《高等代數(shù)》課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)探究

周立平

（湖南科技學(xué)院，湖南 永州 425100）

0 引 言

眾所周知，高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)過程中最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程的基石。通常，高等代數(shù)是開設(shè)在大學(xué)一年級(jí)第一、二學(xué)期。它以其代數(shù)理論的抽象性、數(shù)學(xué)思想的深邃性吸引著廣大學(xué)生，但是也正因?yàn)槠淅碚摮橄螅步o很多學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了不小的困難。同時(shí)，作為基礎(chǔ)課程，該課程的教學(xué)質(zhì)量的好壞對(duì)學(xué)生大學(xué)四年里數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)有著非常深遠(yuǎn)的影響。

1.等代數(shù)課程教學(xué)的現(xiàn)狀

筆者通過幾年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，在教師的教與學(xué)生的學(xué)之間，存在著較為突出的矛盾，其表現(xiàn)主要有：

1.1.師側(cè)重基礎(chǔ)理論教學(xué)與學(xué)生側(cè)重課程知識(shí)的應(yīng)用之間的矛盾

一方面，教師課堂上講授的東西基本都是純粹的理論、證明、計(jì)算過程，幾乎沒有任何實(shí)驗(yàn)，學(xué)生感覺難度大，太抽象，不容易理解。畢竟，大一新生剛走過高考的“獨(dú)木橋”，在中學(xué)里一直被“填鴨”式教學(xué)方式所灌輸，形成了一些定性思維，認(rèn)為學(xué)習(xí)時(shí)只要死記硬背即可。然而，大學(xué)中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與中學(xué)截然不同，對(duì)知識(shí)理解要求很高，這也使得學(xué)生感覺不適應(yīng)大學(xué)里數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方式。另一方面，我們通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很大一部分學(xué)生反映對(duì)于高等代數(shù)課程，不知道“何以學(xué)”、“為何學(xué)”，感覺離現(xiàn)實(shí)太遠(yuǎn)，不知道這樣抽象的數(shù)學(xué)理論在生產(chǎn)、生活中究竟有何實(shí)際應(yīng)用，從而缺乏自我學(xué)習(xí)的動(dòng)力，甚至有些學(xué)生因此而喪失了對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。這個(gè)結(jié)果與我們?cè)谡n堂教學(xué)重視理論證明過程，輕視實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐，是分不開的。當(dāng)然，這也是歷來數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中的一大詬病。

1.2.師割斷課程間固有聯(lián)系與學(xué)生融合各課程知識(shí)點(diǎn)的需要之間的矛盾

就大學(xué)數(shù)學(xué)課程開設(shè)而言，很多學(xué)校把高等代數(shù)和解析幾何作為兩門不同課程分開開設(shè)，并且在同一學(xué)期開設(shè)。這就為割裂兩門課程間聯(lián)系提供了“可趁之機(jī)”。事實(shí)上，高等代數(shù)的很多知識(shí)點(diǎn)與解析幾何是非常相關(guān)的，或者是相通的，而把它們分開且同學(xué)期開設(shè)，這勢(shì)必使得教師在教學(xué)中就不會(huì)很好地將高等代數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與解析幾何相結(jié)合，進(jìn)行綜合全面描述，人為地割裂了課程之間的紐帶，把原本可以較為直觀表達(dá)的東西，變成所謂的深?yuàn)W的抽象的東西，造成了學(xué)生學(xué)習(xí)吃力的尷尬局面。這種情況同樣也發(fā)生在高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析兩門課程當(dāng)中，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析，卻不能將之與高等代數(shù)相結(jié)合來思考數(shù)學(xué)問題。

1.3.堂教學(xué)教師講授容易與學(xué)生課后解題困難之間的矛盾

做為過來人的教師，經(jīng)過課前精心備課、課堂上細(xì)心的講解，能很輕易完成教學(xué)任務(wù)。而反過來，學(xué)生在課堂上聽得津津有味，似懂非懂，可是一旦下了課后，書本上習(xí)題卻解答困難，甚至解答不出。學(xué)習(xí)較認(rèn)真的同學(xué)，遇到與課堂上所授類似的習(xí)題，“依葫蘆畫瓢”還是會(huì)做，若出現(xiàn)未講過的新題型，思想頓時(shí)僵化，就無從下手，甚至連思考都不會(huì)了，只留下一臉茫然。這也說明，在教學(xué)中教師的教與學(xué)生的學(xué)處于一種不匹配或者說不搭調(diào)的狀態(tài)，表明學(xué)生沒有像教師所臆想的那樣去思考問題，其數(shù)學(xué)思維沒有很好的得到鍛煉，沒能真正把握知識(shí)的本質(zhì)。

基于以上現(xiàn)象，究其根本原因是教師教授理論的抽象性與學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)具體性的需要存在著較大矛盾，沒有把抽象理論與客觀實(shí)際聯(lián)系到一起，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中缺乏必要的認(rèn)知與實(shí)踐過程。教學(xué)中僅僅單一的從理論直接過渡到理論，而不是從實(shí)踐中提煉出來，應(yīng)用到實(shí)踐中去。如何來解決這一問題呢？這也是恰恰是本文的目的所在。

2.等代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的必要性與研究意義

實(shí)驗(yàn)教學(xué)是對(duì)理論教學(xué)十分重要的補(bǔ)充之一，是教學(xué)中不可或缺的部分，相對(duì)于高等代數(shù)理論教學(xué)它有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，主要表現(xiàn)在以下幾方面。

2.1.利于發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突出學(xué)生主體地位，

在數(shù)學(xué)相關(guān)理論課程的課堂教學(xué)中，大多數(shù)教師教學(xué)仍舊停留在以講授為主，甚至是全部為講授，至多偶爾穿插些習(xí)題。在前面我們也提到了，這使得部分學(xué)生因感到課程知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相背離，而缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)力。教師主動(dòng)的教，與學(xué)生被動(dòng)的學(xué)產(chǎn)生了本末的倒置，使教學(xué)雙方的作用均沒有得到很好的發(fā)揮，不利于教學(xué)。而事實(shí)上，高質(zhì)量的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在課堂中教師作用是“導(dǎo)”而“引”，學(xué)生作為主體應(yīng)“入”而“學(xué)”。然而，基礎(chǔ)課程又有區(qū)別于其他后繼課程不同的特點(diǎn)，作為基礎(chǔ)課程，其基本知識(shí)點(diǎn)學(xué)生還未能掌握，何以又能主動(dòng)去學(xué)？這也凸顯出一個(gè)矛盾。也正是如此，基礎(chǔ)課程勢(shì)必要采取相應(yīng)措施，來為后繼續(xù)課程學(xué)習(xí)做出鋪墊。因此，實(shí)驗(yàn)教學(xué)就顯得非常迫切了。通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)，數(shù)學(xué)理論得到了驗(yàn)證，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到加強(qiáng)，同時(shí)也使學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的認(rèn)知能力和動(dòng)手能力，增加學(xué)習(xí)的趣味性，更好的體現(xiàn)學(xué)生的自我價(jià)值。

2.2.利于將高度抽象化的代數(shù)理論與直觀具體化的實(shí)驗(yàn)緊密結(jié)合，做到抽象與具體的統(tǒng)一

高等代數(shù)課程中有非常多的基本概念、定理，并且大多是比較抽象的，比較復(fù)雜。然而，數(shù)學(xué)的美也正在于此。它以其抽象的理論深刻揭示了現(xiàn)實(shí)生活中的萬千事物的區(qū)別與聯(lián)系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的概念和定理不是從天上掉下來的，也不是數(shù)學(xué)家頭腦里突然蹦出來的。數(shù)學(xué)的概念是從客觀實(shí)際中抽象出來的，或者從數(shù)學(xué)本身向前發(fā)展的需要引出來的；數(shù)學(xué)的定理是為了解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的問題，進(jìn)行探索，做出猜測(cè)，然后通過深入分析，邏輯推理和計(jì)算才得出來的[1]。而在教學(xué)當(dāng)中，實(shí)驗(yàn)卻能還原或者近似還原概念、性質(zhì)、定理所產(chǎn)生的背景，并在此背景下驗(yàn)證或重現(xiàn)概念、性質(zhì)、定理所產(chǎn)生的過程，有利于揭示代數(shù)理論的基本概念、性質(zhì)、定理的內(nèi)涵與外延。反過來，它也能將理論知識(shí)進(jìn)行具體化、形象化，這也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生更易于理解與掌握。

2.3.利于聯(lián)系相關(guān)課程，形成學(xué)生知識(shí)架構(gòu)的整體性

雖然高等代數(shù)和解析幾何兩門課程的課程體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)都已經(jīng)相當(dāng)成熟，也具有自身理論的完整性，但就其內(nèi)容與方法而言，兩者之間又可以互相依賴、互相滲透和互相促進(jìn)的，“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”。 只有結(jié)合了兩門課程，才能彌補(bǔ)兩門課程內(nèi)容以及方法之間的內(nèi)在聯(lián)系的不足，避免兩門課程知識(shí)的分割和課程間方法上的隔離。同時(shí)，也能使學(xué)生的對(duì)各課程知識(shí)掌握做到融會(huì)貫通，使其數(shù)學(xué)思想具有整體性、系統(tǒng)性，更好地掌握數(shù)學(xué)思想與方法。

2.4.利于將數(shù)學(xué)建模思想滲透到高等代數(shù)課程的教學(xué)當(dāng)中

在高等代數(shù)中融入數(shù)學(xué)建模思想是必要的，也是可行的。首先，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，即通過把抽象的理論知識(shí)結(jié)構(gòu)化、形象化、實(shí)用化而形成的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的理解，從而實(shí)現(xiàn)理論知識(shí)的系統(tǒng)化。其次，數(shù)學(xué)建模思想是數(shù)學(xué)模型的靈魂，是貫穿理論知識(shí)的主線。在高等代數(shù)的一些概念、性質(zhì)、公理、定理和推論的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，就能夠分清各知識(shí)脈絡(luò)以及它們的聯(lián)系。再次，數(shù)學(xué)建模思想能將知識(shí)向深度和廣度延伸，高等代數(shù)中有許多具體問題和定理還值得深入挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)；與其它學(xué)科相結(jié)合方面的問題也有待進(jìn)一步探討。最后，數(shù)學(xué)建模思想是圍繞一個(gè)現(xiàn)實(shí)需要解決的問題展開，有利于知識(shí)的針對(duì)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)抽象知識(shí)的興趣[2]。而如何真正將數(shù)學(xué)建模思想滲透到課堂教學(xué)中去了？如何在高等代數(shù)課程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模？對(duì)于此，最有效的途徑就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模中一個(gè)重要手段，只要引導(dǎo)得當(dāng)，它可以從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出代數(shù)問題，再運(yùn)用相關(guān)代數(shù)知識(shí)，將其解決，最終又應(yīng)用到實(shí)踐中去。

3.等代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一些建議

3.1.用多媒體技術(shù)手段輔助實(shí)驗(yàn)教學(xué)

多媒體技術(shù)具有信息量豐富、直觀形象化的特點(diǎn)，是非常適合運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)。實(shí)際上，可以在n維向量空間等章節(jié)中，對(duì)于一維、二維、三維空間的相關(guān)理論，運(yùn)用PowerPoint軟件對(duì)向量的坐標(biāo)、向量的夾角、向量的線性變換等進(jìn)行演示，變抽象為直觀。通過演示，這些理論被直觀化了，學(xué)生理解起來就容易多了。

3.2.合計(jì)算軟件相實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通

高等代數(shù)課程教學(xué)中可以采用的計(jì)算軟件有很多，像Matlab、Mathematics軟件等，特別是 Matlab。作為科學(xué)工程計(jì)算軟件，Matlab軟件是基于矩陣代數(shù)基礎(chǔ)上開發(fā)的，以矩陣運(yùn)算為主。它提供了數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算兩種模式，可以對(duì)高等代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)算，并且它具有強(qiáng)大的繪圖功能，能清楚描繪一至三維圖形，利于將理論結(jié)果進(jìn)行直觀化。如對(duì)于二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，其實(shí)質(zhì)是利用坐標(biāo)變換，將解析幾何課程中所涉及的一般二次曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形，這也是二次型的幾何意義所在。為此，首先可以在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行情景模擬、再現(xiàn)，首先繪出一般二次曲面的三維圖形；其次，再利用高等代數(shù)課程介紹的方法，如合同變換法、完全配方法等化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；再者，對(duì)新標(biāo)準(zhǔn)形繪出標(biāo)準(zhǔn)二次曲面；最后，分析新舊二次曲面聯(lián)系與區(qū)別。這樣，學(xué)生所學(xué)知識(shí)點(diǎn)得到驗(yàn)證，并且能與解析幾何相結(jié)合，把知識(shí)進(jìn)行了形象化，融合課程間的知識(shí)。

3.3.導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法和知識(shí)對(duì)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型

代數(shù)就其大多數(shù)概念而言，都是有現(xiàn)實(shí)原型的和應(yīng)用背景的。比如它與網(wǎng)絡(luò)圖論的關(guān)系，就是十分緊密的。如何來描述一個(gè)城市交通網(wǎng)絡(luò)圖？這時(shí)，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生用矩陣來進(jìn)行描述。如果把每個(gè)城市看作是一個(gè)結(jié)點(diǎn)的話，那么采用鄰接矩陣來表示點(diǎn)和點(diǎn)之間是否有道路相連。1998年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中本科組A題是以98年洪災(zāi)為背景下的災(zāi)情巡視路線問題，其實(shí)質(zhì)就是利用矩陣和圖論的知識(shí)來找出最短哈密爾頓回路。又如數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常用到層次分析方法（AHP），其計(jì)算的基本工具就是矩陣。通過構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣，再求出各方案對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量，將其歸一化。至于權(quán)向量的求解又可以采用求特征向量的方法來做，最后，再進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。它還涉及到了以特征值向量各分量作為權(quán)重值來確定方案的優(yōu)劣性。

3.4.導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新型實(shí)驗(yàn)的探究

創(chuàng)新也一直是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的非常重要的方面。培養(yǎng)創(chuàng)新思維的關(guān)鍵是發(fā)展學(xué)生思維的深刻性。這包括思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度和深度。它著重于透過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭示事物內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，我們可以適當(dāng)采用給學(xué)生布置小課題的形式，要求學(xué)生通過理論分析，結(jié)合高等代數(shù)知識(shí)點(diǎn)，給出問題的解決方案，最后利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)問題解決。比如，代數(shù)中很多性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于Google、Yahoo等搜索引擎技術(shù)中。在網(wǎng)絡(luò)上經(jīng)常會(huì)要對(duì)某個(gè)或某幾個(gè)關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，查找出相關(guān)或相似網(wǎng)頁信息。而網(wǎng)站的搜索引擎會(huì)對(duì)各主題詞文本進(jìn)行分類，并且排序，然后給出查詢結(jié)果。最常見的兩類的分類問題分別是，將文本按主題歸類和將詞匯表中的字詞按意思?xì)w類。這兩種分類問題都可用通過矩陣運(yùn)算來圓滿地、同時(shí)解決。而分類的關(guān)鍵是計(jì)算相關(guān)性。計(jì)算相關(guān)性時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采用代數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決。事實(shí)上，我們可以使用向量的內(nèi)積的相關(guān)知識(shí)來考慮問題。可以對(duì)兩個(gè)文本計(jì)算出它們的實(shí)詞的向量，然后求這兩個(gè)向量的夾角。當(dāng)這兩個(gè)向量夾角為零時(shí)，新聞就相關(guān)；當(dāng)它們垂直或者說正交時(shí)，新聞則無關(guān)。當(dāng)然，夾角的余弦等同于向量的內(nèi)積。通過這樣的過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新型實(shí)驗(yàn)研究，開闊視野，鍛煉他們的數(shù)學(xué)思維。

4.論

綜上所述，通過在基礎(chǔ)課程高等代數(shù)中開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，教師可以較好的變抽象的理論為直觀的形象，同時(shí)也能順利地與實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，構(gòu)建他們頭腦中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，使他們真正地喜愛上代數(shù)學(xué)，真正體會(huì)到代數(shù)學(xué)的美不僅在其本身理論，更在于其廣泛的應(yīng)用。

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