曲柄搖桿式脈動無級變速器的機構參數(shù)優(yōu)化

徐彥蘭,王玉順

(1.山西農業(yè)大學 工學院,山西太谷 030801,2.山西農業(yè)機械化學校,山西 平遙031101)

播種機上配置脈動無級變速器是一項有發(fā)展?jié)摿Φ募夹g,它結構精巧緊湊,變換傳動比便捷并能全面適應各類播種要求,但存在傳動比不平穩(wěn)的本質缺陷,因此,機構參數(shù)的優(yōu)化是非常必要的。

曲柄搖桿式脈動無級變速器是脈動類無級變速器中結構較簡單的一種,但也是輸出轉速不平穩(wěn)較為嚴重的一種[1～5],研究它的機構優(yōu)化問題對此類變速器的設計和制造具有普遍意義。

國內有學者以輸出角速度脈動率、角速度波谷處角加速度突變量等的加權和為目標函數(shù),研究了曲柄搖桿與雙搖桿串聯(lián)六桿機構、曲柄搖塊式機構等的參數(shù)優(yōu)化問題[6～8],并獲得有意義的優(yōu)化結果。

本文擬以表征輸出轉速平穩(wěn)性的變異系數(shù)為目標函數(shù),輔助以仿真試驗,探討變速范圍內曲柄搖桿式脈動無級變速器的綜合優(yōu)化問題。

1 曲柄搖桿式脈動無級變速機構原理

如圖1所示,曲柄搖桿脈動無級變速器主要有曲柄軸A(輸入軸)、曲柄 AB、連桿 BC、搖桿 CD、搖桿軸D(輸出軸)、超越離合器E、機架AD等組成,其中搖桿CD通過超越離合器單向驅動搖桿軸D。工作時,假定曲柄軸A恒速旋轉,曲柄AB通過連桿BC驅動搖桿CD往復擺動。若搖桿CD正向擺動,超越離合器作用會使搖桿軸D產生一定的轉角,若搖桿CD反向擺動,超越離合器作用會使搖桿軸D脫離搖桿驅動,無轉角產生?；驹硎?將輸入軸的勻速轉動轉變?yōu)閾u桿的往復擺動,再通過單向超越離合器將搖桿的往復擺動轉換為輸出軸的單向脈動旋轉。

圖1 曲柄搖桿式脈動無級變速器結構Fig.1 The structural of impulse steeples speed variation

改變曲柄半徑則會變換搖桿擺角的大小,從而實現(xiàn)傳動比的無級調節(jié)。只用一組曲柄搖桿機構驅動搖桿軸稱作單相結構,用二組曲柄搖桿機構同時驅動搖桿軸稱作二相結構,依此類推。采用多相結構可以獲得脈動幅度更小的輸出轉速,相互間隔一定相位差的多組曲柄搖桿機構共同驅動一個搖桿軸,但只有正向擺動轉速最快的那個搖桿起作用,其余搖桿處于脫離驅動狀態(tài)。

2 機構參數(shù)的優(yōu)化設計

機構參數(shù)指各個構件的長度,優(yōu)化設計的目的就是確定輸出轉速脈動達最小的機構參數(shù),以改善搖桿軸輸出轉速的平穩(wěn)性。

2.1 機構矢量分析

如圖2所示,機架AD置為水平,以A為原點建立直角坐標系,水平向右為 軸正向,垂直向上為軸正向。機構的各個構件分別用矢量表示,轉角自軸正向起始度量,逆時針為正,順時針為負。

圖2 無級變速機構閉環(huán)矢量圖Fig.2 Closed loop vector diagram of steeples variablemechanism

曲柄AB表為矢量r1,其矢模r1和矢角 θ1;連桿BC表為矢量r2,其矢模 r2和矢角θ2;搖桿CD表為矢量r3,其矢模 r3和矢角θ3;機架 AD表為矢量r4,其矢模r4和矢角θ4=0。改變曲柄長度r1可實現(xiàn)傳動比的無級調節(jié)。機構的4個位移矢量之間存在下面的關系:

矢量分解為水平分量和垂直分量,則上面的矢量方程可表為矩陣形式:

分別作如下定義,相對曲柄長度R1=r1/r3,相對連桿長度R2=r2/r3,相對搖桿長度R3=r3/r3=1,相對機架長度R4=r4/r3,則得構件相對長度表示的位移矩陣方程:

2.2 機構優(yōu)化模型

優(yōu)化模型討論設計變量、目標函數(shù)和約束條件三個問題。

2.2.1 設計變量

搖桿軸的轉速特性實質上決定于r1、r2、r3和等r4個機構參數(shù)的比例關系,因此優(yōu)化問題的設計變量確定為R1、R2和R4,表為向量 x如下:

2.2.2 目標函數(shù)

目標函數(shù)以實現(xiàn)搖桿軸轉速脈動最小為出發(fā)點建立?？疾煲粋€工作周期,參見圖2,曲柄自極限位置BS恒速轉動到極限位置BZ,亦即曲柄從起始角θ1S旋轉到終止角θ1Z;同時搖桿自極限位置CS擺動到極限位置CZ,亦即搖桿從起始角θ3S旋轉到終止角θ3Z,此過程為機構的驅動行程,剩余行程為機構的回程。參見圖2中的 Δ ACSD,由余弦定理可知:

解得驅動行程的搖桿起始角θ3S如下:

θ3S表為設計變量的函數(shù):

同理,分別得驅動行程的搖桿終止角θ3Z、曲柄起始角θ1S和曲柄終止角θ1Z如下:

定義無級變速器平均傳動比iP為搖桿軸平均轉速與曲柄軸平均轉速之比,則由式(3)和式(4)可得:

由式(1)可推得:

借此構造設計變量x的一個函數(shù)φ(x)如下:

考察驅動行程,曲柄轉角θ1自θ1S至θ1Z等間隔取n個值,對于每一個 θ1值,用優(yōu)化方法使φ(x)的絕對值｜φ(x)｜達最小,從而解出與每個θ1值對應的 θ3值,獲得搖桿轉角 θ3自 θ3S至θ3Z的n 個值 。θ3的n個值表為向量θ3,其中第一個取值θ3[1]=θ3S,最后一個取值 θ3[n]=θ3Z,即

由式(9)得搖桿轉角的增量序列,即如下向量:

對搖桿轉角的增量序列 Δ θ3求取均值m(Δ θ3)和標準差 s(Δ θ3)[9],目標函數(shù)擬采用搖桿轉角增量序列的變異系數(shù),即:

轉角增量序列的變異系數(shù)實質上是轉速的變異系數(shù),反映搖桿軸轉速的相對脈動程度,其值愈小搖桿軸轉速愈平穩(wěn),適宜做目標函數(shù)。

2.2.3 約束條件

考慮機構運動的合理構件長度、曲柄長度調節(jié)和制造尺寸不必過大,選擇下述約束:

考慮機構運動曲柄存在的條件,則有約束:

為保證曲柄搖桿機構的順利傳動,傳動角的值應在允許范圍,等價地換算成連桿與搖桿的夾角φ,則其取值范圍確定為φ∈(30°,150°)。參見圖2,由余弦定理可知

確定與構件起始夾角φS有關的約束如下

同理,確定與構件終了夾角有關的約束如下

研究曲柄搖桿式脈動無級變速機構發(fā)現(xiàn),機構平均傳動比iP的值不同,機構參數(shù)的優(yōu)化結果亦不同,即iP的每個值都對應一組優(yōu)化的機構參數(shù)。因此,考慮傳動比的合理范圍,平均傳動比可分別取值構成等式約束,如下所示:

2.2.4 優(yōu)化問題概述

綜上所述,目標函數(shù)F(x)由式(3)至式(11)的一組公式計算,優(yōu)化模型可歸結為

優(yōu)化的目標,是要獲得使搖桿軸轉速脈動達最小的機構參數(shù),以改善轉速輸出的平穩(wěn)性。

2.3 優(yōu)化結果及討論

采用MATLAB/OptimizationToolboxTM/fmincon函數(shù)編程,求解式(21)描述的優(yōu)化模型,結果匯總于表1并展示于圖3。

表1 機構參數(shù)的優(yōu)化結果Table 1 The optimization results of mechanism parameters

圖3 平均傳動比對機構參數(shù)優(yōu)化的影響Fig.3 The effect of the average transmission ratio on the optimization of mechanism parameters

從表1數(shù)據(jù)和圖3可看出,就優(yōu)化的機構參數(shù)而言,當平均傳動比iP增大時,曲柄長度R1近乎直線增大,連桿長度R2微幅增大再減小,而機架R4較大幅減小,目標函數(shù)F(x)的值一直減小。優(yōu)化結果說明,傳動比較大時,較大的曲柄長度配套較小的機架長度,才能獲得較平穩(wěn)的搖桿軸轉速。

無級變速器的所有機構參數(shù)均可調節(jié)是不現(xiàn)實的,最終采用的優(yōu)化機構參數(shù),實質上是確定曲柄長度的調節(jié)范圍,而連桿長度R1和機架長度R2可從表1中選一組數(shù)據(jù),這一問題后面將討論。

3 機構轉速的仿真試驗及分析

仿真試驗主要解決三個問題:(1)驗證優(yōu)化結果的正確性;(2)探討搖桿軸轉速特性與機構相數(shù)的關系;(3)確定最終的優(yōu)化機構參數(shù)。

3.1 機構速度矩陣方程

式(1)所示的位移矩陣方程對時間求一階導數(shù),得機構速度矩陣方程如下:

機構速度矩陣方程變換為下面的形式:

式中 ω1、ω2和 ω3分別是角位移 θ1、θ2和 θ3對時間的一階導數(shù),即曲柄轉速、連桿轉速和搖桿轉速,逆時針旋轉為正,順時針旋轉為負。

3.2 仿真試驗的誤差方程

由式(1)構造位移仿真誤差方程:

理論上ER≡0,但仿真不可避免地存在誤差,從而使ER≠0,式(23)用于檢驗位移仿真結果的精確性。

由式(22)構造轉速仿真誤差方程:

理論上Eω≡0,但仿真不可避免地存在誤差,從而使Eω≠0,式(24)用于檢驗轉速仿真結果的精確性。

3.3 機構轉速與位移的仿真模型

利用MATLAB建立單相結構曲柄搖桿機構的SIMULINK仿真模型[10],詳見圖4。該仿真模型主要由三個積分模塊和兩個調用自定義函數(shù)的模塊組成,自定義函數(shù)mdcompvel.m根據(jù)式(22)編程,自定義函數(shù)mderrorcheck.m根據(jù)式(23)和式(24)編程。SIMULINK 仿真模型輸出 ω1、ω2、ω3、θ1、θ2、θ3、ER、Eω及時間t等9個變量的仿真結果。

圖4 機構轉速與位移的SIM ULINK仿真模型Fig.4 The SIMU LINK simulation model of the rotational speed and displacement for crank-rocker mechanism

3.4 仿真試驗方案

由于不同傳動比機構參數(shù)的優(yōu)化結果不同,故挑選二套優(yōu)化的機構參數(shù)做仿真試驗。因曲柄轉速對所研究問題無影響,故試驗選用7 r?s-1。

表2方案的試驗對象機構Ⅰ對應iP=1/6(傳動比中值)的優(yōu)化結果,即相對曲柄長度R1的調節(jié)范圍是0.304～0.849,相對連桿長度 R2為1.419,相對機架長度R4為1.591。表中驅動行程的曲柄起始角θ1S、連桿起始角θ2S和搖桿起始角θ3S用于設置圖4所示仿真模型的積分模塊,單位均為弧度。

表2 機構Ⅰ的試驗方案Table 2 The test scheme of mechanismⅠ

表3方案的試驗對象機構Ⅱ對應iP=1/3(傳動比較大值)的優(yōu)化結果。即相對曲柄長度R1的調節(jié)范圍是 0.304～0.849,相對連桿長度R2為1.342,相對機架長度 R4為1.348。

表3 機構Ⅱ的試驗方案Table 3 The test scheme of mechanismⅡ

3.5 仿真結果及分析

運行圖4所示的SIMULINK仿真模型,按表2和表3的要求分別做仿真試驗,并根據(jù)各種使用目的對仿真輸出數(shù)據(jù)進行再處理,由處理結果作如下討論。

3.5.1 搖桿軸轉速特性

圖5展示機構Ⅱ的搖桿轉速特性。由于相對曲柄長度較大,轉速曲線的正弦性較差,正峰值絕對值較小,負峰值絕對值較大,機構有較強的急回作用。

圖6展示機構Ⅱ單相結構的搖桿軸轉速特性。從圖中可看出,超越離合器作用使搖桿軸轉速只取圖5所示搖桿轉速的正值部分,故單相結構不能連續(xù)驅動。

圖7展示機構Ⅱ三相結構的搖桿軸轉速特性。從圖中可看出,超越離合器作用使搖桿軸轉速等于較大的那個搖桿轉速,三相結構能夠連續(xù)驅動,但存在轉速脈動。研究表明,實際上二相結構就實現(xiàn)了連續(xù)驅動,只不過轉速脈動更大罷了。

圖5 搖桿轉速的時變曲線Fig.5 The change curve of the time varying for rocker

圖6 單相結構搖桿軸轉速的時變曲線Fig.6 The change curve of the time varying for the single-phase structure of rocker

圖7 三相結構搖桿軸轉速的時變曲線Fig.7 The change curve of the time varying for the three-phase structure of rocker

3.5.2 平均傳動比特性

圖8至圖11的圖例中的1、2、3、4和5分別指單相、二相、三相、四相和五相結構。

圖8 機構Ⅰ的平均傳動比特性Fig.8 The characteristics of the average transmissionratio for mechanismⅠ

圖9 機構Ⅱ的平均傳動比特性Fig.9 The characteristics of the average transmissionratio for mechanismⅡ

從圖8和圖9可看出,平均傳動比與相對曲柄長度的關系近乎直線,尤其機構Ⅱ的直線性更強。平均傳動比隨著相數(shù)的增多而增大,但三相、四相和五相結構的傳動比值較接近。綜合考慮可線性調節(jié)傳動比和簡化變速器結構,機構Ⅱ的三相結構較有優(yōu)勢。

3.5.3 搖桿軸轉速特性的多相結構比較

從圖10和圖11可看出,相數(shù)越多搖桿軸轉速變異系數(shù)越小,但三相、四相和五相結構的變異系數(shù)較接近。當相對曲柄長度增大時,機構Ⅰ單相和二相結構的搖桿軸轉速變異系數(shù)小幅增大,而三相、四相和五相結構卻減小,機構Ⅱ的變異系數(shù)均減小。綜合考慮轉速平穩(wěn)性和簡化變速器結構,機構Ⅱ的三相結構較有優(yōu)勢,這與傳動比特性的研究結論一致。

圖10 機構Ⅰ的搖桿軸轉速平穩(wěn)性Fig.10 The speed stationarity of the rocker for mechanismⅠ

圖11 機構Ⅱ的搖桿軸轉速平穩(wěn)性Fig.11 The speed stationarity of the rocker for mechanismⅡ

3.5.4 位移和轉速的仿真誤差

由式(23)和式(24)定義仿真誤差,在曲柄調節(jié)的整個范圍內,機構Ⅰ的位移仿真誤差達0.0756×10-6～2.83×10-6,機構Ⅱ的達 2.00×10-6～4.18×10-6;機構Ⅰ的轉速仿真誤差達1.16×10-16～4.4910-16,機構 Ⅱ的達 1.2310-16～5.5710-16,其變化趨勢詳見圖12和圖13。微小仿真誤差表明,仿真試驗結果可靠、可用。

4 結論與討論

圖12 機構Ⅰ與機構Ⅱ的位移仿真誤差Fig.12 The displacement simulation error for mechanismⅠandⅡ

圖13 機構Ⅰ與機構Ⅱ的轉速仿真誤差Fig.13 The rotate speed simulation error for mechanismⅠandⅡ

優(yōu)化結果表明,每個可行的平均傳動比均對應一組優(yōu)化的機構參數(shù),隨平均傳動比ip增大曲柄長度R1近乎直線增大,連桿長度R2微幅增大再減小,機架R4較大幅減小。傳動比較大時,較大曲柄長度配套較小機架長度才能獲得較平穩(wěn)的搖桿軸轉速。

仿真試驗表明,平均傳動比與相對曲柄長度的關系近乎直線,尤其機構Ⅱ具有更強的直線性;雖然平均傳動比隨相數(shù)增多而增大,但三相、四相及五相結構的傳動比值較接近。綜合考慮簡化結構和便捷調節(jié)傳動比,機構Ⅱ的三相結構較有優(yōu)勢。

仿真試驗表明,相數(shù)愈多及相對曲柄長度愈大,則三相、四相及五相結構的搖桿軸轉速變異系數(shù)愈小,但它們的變異系數(shù)值較接近。綜合考慮轉速平穩(wěn)性和簡化變速器結構,機構Ⅱ的三相結構較有優(yōu)勢,這與傳動比特性的研究結論一致。詳見圖10和圖 11。

在整個曲柄調節(jié)范圍內,機構Ⅱ的位移仿真誤差達2.00×10-6～4.18×10-6,轉速仿真誤差達1.2310-16～5.5710-16。微小仿真誤差表明,仿真試驗的結果可靠、可用。

綜上所述,綜合考慮輸出轉速平穩(wěn)性和簡化變速器結構,無級變速器宜采用三相結構,以調節(jié)曲柄長度的方式調節(jié)傳動比,其余構件長度不變。一組較優(yōu)的機構參數(shù)是,相對曲柄長度R1在0.304～0.849范圍內調節(jié),相對連桿長度R2取1.342,相對機架長度R4取1.348。優(yōu)化機構的搖桿軸轉速變異系數(shù)在7.766至15.567之間,且曲柄長度愈大變異系數(shù)愈小。

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