某些子群弱s-置換嵌入的有限p-冪零群

李長穩(wěn)，於 遒

(1.徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，中國 徐州 221116；2.淮海工學(xué)院理學(xué)院，中國 連云港 222001)

如果群G的一個子群H與G的每個Sylow子群可換，那么稱H為在G中s-置換；如果對于|H|的每個素因子p,H的Sylowp-子群也是G的某個s-置換子群的Sylowp-子群，則稱H在G中s-置換嵌入[1].顯然，s-置換嵌入是s-置換的推廣.1996年，王燕鳴[2]教授引入了c-正規(guī)子群的概念.群G的一個子群H稱為在G中c-正規(guī)的，如果存在G的一個正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG是包含在H中的G的最大正規(guī)子群.2007年，Skiba[3]給出了弱s-置換子群的概念.稱群G的一個子群H在G中弱s-置換的，如果存在G的一個次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG,其中HsG是包含在H中的G的最大的s-置換子群.2009年，李樣明[4]教授又將s-置換嵌入子群，c-正規(guī)子群以及弱s-置換子群定義統(tǒng)一推廣為弱s-置換嵌入子群，從而統(tǒng)一了近年來人們在超可解方面的一些重要成果.本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上得到p-冪零群的一些新刻畫.

定義1[4]如果存在群G的一個次正規(guī)子群T和包含在子群H中的G的s-置換嵌入子群Hse，使得G=HT且H∩T≤Hse，則稱H在G中弱s-置換嵌入.

引理1[4]設(shè)H≤G,H在G中弱s-置換嵌入.

(1) 若H≤L≤G,則H在L中弱s-置換嵌入.

(2) 若N?G且N≤H≤G,則H/N在G/N中弱s-置換嵌入.

(3) 若H為G的π-子群，N為G的正規(guī)π′-子群，則HN/N在G/N中弱s-置換嵌入.

引理2[5]設(shè)G是一個與4次交代群A4無關(guān)的有限群，p是|G|的最小素因子，P是G的Sylowp-子群.如果p3不整除|P|,那么G是p-冪零群.

引理3[6]設(shè)H在G中s-置換，P是H的一個Sylowp-子群，其中p是一個素數(shù).如果HG=1,那么P在G中s-置換.

引理4[7]設(shè)P是G的一個p-子群.如果P在G中s-置換，那么Op(G)≤NG(P).

引理5設(shè)G為有限群，p為|G|的素因子，P為G的Sylowp-子群.如果p交換且NG(P)為p-冪零群,那么G是p-冪零群.

證因為NG(P)為-冪零群，所以NG(P)=P×H,其中H是NG(P)的正規(guī)p-補.又P是交換群且[P，H]=1，故CG(P)=NG(P).因此G是p-冪零群.

主要結(jié)果

定理1設(shè)G是一個與A4無關(guān)的有限群，p為|G|的最小素因子.如果G的Sylowp-子群P的每個2-極大子群在G中弱s-置換嵌入，那么G是p-冪零群.

證假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

(1)由引理2，|P|≥p3,這說明P的任意2-極大子群P2≠1.

(2)G不是一個非交換的單群.

取P的一個2-極大子群P2.由定理假設(shè)，P2在G中弱s- 置換嵌入.于是存在G的一個次正規(guī)子群T和包含在P2中的G的一個s-置換嵌入子群(P2)se,使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.如果G是單群，那么T=G，從而P2=(P2)se在G中s-置換嵌入.因此P2是G的一個s-置換子群K的Sylowp-子群.既然G是單群，則KG=1.由引理3知P2在G中s-置換.由引理4知NG(P2)≥Op(G)=G.于是P2?G,矛盾.

(3)G有唯一的極小正規(guī)子群N，使得G/N是p-冪零的且Φ(G)=1.

設(shè)N為G的一個極小正規(guī)子群，考慮商群G/N.設(shè)M2/N是PN/N的任一2-極大子群，則M2=P2N,其中P2是P的2-極大子群.由定理假設(shè)，P2在G中弱s-置換嵌入.于是存在G的一個次正規(guī)子群T和包含在P2中的G的一個s-置換嵌入子群(P2)se,使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.易見G/N=P2N/N·TN/N且TN/N是G/N的次正規(guī)子群.由于P2∩N=P∩M2∩N=P∩N是N的Sylowp-子群，故(|N：P2∩N|，|N:T∩N|)=1,這樣(P2∩N)(T∩N)=N=N∩G=N∩P2T.由[4]中引理2.7知P2N/N∩TN/N=(P2N∩TN)/N=(P2∩T)N/N≤(P2)seN/N.由[1]中引理1知(P2)seN/N在G/N中s-置換嵌入.因此M2/N在G/N中弱-置換嵌入.從而G/N滿足定理的假設(shè).由G的極小選擇知G/N是p-冪零群.由于p-冪零群系是飽和群系，從而N的唯一性及Φ(G)=1是顯然的.

(4)Op′(G)=1.

若Op′(G)≠1,則由(3)知G/Op′(G)是p-冪零的，從而G是p-冪零的，矛盾.

(5)Op(G)=1.

如果Op(G)≠1,那么由(3)知N≤Op(G)且存在G的一個極大子群M，使得G=NM且M∩N=1.由于Op(G)∩M?G,故Op(G)∩M=1,從而N=Op(G).顯然P=P∩NM=N(P∩M).因為P∩M

(6)導(dǎo)出矛盾.

如果N∩P≤Φ(P),那么由J.Tate定理([9]，Ⅳ,4.7),N是p-冪零的.設(shè)Np′是N的正規(guī)p-補，則Np′charN?G,Np′?G,Np′≤Op′(G)=1.因此N是p-群，N≤Op(G)=1，矛盾.因此存在P的一個極大子群P1使得P=(N∩P)P1.取P的一個2-極大子群P2，使得P2

定理2設(shè)p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.如果NG(P)為p-冪零的且P的所有2-極大子群在G中弱s-置換嵌入，那么G是p-冪零的.

證假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

(1)由引理5，|P|≥p3,這說明P的任意2-極大子群P2≠1.

(2)若M

顯然NM(P)≤NG(P),所以NM(P)為p-冪零群.由引理1知M的Sylowp-子群P的所有極大子群在M中弱s-置換嵌入，M滿足定理的條件，由G的極小性知M為p-冪零群.

(3)G不是一個非交換的單群.

類似定理1的證明(2).

(4)G有唯一的極小正規(guī)子群N使得G/N是p-冪零的且Φ(G)=1.

設(shè)N為G的一個極小正規(guī)子群，考慮商群G/N.因為P是G的Sylowp-子群，所以有PN/N是G/N的Sylowp-子群.NG/N(PN/N)=NG(P)N/N是p-冪零群.如果|PN/N|≤p2,那么由引理5，G/N是p-冪零的.所以可設(shè)|PN/N|≥p3.再應(yīng)用定理1的證明中(3)的方法可得結(jié)論.

(5)Op′(G)=1.

(6)下面分兩種情況導(dǎo)出矛盾.

情形1：p>2.由于G不為p-冪零群，由[10]中推論知存在P的非平凡特征子群H，使得NG(H)不為p-冪零群.又P≤NG(H),若NG(H)p,則NQ為p-冪零群，從而Q≤CG(N)=N,矛盾.若q

情形2：p=2.如果Op(G)≠1,那么N≤Op(G).類似情形1的證明可得到|N|=p.由G/N為p-冪零群，可設(shè)L/N是G/N的正規(guī)p-補.由Schur-Zassenhaus定理，存在L的Hallp′-子群Lp′,使得L=NLp′,從而L是p-冪零的.又L的正規(guī)p-補Lp′也為G的正規(guī)p-補，故G為p-冪零的，矛盾,因此Op(G)=1.如果N∩P≤Φ(P),那么由J.Tate定理([9]，Ⅳ,4.7),N是p-冪零的.設(shè)Np′是N的正規(guī)p-補，那么Np′charN?G,Np′?G，Np′≤Op′(G)=1.因此N是p-群，N≤Op(G)=1,矛盾.因此存在P的一個極大子群P1使得P=(N∩P)P1.取P1的一個極大子群P2，由定理假設(shè)，P2在G中弱s-置換嵌入.于是存在G的一個次正規(guī)子群T和包含在P2中的G的一個s-置換嵌入子群(P2)se，使得G=P2T且P2∩T≤(P2)se.既然(P2)se在G中s-置換嵌入，則存在G的一個s-置換子群K，使得(P2)se為K的Sylowp-子群.若KG≠1,則N≤KG≤K.于是(P2)se∩N為N的Sylowp-子群.又(P2)se∩N≤P1∩N≤P∩N且P∩N為N的Sylowp-子群，故(P2)se∩N=P1∩N=P∩N,從而P=(N∩P)P1=(P1∩N)P1≤P1,矛盾.若KG=1，則由引理3，(P2)se在G中s-置換，故(P2)se??G.文獻(xiàn)[8]中推論1.10.17知，P2∩T≤(P2)se≤Op(G)=1,故|P∩T|≤p2.由于|G:T|是p的方冪，T??G,故Op(G)≤T.由N的唯一性知N≤Op(G)≤T,從而N∩P≤T∩P,|N∩P|≤p2.顯然P≤NG(P∩N)

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