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    基于多結(jié)點(diǎn)樣條的自由曲線最小誤差逼近及其應(yīng)用

    2010-04-26 01:03:56余建德
    圖學(xué)學(xué)報(bào) 2010年1期

    余建德, 黃 靜

    (1. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院,澳門;

    2. 北師大珠海分校信息技術(shù)與軟件工程學(xué)院,廣東 珠海 519085)

    基于多結(jié)點(diǎn)樣條的自由曲線最小誤差逼近及其應(yīng)用

    余建德1, 黃 靜2

    (1. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院,澳門;

    2. 北師大珠海分校信息技術(shù)與軟件工程學(xué)院,廣東 珠海 519085)

    多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)具有良好的局部性,而最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)擬合的全局性較好, 因此多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)最小二乘逼近的穩(wěn)定性及數(shù)值精度都能得到有效的保證。該文綜合兩者的特點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了自由曲線離散數(shù)據(jù)最小逼近誤差數(shù)學(xué)模型的建立。同時(shí)應(yīng)用此數(shù)學(xué)模型于一些平面及空間(甚至一些帶噪音的)自由曲線擬合上和幾何造型骨骼化上,測(cè)試其對(duì)各種自由曲線的擬合效果,結(jié)果證明最小逼近效果明顯。

    計(jì)算機(jī)應(yīng)用;最小誤差逼近;多結(jié)點(diǎn)樣條;自由曲線

    1 問(wèn)題的提出

    在實(shí)際應(yīng)用特別是在反向工程中,對(duì)工件測(cè)量(數(shù)字化)之后得到的是一系列離散數(shù)據(jù),為了實(shí)現(xiàn)工件的再加工或誤差評(píng)定,必須對(duì)這些離散數(shù)據(jù)進(jìn)行光滑而精確的曲線曲面重構(gòu),即數(shù)學(xué)建模。為實(shí)現(xiàn)高效率高精度光滑建模,以用于CAD/CAM 系統(tǒng),研究曲線曲面最小誤差逼近擬合建模具有重要意義。

    在建模領(lǐng)域,通常使用B樣條對(duì)曲線曲面進(jìn)行插值建模[1-4],而多結(jié)點(diǎn)樣條近年來(lái)也因?yàn)樗母鞣N優(yōu)勢(shì)而被廣范用于插值法建模方面,且效果顯著。多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)最早是針對(duì)插值問(wèn)題提出的,1975年,齊東旭教授[5-7]給出了多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)的構(gòu)造及計(jì)算格式;后繼的文獻(xiàn)[8-11]給出進(jìn)一步的理論分析和應(yīng)用。對(duì)插值問(wèn)題而言,多結(jié)點(diǎn)技術(shù)的最大優(yōu)點(diǎn)是導(dǎo)致插值過(guò)程無(wú)須求解任何方程組,而且插值格式具有局部性,這是與通常樣條函數(shù)插值(三彎矩算法)在計(jì)算上的根本區(qū)別。被廣泛應(yīng)用的B樣條曲線擬合方法雖然也不必求解方程組,也具有局部性,但在幾何造型的應(yīng)用中,因其無(wú)法保證通過(guò)型值點(diǎn)而給工程計(jì)算帶來(lái)不便,因此多結(jié)點(diǎn)方法在工程應(yīng)用上和理論研究上受到重視。

    鑒于曲線建模是曲面建模的基礎(chǔ),本文研究這種甚具潛力的多結(jié)點(diǎn)樣條擬合建模及其關(guān)鍵問(wèn)題,實(shí)驗(yàn)表明,所建立的曲線擬合數(shù)學(xué)模型逼近擬合效果頗佳。

    2 多結(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)

    多結(jié)點(diǎn)基本樣條函數(shù)是通過(guò)對(duì)等距結(jié)點(diǎn) B樣條基本函數(shù)的平移及迭加而構(gòu)成。 記I為單位算子,μ為平均算子,對(duì)任意給定的常數(shù) ξ,定義

    圖 1 多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)

    多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)(見(jiàn)圖1)的性質(zhì)類似于B樣條基本函數(shù),其主要區(qū)別在于:不是非負(fù)函數(shù),這將導(dǎo)致它構(gòu)成的插值格式不是線性正算子,因此插值結(jié)果對(duì)數(shù)據(jù)而言不具有保凸性,這是追求顯式解,局部性及基數(shù)型性質(zhì)等優(yōu)越性付出的代價(jià)。盡管如此,正如B樣條基本函數(shù)插值對(duì)數(shù)據(jù)沒(méi)有保凸性,但仍然實(shí)用一樣,多結(jié)點(diǎn)樣條插值也仍然是實(shí)用的,它已被成功地應(yīng)用于飛機(jī)外形,進(jìn)氣道,機(jī)翼,海洋,地質(zhì)的數(shù)據(jù)處理以及動(dòng)畫(huà)片的計(jì)算機(jī)制作等領(lǐng)域。

    多結(jié)點(diǎn)技巧的意義首先在于構(gòu)造顯式插值格式。此外,基本函數(shù)的有界支集性質(zhì)保證了插值曲線(面)的局部性,有利于數(shù)據(jù)處理,如果為整數(shù)結(jié)點(diǎn)上給定的數(shù)據(jù),則多結(jié)點(diǎn)樣條插值函數(shù)可寫為

    當(dāng)給出確定的邊界約束條件之后,即可明確給出求和的上下限,對(duì)于給定幾何造型的型值點(diǎn),其參數(shù)形式的多結(jié)點(diǎn)樣條曲線定義為

    3 多結(jié)點(diǎn)樣條最小逼近誤差擬合數(shù)學(xué)模型

    (1) 數(shù)學(xué)模型的建立值得注意的是,由于多結(jié)點(diǎn)樣條基函數(shù)的性質(zhì),使得該方程組的系數(shù)矩陣具有帶狀對(duì)角特點(diǎn),條件數(shù)較好,方程組求解容易速度快,求出的系數(shù)為型值點(diǎn)的代表點(diǎn)。這一特點(diǎn)使得用多結(jié)點(diǎn)樣條最小逼近誤差擬合數(shù)學(xué)模型的方法優(yōu)于其他方法。

    矩陣表達(dá)式為

    4 實(shí)例分析及其應(yīng)用

    利用參數(shù)形式的三次多結(jié)點(diǎn)樣條作最佳逼近的例子。

    (1) 平面曲線的擬合(見(jiàn)圖2)

    下列兩例子的原曲線參數(shù)方程分別為

    圖2 平面曲線擬合

    從這兩個(gè)例子表明,用多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近的擬合,對(duì)于帶有噪音的平面離散數(shù)據(jù),依然可以較好地重構(gòu)原曲線(見(jiàn)圖2),而且所使用的段數(shù)較少,只需16段,即17個(gè)擬合系數(shù),即可較好地完成對(duì)1024個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)擬合。

    (2) 空間曲線的擬合(見(jiàn)圖3)

    下列兩例子(例1和例2)的原曲線參數(shù)方程分別為

    圖3 空間曲線擬合

    圖3(a)和圖3(b)的4個(gè)圖分別是原曲線,原曲線離散化(1024點(diǎn)),帶噪音的離散點(diǎn)及 32段三次多結(jié)點(diǎn)樣條擬合曲線;圖3(c)和圖3(d)的3個(gè)圖分別是帶噪音的離散點(diǎn)云數(shù)據(jù),32段三次多結(jié)點(diǎn)樣條擬合曲線及擬合后曲線的立體形狀。例子表明,使用較少段數(shù)(這里是 32段)的多結(jié)點(diǎn)樣條對(duì)于帶噪音的空間離散數(shù)據(jù),其擬合效果良好。

    (3) 基于多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近骨骼化

    設(shè)想幾何造型是由它的骨骼和骨骼外圍的噪音數(shù)據(jù)組成,那么骨骼化的過(guò)程就相當(dāng)于去噪音的過(guò)程,只要選擇好合適的段數(shù),通過(guò)多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何造型的骨骼化是可行的(見(jiàn)圖4)。文獻(xiàn)[15]應(yīng)用及優(yōu)化了組合模板的概念提出一種快速實(shí)用的細(xì)化算法,下面是該算法圖4(中)與本文算法(右)的比較例子:

    圖4 幾何造型的骨骼化實(shí)例比較

    5 結(jié) 論

    本文實(shí)現(xiàn)了多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近曲線建模,方程組因條件數(shù)較好求解容易速度快,求出的系數(shù)為型值點(diǎn)的代表點(diǎn)。這一特點(diǎn)使得用多結(jié)點(diǎn)樣條最小逼近誤差擬合數(shù)學(xué)模型的方法優(yōu)于其他方法,具有很大靈活性。參數(shù)化的多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近對(duì)于平面及空間離散數(shù)據(jù),甚至是帶噪音的離散數(shù)據(jù),擬合效果良好。應(yīng)用多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近的去噪音性質(zhì),實(shí)驗(yàn)及證實(shí)多結(jié)點(diǎn)樣條最佳逼近還具備對(duì)幾何造形骨骼化的能力,其骨骼化效果滿意。

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    Least Error Approximation and Its Application for Free-Form Curves Based on Multi-Knots Spline

    U Kin-Tak1, HUANG Jing2
    ( 1. Faculty of Information Technology, Macao University of Science and Technology, Macao, China; 2. College of Information Technology and Software Engineering, Beijing Normal University, Zhuhai Campus, Zhuhai Guangdong 519085, China )

    Muti-knots spline has good locality and least square method has good global characteristics for data fitting. Therefore, the stability and numerical accuracy of least square method based on multi-knots spline approximation could be reached effectively. This paper combines the advantages of them and completes the model building of the free-form curves with least approximation error based on multi-knots spline. Meanwhile, this method is applied to the free-form-curve fitting of some plane and space (even with noise) data and Geometry Shape Skelectonization. The fitting results show that the least approximation effect is good.

    computer application; least error approximation; multi-knots spline; free-form-curves

    TP 391.41

    A

    :1003-0158(2010)01-0088-06

    2008-08-05

    澳門科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(018/2005A,045/2006A);北京師范大學(xué)珠海分校重點(diǎn)資助項(xiàng)目(Z06007)

    余建德(1973-),男,廣東中山人,講師,博士研究生,主要研究方向?yàn)閿?shù)字信號(hào)處理算法。

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