N體 Sch rd inge r算子勢能的一些性質(zhì)

賈小堯 ,趙麗英 ,任鳳章

(河南科技大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;b.材料與工程學(xué)院,河南洛陽 471003)

0 前言

N體問題是目前數(shù)學(xué)和物理中研究的熱點之一,因為其有重要的物理背景,已經(jīng)有很多學(xué)者研究過N體 Schrd inger算子[1-5],本文主要關(guān)注N體 Schrdinger算子的離散譜的個數(shù),離散譜對應(yīng)于物理中的能級,是物理中比較重要的研究內(nèi)容。N=2時,離散譜個數(shù)的結(jié)果比較多[6-9]。研究發(fā)現(xiàn)N體Schrd inger算子的離散譜與勢能的可積性有關(guān),因此本文需要研究勢能的性質(zhì)。

1 預(yù)備知識和已知結(jié)果

考慮一般的N個 υ維粒子的系統(tǒng)。H是L2((N-1)υ)上的一個算子:

其中:mi是第 i個粒子的質(zhì)量;ri是第i個粒子的位置;-Δri是關(guān)于ri變量的Lap lace算子。在本文中,由于技術(shù)原因,假設(shè):

而且假設(shè)勢能滿足以下條件:

首先介紹一下多體問題中的一些常用符號[7]。用符號Ci(i=1,2,…,k)表示集合{1,2,…,N}的一個子集,如果這些Ci滿足:

(1)當(dāng) i≠j時Ci∩Cj≠φ;

就稱 {C1,C2,…,Ck}是{1,2,…,N}的一個劃分(或者叫簇分劃)。如果D={C1,C2,…,Ck}是{1, 2,…,N}的一個劃分,使用下面這個記號#D=k表示劃分D中有k個元素。如果 i,j是{1,2,…,N}里面的兩個數(shù),用符號iD j表示 i和j在同一個簇Ci中,用符號 ～iD j表示 i,j屬于不同的簇。用符號∑iDj(對應(yīng)地 ∑～iDj)表示對所有屬于同一簇(對應(yīng)地,屬于不同簇)的 i,j進行求和。對于每個簇分劃D,定義:

用符號A表示N粒子系統(tǒng)的所有的劃分組成的集合,則對每個簇分劃D={C1,C2,…,Ck}∈A, H=L2(⑼(N-1)v)有個自然的劃分HD?HD,其中:

HD={x∈H:xi=xj,如果對某個 1＜m ＜k,有(i,j)∈Cm成立}。在這些記號下,對任意的x∈H,有x=xD+xD,這里xD∈HD,xD∈HD,

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要證明了勢能滿足條件(1)和(2)的多體 Schrd inger算子的勢能與常數(shù) ∑cl的差的負部,(V-∑cl)_,在無窮遠處的衰減性,這個結(jié)果是研究多體 Schrd inger算子離散譜個數(shù)的關(guān)鍵。主要結(jié)果如下:

其中C是大于0的常數(shù)。

要證明這個結(jié)果,需要用到整個空間的一個光滑的單位分解,需要先證明下面的這個引理。

引理 1 存在某個 δ＞0足夠小,定義:

那么有:

證明 從JD的定義,容易看出如果D′?D,則有JD′?JD。因此,只需要證明:

用S表示H的單位球,令:

對任意的x∈S,集合Ax={D∈A;x∈HD}是非空的。易得x∈HD0,這里D0=∩D∈AxD。而且?D′?D0,都有x?HD′。對任意的x∈SD,可以選取某個 δ0= δ0(x)＞ 0,使得:

如果 Ω(x,∈x)是x在H中的一個小的錐鄰域,

則 δ＞0。JD由引理中給出。就得到了:

這樣就證明了這個引理。

定理 1的證明 由引理 1,知道存在一族非負的光滑函數(shù) {χD;D∈A,#D=2},使得:

這里B(0,1)是 H中的單位球。那么有:

這樣就證明了這個定理。

3 結(jié)論

從這個定理,可以看出勢能滿足條件(1)和(2)的多體 Schrdinger算子的勢能與常數(shù) ∑cl的差的負部,(V-∑cl)_,在無窮遠處的衰減性,這就為研究這里算子離散譜的個數(shù)提供了必要條件。

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