中國男性人口死亡率動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的方法比較
——基于Lee-Carter模型與貝葉斯分層模型的研究

趙明

(首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 金融學(xué)院，北京 100070)

1 引言與文獻(xiàn)綜述

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和醫(yī)療水平的提升，人口壽命延長已成為不可逆轉(zhuǎn)的趨勢(shì)。人口壽命延長導(dǎo)致的人口年齡結(jié)構(gòu)變化，將會(huì)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生較大的負(fù)面影響。合理地預(yù)測(cè)人口死亡率、掌握人口年齡結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變動(dòng)的趨勢(shì)、提前采取應(yīng)對(duì)措施，將會(huì)有效減緩長壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)經(jīng)濟(jì)的沖擊。因此，人口死亡率預(yù)測(cè)將成為一個(gè)基礎(chǔ)且重要的研究課題。人口死亡率預(yù)測(cè)的常用方法包括兩種：一是先預(yù)測(cè)分年齡死亡率，再通過分年齡死亡率計(jì)算人口預(yù)期壽命；二是先預(yù)測(cè)人口預(yù)期壽命，然后通過既定的模型生命表計(jì)算分年齡死亡率。

對(duì)于人口死亡率預(yù)測(cè)的國內(nèi)外研究較早，其中Lee-Carter模型開創(chuàng)了隨機(jī)死亡率建模的先河[1]。Lee-Carter模型假設(shè)對(duì)數(shù)死亡率由相互獨(dú)立的年齡效應(yīng)和周期效應(yīng)構(gòu)成，具有模型參數(shù)少、擬合過程簡單和預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)健等優(yōu)勢(shì)，得到學(xué)者的普遍應(yīng)用[2]。Lee-Carter模型采用兩階段方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與擬合，第一階段通常使用奇異值分解(SVD)或最大似然(ML)方法估計(jì)靜態(tài)參數(shù)；第二階段通過時(shí)間序列模型(ARIMA模型)擬合動(dòng)態(tài)參數(shù)[3]。隨著該理論與應(yīng)用的不斷發(fā)展，Lee-Carter模型也暴露出一定缺陷，其改進(jìn)主要包括以下幾方面：一是參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)。Lee-Carter模型參數(shù)估計(jì)的奇異值分解(SVD)方法誤差較大，采用加權(quán)最小二乘估計(jì)(WLS)方法和極大似然(ML)方法能夠有效提高參數(shù)估計(jì)的擬合優(yōu)度。此外，樣本數(shù)據(jù)時(shí)間周期的選取對(duì)Lee-Carter模型參數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響，為了在死亡率不規(guī)則的情況下提高Lee-Carter模型的精確度，應(yīng)采用科學(xué)方法選取歷史數(shù)據(jù)周期。二是放寬模型假設(shè)。針對(duì)Lee-Carter模型中假設(shè)過強(qiáng)的問題，部分學(xué)者提出了泊松對(duì)數(shù)雙線性(PB)模型，假設(shè)死亡人數(shù)服從泊松分布，放寬了模型殘差項(xiàng)同方差的假設(shè)[4]。在死亡人數(shù)服從泊松分布的假設(shè)下，構(gòu)造泊松似然函數(shù)，采用貝葉斯方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[5]。三是有限數(shù)據(jù)問題下的方法改進(jìn)。Lee-Carter模型對(duì)數(shù)據(jù)連續(xù)性具有較高要求，限制了該方法在有限數(shù)據(jù)國家的應(yīng)用。Li等(2004)在對(duì)數(shù)雙線性假設(shè)下提出了基于有限數(shù)據(jù)的Lee-Carter模型方法，能夠有效解決數(shù)據(jù)較少國家死亡率預(yù)測(cè)問題[6]。此外，我國學(xué)者也采用有限數(shù)據(jù)下Lee-Carter模型對(duì)中國人口死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，在樣本量較少時(shí)，對(duì)時(shí)間序列的波動(dòng)性進(jìn)行研究，使得預(yù)測(cè)結(jié)果更加穩(wěn)健與合理[7]。四是死亡率改善因子動(dòng)態(tài)改進(jìn)。Lee-Carter模型中常數(shù)人口死亡率改善因子假設(shè)被多位學(xué)者認(rèn)為并不合理，如果建模時(shí)不考慮死亡率改善因子隨時(shí)間進(jìn)展的變化，則長期預(yù)測(cè)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重偏誤，尤其是對(duì)于死亡率改善程度較低的國家[8]。為了避免這種情況，在Lee-Carter模型中加入了一個(gè)旋轉(zhuǎn)項(xiàng)，來體現(xiàn)人口死亡率改善隨時(shí)間的變動(dòng)趨勢(shì)，并通過使新加項(xiàng)隨時(shí)間連續(xù)地發(fā)生旋轉(zhuǎn)來改進(jìn)Lee-Carter模型中常數(shù)死亡率改善因子的假設(shè)[9]。此外，采用雙因子Lee-Carter模型，基于貝葉斯MCMC方法，改進(jìn)單因子Lee-Carter模型中死亡率改善為常數(shù)的假設(shè)，可以顯著提升模型擬合優(yōu)度[10]。

此外，以人口預(yù)期壽命為建模對(duì)象的方法，在聯(lián)合國預(yù)測(cè)人口死亡率時(shí)較為常用。Girosi和King(2008)選取48個(gè)國家的男性人口死亡率，并選取人口吸煙情況和國內(nèi)生產(chǎn)總值作為協(xié)變量，采用貝葉斯模型方法在年齡和時(shí)間兩個(gè)維度對(duì)人口死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而，Girosi和King(2008)的方法對(duì)數(shù)據(jù)要求較高，需要選取特定的協(xié)變量才能得到較好的預(yù)測(cè)效果，在模型擴(kuò)展方面具有一定的局限性。Raftery等(2013)提出了基于貝葉斯分層模型(BHM)的人口死亡率預(yù)測(cè)方法，將世界各國1950～1995年預(yù)期壽命數(shù)據(jù)帶入貝葉斯分層模型，對(duì)1996～2005年各國的預(yù)期壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過與實(shí)際數(shù)據(jù)交叉檢驗(yàn)，認(rèn)為模型能夠給出精確的預(yù)測(cè)區(qū)間[11]。此后，在Raftery等(2013)的基礎(chǔ)上，部分學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了實(shí)踐與擴(kuò)展，但應(yīng)用主要都集中在人口統(tǒng)計(jì)方面，在其他領(lǐng)域的應(yīng)用較少。Li等(2015)對(duì)人口死亡率改善因子建模，將相關(guān)國家的死亡率改善趨勢(shì)作為先驗(yàn)信息，給出了貝葉斯分層模型下死亡率的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方法，并運(yùn)用1991～2011年英國和丹麥女性人口死亡率進(jìn)行驗(yàn)證，得到了較好的預(yù)測(cè)結(jié)果[12]。Les和David(2015)提出了一種基于分解技術(shù)(decomposition techniques)的期望壽命預(yù)測(cè)方法，考慮不同年齡人群死亡率改善程度的差異，對(duì)預(yù)期壽命建立貝葉斯分層模型，模型設(shè)計(jì)更具有針對(duì)性[13]。貝葉斯分層模型能夠有效應(yīng)對(duì)世界各國人口死亡率數(shù)據(jù)質(zhì)量參差不齊的情況，使用具有非恒定漂移的隨機(jī)游走模型預(yù)測(cè)人口預(yù)期壽命，并將數(shù)據(jù)質(zhì)量較好的國家人口預(yù)期壽命的改善趨勢(shì)作為先驗(yàn)信息，較好地彌補(bǔ)了數(shù)據(jù)質(zhì)量較差國家自身數(shù)據(jù)不足的缺陷。貝葉斯分層模型方法被聯(lián)合國人口司所采用，該機(jī)構(gòu)每兩年發(fā)布一次《世界人口展望》研究報(bào)告。根據(jù)聯(lián)合國人口司的研究表明，不同國家人口預(yù)期壽命的增長速度不同，低壽命國家和高壽命國家的預(yù)期壽命的增長較慢，而中等壽命國家的預(yù)期壽命增長較快。

綜上所述，Lee-Carter模型方法的研究對(duì)象為人口死亡率、貝葉斯分層模型方法的研究對(duì)象為預(yù)期壽命，當(dāng)前兩種研究方法均具有較為成熟的范式，但從生命表的構(gòu)造理論上看，分年齡死亡率和預(yù)期壽命之間具有密切的聯(lián)系，如果將兩者之間的相互關(guān)系考慮進(jìn)來，可以比較分析兩種方法下中國男性人口死亡率預(yù)測(cè)的差異，提升死亡率預(yù)測(cè)質(zhì)量。本文從比較的視角來評(píng)估兩種方法下男性人口死亡率的預(yù)測(cè)結(jié)果，并根據(jù)生命表構(gòu)造理論將兩者相互轉(zhuǎn)換，通過對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行比較分析，一方面可以檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，另一方面還能作為研究結(jié)論相互補(bǔ)充。通過本研究，以期能夠提升中國人口死亡率預(yù)測(cè)和長壽風(fēng)險(xiǎn)度量的可靠性，合理預(yù)判未來人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)趨勢(shì)，為國家制定退休方案、生育政策和積極應(yīng)對(duì)人口老齡化等重大決策提供科學(xué)依據(jù)。

2 人口死亡率預(yù)測(cè)方法概述

2.1 Lee-Carter模型

Lee-Carter模型的表達(dá)式為

lnmx,t=αx+βxκt+εx,t

(1)

其中，mx為中心死亡率，而通過貝葉斯分層模型和模型生命表法得到的是死亡概率qx。由于我國統(tǒng)計(jì)局公布的抽樣調(diào)查年份死亡率數(shù)據(jù)是以年中人口數(shù)為分母計(jì)算得到的中心死亡率，在死亡均勻分布(UDD)假設(shè)下二者具有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

qx=2mx/(mx+2)

(2)

對(duì)于Lee-Carter模型其他參數(shù)的介紹，本文不再贅述，具體可參見Lee和Carter(1992)的研究。由于Lee-Carter模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)要求較高，本文采用1994～2012年人口死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，則第一個(gè)預(yù)測(cè)年為2013年。本文采用Wilmoth(1996)提出的加權(quán)最小二乘法[14]對(duì)Lee-Carter模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用ARIMA(0,1,0)模型對(duì)時(shí)間效應(yīng)因子κt進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.2 貝葉斯分層模型

貝葉斯分層模型以預(yù)期壽命為研究對(duì)象，是一個(gè)帶有非恒定漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走模型，表達(dá)式為

lc,t+1=lc,t+g(lc,t)+εc,t+1

(3)

其中，lc,t表示國家c在t時(shí)期的預(yù)期壽命，lc,t+1表示國家c在t+1時(shí)期的預(yù)期壽命，它是用lc,t加上一個(gè)預(yù)期壽命增量g(lc,t)和一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來表示的。漂移項(xiàng)是當(dāng)前預(yù)期壽命的非線性函數(shù)，它能夠反映不同國家在不同壽命水平下預(yù)期壽命的增長速度，Raftery等(2013)使用一個(gè)Double-Logistic函數(shù)來表示這個(gè)增量。此外，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差與上一期預(yù)期壽命呈現(xiàn)出的關(guān)系可用下式加以描述：

εc,t+1～N[0,(w×f(lc,t)2)]

(4)

貝葉斯分層模型包含13個(gè)參數(shù)，每個(gè)參數(shù)均有一個(gè)先驗(yàn)分布，可使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法(以下簡稱“MCMC方法”)估計(jì)每個(gè)國家預(yù)期壽命后驗(yàn)分布的參數(shù)。相比于Lee-Carter模型對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量的要求較高，貝葉斯分層模型適用于數(shù)據(jù)質(zhì)量各異的國家。

2.3 人口死亡率修勻模型

中國國家統(tǒng)計(jì)局公布的人口死亡率數(shù)據(jù)是未經(jīng)修勻和調(diào)整的粗死亡率數(shù)據(jù)、波動(dòng)較大，應(yīng)采用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修勻。由于本文擬對(duì)人口死亡率進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，死亡率不僅具有年齡上的分布規(guī)律，同時(shí)在時(shí)間上也具有特定的分布規(guī)律，因此本文選用二維修勻方法對(duì)動(dòng)態(tài)生命表進(jìn)行修勻[15][16]。常用的兩種非參數(shù)二維修勻方法為二維泊松P-樣條模型和二維離散Beta核修勻模型，在對(duì)中國人口死亡率動(dòng)態(tài)生命進(jìn)行修勻時(shí)，盡管二維離散Beta核修勻模型在全年齡段上的擬合度更優(yōu)，但光滑性較差，尤其是對(duì)邊端年齡處理效果不佳，使修勻后的新生嬰兒死亡率與實(shí)際情況出現(xiàn)較大的偏差[17]。綜上，本文選擇二維泊松P-樣條模型對(duì)粗人口死亡率進(jìn)行修勻，具體計(jì)算過程詳見Mazza和Punzo(2013)的研究。

2.4 人口死亡率與預(yù)期壽命的轉(zhuǎn)化

根據(jù)生命構(gòu)造理論，當(dāng)死亡分布為連續(xù)函數(shù)時(shí)，人口死亡率與預(yù)期壽命之間的關(guān)系為

(5)

由于本文所采用的人口死亡率為離散型年度數(shù)據(jù)，對(duì)上式離散化為

(6)

本文采用上式將人口分年齡死亡率轉(zhuǎn)化為預(yù)期壽命。此外，將人口預(yù)期壽命轉(zhuǎn)化為分年齡死亡率，本文選用聯(lián)合國模型生命表方法。聯(lián)合國人口司(1982)編制了一套發(fā)展中國家模型生命表，其數(shù)據(jù)源自于22個(gè)發(fā)展中國家的72張生命表(男、女性生命表各36張)，并經(jīng)過嚴(yán)格檢驗(yàn)，具有較可靠的質(zhì)量。這套模型生命表根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)所反映的死亡率模式的地域特征分為幾大區(qū)域，分別定名為“拉丁美洲”表、“智利”表、“南亞”表、“遠(yuǎn)東”表和“通用”表。其中，“通用”表根據(jù)全部國家數(shù)據(jù)編制，能夠代表發(fā)展中國家的一般情況。

2.5 模型誤差分析

其中，t表示年份，x表示年齡。以上4個(gè)誤差函數(shù)分別采用相對(duì)值、絕對(duì)值、平方值和對(duì)數(shù)值等一種或多種方法組合，構(gòu)造了擬合值與實(shí)際值之間差異的誤差函數(shù)。在對(duì)死亡率模型擬合優(yōu)度進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，同時(shí)使用4個(gè)誤差函數(shù)能夠更加穩(wěn)健地評(píng)價(jià)模型的擬合效果。

3 數(shù)據(jù)處理與實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)處理與假設(shè)

本文選取全國男性人口死亡率數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)來源于1995～2006年的《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》，以及2007～2020年的《中國人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》。本文將數(shù)據(jù)分為兩組，分別為預(yù)測(cè)組和對(duì)照組。預(yù)測(cè)組所采取用的數(shù)據(jù)為全國男性人口分年齡的死亡率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)期間為1994～2012年，共計(jì)19年。其中，2000與2010年的死亡率數(shù)據(jù)來自人口普查，1995與2005年的數(shù)據(jù)為來自1%的抽樣調(diào)查，其他年份的數(shù)據(jù)來自于人口變動(dòng)抽樣。對(duì)照組選取2013～2019年數(shù)據(jù)，用以檢驗(yàn)Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的預(yù)測(cè)效果。

根據(jù)本文所選取數(shù)據(jù)的特征與實(shí)證分析的需要，具體的數(shù)據(jù)處理與假設(shè)如下：

第一，選取男性人口為代表進(jìn)行研究。中國國家統(tǒng)計(jì)局公布的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)中，部分年齡死亡人口數(shù)為0，導(dǎo)致死亡率數(shù)據(jù)失真。由于女性人口死亡率低于男性，這種失真現(xiàn)象在女性人口中更為普遍，因此男性人口死亡率具有更好的數(shù)據(jù)質(zhì)量。當(dāng)男性人口抽樣調(diào)查中死亡人數(shù)為0或者缺失時(shí)，采用線性插值方法進(jìn)行填補(bǔ)。

第二，修正嬰兒人口死亡率數(shù)據(jù)。由于人口普查中死亡數(shù)據(jù)在低齡和高齡期存在不同程度漏報(bào)[19]，尤其是新生嬰兒死亡數(shù)據(jù)漏報(bào)更為嚴(yán)重。本文借鑒人口學(xué)界的相關(guān)研究，對(duì)新生嬰兒死亡率數(shù)據(jù)做出修正，并在修正的基礎(chǔ)上進(jìn)行死亡率修勻。已有研究顯示，第五次人口普查中低齡組漏報(bào)率約10%，且女童漏報(bào)大于男童，男女嬰兒死亡率修改后分別為31.35‰和23.89‰[20]；第六次人口普查中嬰兒漏報(bào)率為78%～85%，修正得男嬰死亡率25.81‰，女嬰死亡率17.82‰[21]。此外，針對(duì)其他年齡的死亡率數(shù)據(jù)，本文采用二維P樣條方法進(jìn)行修勻，以使粗死亡率更加符合生命表特征。

第三，重新調(diào)整各年份死亡人口數(shù)。由于我國人口死亡數(shù)據(jù)中包括普查與抽樣調(diào)查不同方式的數(shù)據(jù)，在采用加權(quán)最小二乘方法求解Lee-Carter模型時(shí)，需要用到量級(jí)相同的死亡人口數(shù)。本文根據(jù)調(diào)整并修勻后的分年齡人口死亡率數(shù)據(jù)，以100萬數(shù)量的人口為基準(zhǔn)，對(duì)各年齡的死亡人數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

第四，假設(shè)85歲以上人口為高齡人口。由于高齡人口數(shù)據(jù)少，可信度低，本文將人口年齡段截止到85歲，不再探討高齡人口死亡率建模問題。

第五，假設(shè)死亡人口在1年內(nèi)服從均勻分布(UDD)假設(shè)。

3.2 基于Lee-Carter模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

采用Lee-Carter模型，可以得到2013～2050年中國男性人口的分年齡死亡率，結(jié)果列示于表1中。

表1 基于Lee-Carter模型的中國男性人口死亡率預(yù)測(cè)值(單位：‰)

由表1可見，Lee-Carter模型得到的預(yù)測(cè)值，能夠很好地反映男性人口死亡率隨時(shí)間、年齡變動(dòng)的趨勢(shì)。從時(shí)間維度看，新生男嬰死亡率由2015年的23.64‰，下降到2030年的18.25‰，再下降到2050年的12.93‰，整個(gè)35年的下降幅度為45.30%；30歲男性人口死亡率由2015年的1.12‰，下降到2030年的0.80‰，再下降到2050年的0.50‰，整個(gè)35年的下降幅度為55.36%；85歲男性人口死亡率由2015年的102.69‰，下降到2030年的60.60‰，再下降到2050年的30.00‰，整個(gè)35年的下降幅度為70.79%。綜上可見，未來中國男性人口死亡率下降的幅度，隨著年齡增長而不斷提升，低年齡人口死亡率改善不斷充分，下降幅度減小，而中高齡人口死亡率改善速度逐漸提高，體現(xiàn)出了死亡率變動(dòng)的年齡模式特征。此外，Lee-Carter模型假設(shè)人口死亡率在時(shí)間上的下降速度為常數(shù)，即假設(shè)未來人口死亡率的下降速度仍保持歷史水平不變。自改革開放以來，中國人口死亡率一直以較快速度下降，但未來是否能夠持續(xù)這一趨勢(shì)值得商榷，但Lee-Carter模型中并未考慮到這個(gè)問題。若未來人口死亡率改善減速，那么運(yùn)用Lee-Carter模型進(jìn)行長期預(yù)測(cè)將會(huì)低估死亡率、高估人口預(yù)期壽命。

進(jìn)一步，根據(jù)生命表構(gòu)造理論，將Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口死亡率轉(zhuǎn)換為預(yù)期壽命值，結(jié)果列示于表2中。在表2中，給出了高、中、低三個(gè)假設(shè)下男性人口預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)值。其中，居中假設(shè)為均值估計(jì)結(jié)果，高假設(shè)和低假設(shè)分別為預(yù)期壽命80%置信區(qū)間的上下界。在居中假設(shè)下，2015年人口預(yù)期壽命為73.63歲，到2030年提高到77.10歲，到2050年提高到80.36歲，整個(gè)35年提高了6.73歲，平均每10年提高1.92歲，但提高速度隨時(shí)間推移而遞減。盡管Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口死亡率下降速度是常數(shù)，但男性人口平均壽命提高速度在減緩，其原因是不同年齡人口死亡率下降速度不同，導(dǎo)致人口年齡結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，即分年齡死亡率與人口預(yù)期壽命之前并非簡單的線性關(guān)系。由于Lee-Carter模型以分年齡死亡率為研究對(duì)象，可以獲取到較為豐富的人口死亡率信息，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算人口預(yù)期壽命，可以更好地分析二者間的關(guān)系及人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)的影響。此外，Lee-Carter模型得到的男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)區(qū)間的幅度較窄，2015～2050年每隔5年的80%置信區(qū)間上下界預(yù)測(cè)結(jié)果差值分別為0.14歲、0.13歲、0.12歲、0.11歲、0.10歲、0.09歲、0.08歲和0.08歲。甚至，隨著時(shí)間推移，Lee-Carter模型獲得的男性人口死亡率預(yù)測(cè)區(qū)間會(huì)進(jìn)一步收窄，從長期預(yù)測(cè)的角度來看，這種預(yù)測(cè)結(jié)果并不理想。

表2 基于Lee-Carter模型的中國男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值 (歲)

表3 基于貝葉斯分層模型的中國男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值 (歲)

3.3 基于貝葉斯分層模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

采用貝葉斯分層模型，對(duì)中國男性人口預(yù)期壽命做出預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果列示于表3。在表3中，給出了高、中、低三個(gè)假設(shè)下人口預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)值。其中，居中假設(shè)為均值估計(jì)結(jié)果，高假設(shè)和低假設(shè)分別為預(yù)期壽命80%置信區(qū)間的上下界。由表3可見，在居中假設(shè)下，2015年人口預(yù)期壽命為74.39歲，到2030年提高到76.51歲，到2050年提高到78.96歲，整個(gè)35年提高了4.57歲，平均每10年提高1.31歲，壽命提高速度顯著低于Lee-Carter模型估計(jì)結(jié)果。由于Lee-Carter模型中假設(shè)了死亡率下降速度為常數(shù)，按照歷史死亡率下降速度來預(yù)測(cè)未來；從貝葉斯分層模型的預(yù)測(cè)結(jié)果中可以看到，在長期中人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值低于Lee-Carter模型結(jié)果，是由其模型假設(shè)決定的。貝葉斯分層模型采用了雙邏輯斯蒂假設(shè)，即假設(shè)人口預(yù)期壽命的增長速度呈現(xiàn)先快、后慢的S型曲線分布。因此，基于貝葉斯分層模型的人口預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)值，在2025年以前整體上高于Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果，而2025年以后則低于Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果。此外，貝葉斯分層模型得到的男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值，具有相對(duì)較寬的預(yù)測(cè)區(qū)間，2015～2050年每隔5年的80%的置信區(qū)間的上下界預(yù)測(cè)結(jié)果差值分別為3.17歲、4.39歲、5.48歲、6.47歲、7.38歲、8.15歲、8.72歲和9.17歲。隨時(shí)間推移，貝葉斯分層模型獲得的死亡率預(yù)測(cè)區(qū)間會(huì)進(jìn)一步增大。從長期預(yù)測(cè)的角度來看，這種預(yù)測(cè)結(jié)果較為理想。

通過對(duì)比不同模型生命表與我國2010年人口普查的分年齡男性人口死亡率的關(guān)系，認(rèn)為“通用”表更適合我國實(shí)際死亡狀況。因此，選取聯(lián)合國人口司模型生命表中的“通用”表，將貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)的男性人口預(yù)期壽命轉(zhuǎn)化為分年齡死亡率,結(jié)果列示在表4中。

由表4可見，基于貝葉斯分層模型和“通用”模型生命表得到的未來中國男性人口死亡率預(yù)測(cè)值，能夠很好地反映死亡率隨時(shí)間、年齡變動(dòng)的趨勢(shì)。從時(shí)間維度看，新生男嬰死亡率由2015年的21.83‰，下降到2030年的17.63‰，再下降到2050年的13.83‰，整個(gè)35年的下降幅度為36.65%；30歲男性人口死亡率由2015年的0.71‰，下降到2030年的0.55‰，再下降到2050年的0.42‰，整個(gè)35年的下降幅度為40.85%；85歲男性人口死亡率由2015年的117.40‰，下降到2030年的105.68‰，再下降到2050年的91.12‰，整個(gè)35年的下降幅度為22.39%。綜上可見，未來男性人口死亡率下降的幅度，隨著年齡增長呈現(xiàn)先提高、再降低的趨勢(shì)，即低齡和高齡男性人口死亡率改善速度較低，而中年男性人口死亡率改善速度較快。由于貝葉斯分層模型是以人口預(yù)期壽命為研究對(duì)象，預(yù)測(cè)得到的人口預(yù)期壽命需要通過既定的模型生命表轉(zhuǎn)化為分年齡死亡率，因此會(huì)損失死亡率在年齡上展現(xiàn)出的更為豐富的信息。但長期中，貝葉斯分層模型能夠得到更寬的預(yù)測(cè)區(qū)間，預(yù)測(cè)結(jié)果的穩(wěn)健性較好。

表4 基于貝葉斯分層模型的中國男性人口死亡率預(yù)測(cè)值 (‰)

表5 兩種方法下中國男性人口死亡率擬合結(jié)果誤差比較

表6 兩種方法下中國男性人口死亡率短期預(yù)測(cè)效果比較

3.4 兩種模型下預(yù)測(cè)結(jié)果比較與評(píng)價(jià)

3.4.1 樣本內(nèi)的擬合優(yōu)度比較

本文分別采用四種損失函數(shù)對(duì)兩種模型方法的樣本內(nèi)擬合情況進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果列示于表5中。

由表5可見，基于調(diào)整和修勻后的人口死亡率數(shù)據(jù)，采用Lee-Carter模型進(jìn)行擬合，在四種誤差函數(shù)下誤差值均小于貝葉斯分層模型，即Lee-Carter模型的擬合優(yōu)度高于貝葉斯分層模型。意味著，Lee-Carter模型簡潔易用，且擬合效果較好，這一點(diǎn)已在很多發(fā)達(dá)國家得到驗(yàn)證，如美國在養(yǎng)老金精算報(bào)告中對(duì)長壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量時(shí)，采用的即是Lee-Carter模型。但也有部分研究顯示Lee-Carter模型擬合中國人口死亡率時(shí)效果并不好，其主要原因是研究者未對(duì)中國人口死亡率進(jìn)行調(diào)整與修勻，直接使用具有較大波動(dòng)性的粗死亡率，會(huì)降低Lee-Carter模型擬合效果。因此，本文基于調(diào)整和修勻后的男性人口死亡率數(shù)據(jù)建立的Lee-Carter模型，具有更好的擬合優(yōu)度。

3.4.2 男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)結(jié)果比較

(1)短期內(nèi)的預(yù)測(cè)效果比較。本文選取2013～2019年男性人口預(yù)期壽命的實(shí)際值作為對(duì)照組，用以檢驗(yàn)Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的短期預(yù)測(cè)效果。本文選取三個(gè)口徑的男性人口預(yù)期壽命數(shù)據(jù)，以期獲得更加穩(wěn)健的檢驗(yàn)結(jié)果。其中，2013～2014年、2016～2018年為1‰的變動(dòng)抽樣調(diào)查，中國國家統(tǒng)計(jì)局未直接公布男性人口預(yù)期壽命，采用調(diào)整和修勻后的男性死亡率計(jì)算預(yù)期壽命；2015年是1%的抽樣調(diào)查，選取了中國國家統(tǒng)計(jì)局公布的男性人口預(yù)期壽命；對(duì)于2019年，選取了世界衛(wèi)生組織發(fā)布的中國男性人口預(yù)期壽命的調(diào)查數(shù)據(jù)。本文將2013～2019年的調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算值(實(shí)際值)、Lee-Carter模型預(yù)測(cè)值和貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)值列示于表6中。由表6可見，對(duì)于2013～2019年的男性人口預(yù)期壽命，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值絕對(duì)值分別為0.48、0.18、0.01、0.67、0.67、0.04和0.04；貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值絕對(duì)值分別為1.48、1.06、0.75、0.02、0.13、0.40和0.38。在各個(gè)年份，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值絕對(duì)值均顯著小于貝葉斯分層模型。從另一個(gè)角度看，2013～2018年男性人口平均預(yù)期壽命的實(shí)際值增長了1.83歲、平均每年增長0.37歲；2013～2018年Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口平均預(yù)期壽命的實(shí)際值增長了1.31歲、平均每年增長0.26歲；2013～2018年貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)的男性人口平均預(yù)期壽命的實(shí)際值增長了0.75歲、平均每年增長0.15歲。由此可見，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口預(yù)期壽命的年增長量更接近實(shí)際值，即Lee-Carter模型的短期預(yù)測(cè)效果優(yōu)于貝葉斯分層模型。

進(jìn)一步，結(jié)合表2和表3中區(qū)間預(yù)測(cè)結(jié)果，本文將2015年作為一個(gè)特殊對(duì)照組，比較兩個(gè)模型短期內(nèi)的預(yù)測(cè)效果。其中，中國國家統(tǒng)計(jì)局公布的2015年男性人口預(yù)期壽命為73.64歲；Lee-Carter模型居中假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為73.63歲、高假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為73.70歲、低假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為73.56歲；貝葉斯分層模型居中假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為74.39歲、高假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為76.00歲，貝葉斯分層模型低假設(shè)預(yù)測(cè)得到的男性預(yù)期壽命為72.83歲。為了更顯著的分析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的差異情況，取兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果差值的絕對(duì)值。可見，基于Lee-Carter模型的2015年中國男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的接近程度最高，居中假設(shè)下與實(shí)際值僅差0.01歲、高假設(shè)下差值為0.06歲、低假設(shè)下差值為0.08歲，盡管Lee-Carter模型預(yù)測(cè)區(qū)間的開口較窄，但已將實(shí)際值覆蓋進(jìn)該區(qū)間；貝葉斯分層模型居中假設(shè)下預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的差為0.75歲、高假設(shè)下差值為2.36歲、低假設(shè)下差值為0.81歲，該模型預(yù)測(cè)區(qū)間開口較大，也能夠?qū)?shí)際值覆蓋進(jìn)去。綜上可見，Lee-Carter模型在短期內(nèi)的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于貝葉斯分層模型，與真實(shí)男性人口預(yù)期壽命更為接近。

圖1 2015～2050年中國男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)結(jié)果比較圖

圖2 2015年中國男性人口分年齡對(duì)數(shù)死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果比較圖

(2)長期中的變動(dòng)趨勢(shì)比較。通過圖1展示2015～2050年兩種模型方法下男性人口預(yù)期壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的變動(dòng)趨勢(shì)圖。可見，2015年Lee-Carter模型預(yù)測(cè)得到的男性人口預(yù)期壽命低于貝葉斯分層模型，然而隨著時(shí)間的推移，二者之間的差異不斷減小，直到2022年二者接近相等，隨后Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口預(yù)期壽命均高于貝葉斯分層模型，該趨勢(shì)一直持續(xù)到2050年，且二者差距逐年增大。出現(xiàn)這種情況的原因在于，Lee-Carter模型假設(shè)了對(duì)數(shù)死亡率下降速度為常數(shù)，即對(duì)數(shù)死亡率呈線性下降趨勢(shì)，從長期視角來看這種線性下降趨勢(shì)將會(huì)突破人口極限年齡，違背了人類的生物規(guī)律。而貝葉斯分層模型很好地解決了這一問題，通過將人口極限年齡考慮到模型假設(shè)中，運(yùn)用更符合壽命變化特征的邏輯斯蒂假設(shè)來構(gòu)建模型，盡管短期內(nèi)的擬合效果不如Lee-Carter模型，但長期預(yù)測(cè)能夠得到更加合理的結(jié)果。

3.4.3 男性人口死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果比較

圖2展示了Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)得到的2015年男性人口分年齡死亡概率(qx)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

由圖2可見，分層貝葉斯模型首先估計(jì)出男性人口預(yù)期壽命，然后采用模型生命表法計(jì)算出分年齡死亡率，在計(jì)算過程中對(duì)死亡率進(jìn)行了修勻，因此死亡率曲線較為光滑；Lee-Carter模型方法針對(duì)修勻后的男性人口死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果不再進(jìn)行二次修勻，因此死亡率波動(dòng)性略大。比較兩種預(yù)測(cè)方法得到的男性人口死亡率年齡分布規(guī)律發(fā)現(xiàn)，50歲以下年齡組，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果整體上高于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果；50歲以上年齡組，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果逐漸低于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果。綜合全年齡段來看，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口死亡率整體高于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果，也使得Lee-Carter模型計(jì)算得到的人口預(yù)期壽命值低于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖3 2050年中國男性人口分年齡對(duì)數(shù)死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果比較圖

圖3展示了Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)得到的2050年中國男性人口分年齡死亡概率(qx)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

在圖3中，比較兩種預(yù)測(cè)方法得到的男性人口死亡率年齡分布規(guī)律發(fā)現(xiàn)，30歲以下年齡組，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果整體上低于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果；30～50歲，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果與貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果較為接近；50歲以上年齡組，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果顯著低于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果。綜合全年齡段來看，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果整體低于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果，也使得Lee-Carter模型計(jì)算得到的人口預(yù)期壽命值高于貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果。

綜合2015～2050年兩種方法下的預(yù)測(cè)結(jié)果，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)得到的男性人口死亡率結(jié)果，圍繞著貝葉斯分層模型的預(yù)測(cè)結(jié)果自上而下的進(jìn)行移動(dòng)。即，2015年Lee-Carter模型得到的全年齡段男性人口死亡率高于貝葉斯分層模型結(jié)果，隨著時(shí)間的推移，二者之間差距逐漸減小，并在2022年附近二者接近相等。隨后，Lee-Carter模型得到的全年齡段男性人口死亡率開始小于貝葉斯分層模型結(jié)果，且一直持續(xù)至2050年。此外，隨著年齡的增加，兩種模型預(yù)測(cè)的男性人口死亡率變化趨勢(shì)存在差異。其中，貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果波動(dòng)較小，隨著年齡增長呈現(xiàn)出線性變化趨勢(shì)；Lee-Carter模型得到的男性人口死亡率在年齡模式上擁有更豐富的信息，在全部年齡上呈分段的線性變化趨勢(shì)，中低年齡組死亡率隨年齡增長變動(dòng)趨勢(shì)的斜率較高，但中高年齡組變動(dòng)趨勢(shì)的斜率相對(duì)平緩，年齡分界點(diǎn)約為50歲。由于人口死亡率年齡模式上的差異會(huì)影響未來人口年齡結(jié)構(gòu)，因此Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果能夠獲取更豐富的年齡模式特征，可以更好地解釋未來人口年齡結(jié)構(gòu)變化的原因。

4 研究結(jié)論

本文選用Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型對(duì)中國男性人口死亡率進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，并將結(jié)果進(jìn)行比較，得到如下結(jié)論：

第一，從模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合效果看，Lee-Carter模型在所選取的四種誤差函數(shù)下計(jì)算得到的誤差值均小于貝葉斯分層模型計(jì)算結(jié)果，擬合優(yōu)度較高。由于本文擬合Lee-Carter模型時(shí)所采用的數(shù)據(jù)為修勻后死亡率數(shù)據(jù)，并參考國內(nèi)學(xué)者的研究對(duì)新生嬰兒死亡率進(jìn)行了調(diào)整，使數(shù)據(jù)更加光滑，有助于提升Lee-Carter模型擬合效果。然而，貝葉斯分層模型前提假設(shè)、預(yù)設(shè)參數(shù)和主觀因素較多，擬合的數(shù)據(jù)僅為人口預(yù)期壽命，數(shù)據(jù)中所包含的信息較少，盡管數(shù)據(jù)中能夠體現(xiàn)其他國家人口預(yù)期壽命變動(dòng)的先驗(yàn)信息，但在對(duì)中國歷史死亡率數(shù)據(jù)擬合上效果并不如Lee-Carter模型。因此，采用Lee-Carter模型預(yù)測(cè)中國男性人口死亡率是一種相對(duì)較好的選擇，但需避免直接采用波動(dòng)較大的粗死亡率進(jìn)行分析。

第二，從對(duì)人口預(yù)期壽命的預(yù)測(cè)情況來看，在短期內(nèi)Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的預(yù)測(cè)區(qū)間均能將男性人口預(yù)期壽命實(shí)際值包含到其中，但居中假設(shè)下的預(yù)測(cè)精度有所不同。Lee-Carter模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值相差較小，而貝葉斯分層模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值的差異相對(duì)較大，即Lee-Carter模型具有較好的短期預(yù)測(cè)效果。然而，長期預(yù)測(cè)中Lee-Carter模型方法給出的預(yù)測(cè)區(qū)間開口較窄，而貝葉斯分層模型能夠給出更寬的預(yù)測(cè)區(qū)間，提高了預(yù)測(cè)結(jié)果的穩(wěn)健性。

第三，從對(duì)分年齡人口死亡率的預(yù)測(cè)來看，Lee-Carter模型的研究對(duì)象即為分年齡死亡率，因此預(yù)測(cè)結(jié)果能夠體現(xiàn)出更豐富的年齡模式特征，如不同年齡人口死亡率改善程度的差異和波動(dòng)情況的差異等。然而，貝葉斯分層模型的研究對(duì)象為人口預(yù)期壽命，分年齡死亡率是通過既定的模型生命表轉(zhuǎn)換而來的，該方法會(huì)導(dǎo)致分年齡死亡率變動(dòng)模式被模型生命表假設(shè)所掩蓋，影響對(duì)未來人口年齡結(jié)構(gòu)的判斷。

第四，從預(yù)測(cè)的人口死亡率下降速度或人口預(yù)期壽命提高速度來看，Lee-Carter模型假設(shè)人口死亡率改善因子為常數(shù)，即假設(shè)未來人口死亡率的下降速度仍保持歷史水平不變，而貝葉斯分層模型中的人口預(yù)期壽命服從邏輯斯蒂假設(shè)，即壽命增長呈現(xiàn)先快后慢的S型曲線變動(dòng)趨勢(shì)。因此，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)得到的短期男性人口死亡率高于貝葉斯分層模型，預(yù)期壽命低于貝葉斯分層模型；隨著時(shí)間的推移，Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的男性人口死亡率能保持之前相同的幅度下降，而貝葉斯分層模型則減慢了死亡率下降速度，2025年之后Lee-Carter模型預(yù)測(cè)的分年齡死亡率整體低于貝葉斯分層模型，而預(yù)期壽命高于貝葉斯分層模型。從發(fā)達(dá)國家經(jīng)驗(yàn)來看，隨著經(jīng)濟(jì)的增長，人口死亡率的改善速度會(huì)呈現(xiàn)先快后慢的趨勢(shì)，伴隨而來的人口預(yù)期壽命的增長也會(huì)呈現(xiàn)先快后慢的趨勢(shì)，貝葉斯分層模型能夠更好地刻畫這一特征。