)變機(jī)構(gòu)模態(tài)變化規(guī)律的試驗(yàn)方法，該方法通過(guò)同一機(jī)構(gòu)兩類模型的模態(tài)試驗(yàn)及對(duì)比分析，以簡(jiǎn)潔高效的方式研究了模態(tài)的時(shí)變規(guī)律，為理論模型提供了修正參照．該方法適用于在結(jié)構(gòu)及運(yùn)行軌跡方面具有空間對(duì)稱性的時(shí)變機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)研究．

［1］Huang T，Wang P F，Mei J P，et al. Time minimum trajectory planning of a 2-dof translational parallel robot for pick-and-place operations[J].CIRP Annals—Manufacturing Technology，2007，56(1)：365-368.

［2］劉善增，余躍慶，劉慶波，等，3-RRS并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2008，19(15)：1778-1781.

Liu Shanzeng，Yu Yueqing，Liu Qingbo，et al. Dynamics analysis of a 3-RRS parallel manipulator[J]．China Mechanical Engineering，2008，19(15)：1778-1781(in Chinese)．

［3］Agneni1 A，Coppotelli G. Modal parameter prediction for structures with resistive loaded piezoelectric devices[J].Experimental Mechanics，2004，44(1)：97-100.

［4］Vivas A，Poignet P，Marquet F C，et al. Experimental dynamic identification of a fully parallel robot[C]∥Proceedings of the 2003 IEEE：Instructional Conference on Robotics and Automation.Taipei，China，2003：3278-3283.

［5］Conte J P，He X F，Moaveni B，et al，Dynamic testing of Alfred Zampa Memorial Bridge[J].Journal of Structural Engineering，2008，134(6)：109-113.

［6］Chen Changsong，Yan Donghuang. Dynamic analysis and modal test of long-span cable-stayed bridge based on ambient excitation[J].Journal of Central South University of Technology，2007，14(1)：135-139.

［7］續(xù)秀忠，張志誼，華宏星，等. 結(jié)構(gòu)時(shí)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的時(shí)頻分析方法[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37(1)：122-126.

Xu Xiuzhong，Zhang Zhiyi，Hua Hongxing，et al.Time-varying modal parameter identification with timefrequency analysis methods[J]．Journal of Shanghai Jiaotong University，2003，37(1)：122-126(in Chinese).

［8］Piras G，Cleghorn W L，Mills J K．Dynamic finiteelement analysis of a planar high-speed，high-precision parallel manipulator with flexible links[J].Mechanism and Machine Theory，2005，40(7)：849-862.