具有輸入時(shí)滯的不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

黃韓亮

(漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,福建漳州 363000)

0 前言

時(shí)滯和不確定性普遍存在于各類控制系統(tǒng)當(dāng)中,它們的存在使得系統(tǒng)的分析和綜合變得更加復(fù)雜和困難,同時(shí)也是系統(tǒng)不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能變差的根源。因此,對不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有重要意義。文獻(xiàn)[1-2]考慮了具有不確定性以及時(shí)滯項(xiàng)系統(tǒng)的魯棒控制問題。近年來,隨著模糊數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展和完善,人們開始利用Takagi-Sugeno(T-S)模型方法[3]來研究非線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定問題。文獻(xiàn)[4]利用 T-S模型研究了非線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但沒有考慮系統(tǒng)的不確定性。文獻(xiàn)[5]為不確定模糊時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器。文獻(xiàn)[6]針對具有狀態(tài)和控制輸入時(shí)滯的系統(tǒng),給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[7]利用變量結(jié)構(gòu)控制(VSC)方法分析了不確定模糊時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,根據(jù)是否與時(shí)滯項(xiàng)相關(guān),可以分為時(shí)滯依賴與非時(shí)滯依賴兩種。非時(shí)滯依賴條件就是與時(shí)滯無關(guān)的[5],可以在系統(tǒng)時(shí)滯項(xiàng)未知的情況下分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一般來說,時(shí)滯依賴條件[4,6,8-9]具有更少的保守性,但是,他們在給出穩(wěn)定性條件之前常常要求時(shí)滯項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)小于 1或者某個(gè)常數(shù)。本文結(jié)果避免了對時(shí)滯項(xiàng)導(dǎo)數(shù)的約束,即可以用來分析具有任意快速變化時(shí)滯項(xiàng)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)都是以LMI的形式給出,方便利用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行求解。

現(xiàn)在關(guān)于研究具有控制輸入時(shí)滯的不確定模糊系統(tǒng)的文獻(xiàn)很少,因此本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,在已知系統(tǒng)時(shí)滯項(xiàng)上下界的前提下,給出了由 T-S模糊模型所描述的一類具有狀態(tài)和控制輸入時(shí)滯的不確定系統(tǒng)新的時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性條件,例子可以證明結(jié)果的有效性及優(yōu)點(diǎn)所在。

本文中記號X＞0表示X是正定矩陣;I是單位矩陣;XT表示X的轉(zhuǎn)置;對于非奇異矩陣X,X-1表示X的逆;Rn表示n維歐氏空間;Rm×n表示m×n矩陣全體的集合;*表示矩陣中對稱元素的轉(zhuǎn)置。

1 系統(tǒng)的描述

類似于文獻(xiàn)[6],考慮由 T-S模型所描述的具有狀態(tài)和控制輸入時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)。利用平行分配補(bǔ)償算法,通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kix(t),采用單點(diǎn)模糊化,乘積推理和平均加權(quán)反模糊化,可得整個(gè)閉環(huán)模糊系統(tǒng)如下:

假設(shè)1 [ΔAi1(t)ΔAi2(t)ΔBi1(t)ΔBi2(t)]=UiFi(t)[Ei1Ei2Gi1Gi2],其中Ei1、Ei2、Gi和Ui是已知的常數(shù)矩陣Fi(t)是未知矩陣,其每個(gè)元素是Lebesgue可測的函數(shù),并滿足F(t)Fi(t)≤I。

假設(shè)2 h(t)與τ(t)是一致連續(xù)的時(shí)變函數(shù)且滿足0≤hm≤h(t)≤hM,0≤τm≤τ(t)≤τM。

下面先給出 3個(gè)引理,它們是證明本文主要結(jié)論的關(guān)鍵。

引理1[10]對于任意的矩陣X∈Rm×n和Y∈Rm×n,有XTY+YTX≤XTX+YTY。

引理2[11]對于給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、U和E,其中Y是對稱的,則Y+UFE+ETFTUT＜0對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0,使得Y+εUUT+ε-1ETE＜0。

引理3 對于給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q2＞0,Q3＞0,R2＞0,R3＞0,N,M,T和S,下列不等式成立。

由引理1易證明引理3,其中Qi、αi可分別被Ri和βi替代,h(t)可被τ(t)替代,N,M可分別被T,S替代。

2 主要結(jié)果

進(jìn)一步,穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器增益可以由Kj=YjX-T得到。

證明 令P,Qd,Rd(d=1,2,3)均為適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣,選取Lyapunov-Krasovskii函數(shù)如下:

對V(x(t))關(guān)于t求導(dǎo)并結(jié)合Newton-Leibniz公式和引理3,有:

其中:μi=μi(z(t));μj=μj(z(t-τ(t)));NT=[NNNNNN],N可被M,S,T和W所替代; ξT(t)=[xT(t)xT(t-h(t))xT(t-α1)xT(t-τ(t))xT(t-β1)xT(t)]; Πij=Ψij+α1NQNT+α2MQMT+β1TRTT+β2SRST;

為了把穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式,令Wl=δlWl(l=2,3,4,5,6)。容易知道,W6≠0,于是δ6≠0且W1≠0。令X=W,P=XPXT,=XQdXT,=XRdXT(d=1,2,3),=XNkXT,= XMkXT,=XSkXT,=XTkXT(k=1,…,6)和Yj=KjXT。考慮滿足假設(shè)1的參數(shù)不確定性,結(jié)合引理1與引理2,可以證明當(dāng)式(2)成立時(shí),V(x(t))＜0,于是閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(1)是漸近穩(wěn)定的,且狀態(tài)反饋控制器的增益可由Kj=YjX-T得到。

注 1 本文的方法避免了文獻(xiàn)[4,6,8-9]中對于時(shí)滯項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)必須小于 1或者某個(gè)常數(shù)的要求,也就是說我們的方法允許系統(tǒng)的時(shí)滯項(xiàng)可以任意快速地變化。

注2 只要改變某些參數(shù)的值,上述結(jié)論就能方便地運(yùn)用于以下幾種不同的系統(tǒng)。當(dāng) τ(t)=0時(shí),式(1)就是只具有狀態(tài)時(shí)滯的不確定模糊系統(tǒng);當(dāng)α2=β2=0時(shí),式(1)就是具有常數(shù)狀態(tài)和控制輸入時(shí)滯的不確定模糊系統(tǒng);當(dāng)h(t)=τ(t)=0時(shí),式(1)就是不確定模糊系統(tǒng)。當(dāng)然,本文的方法也能應(yīng)用于多重時(shí)滯系統(tǒng)。

3 例子

例子1 考慮由文獻(xiàn)[8]中給出的MSD(mass-spring-damper)機(jī)械系統(tǒng),其T-S模型如下:

規(guī)則1 如果x1(t)是Γ1,則x(t)=(A11+ΔA11(t))x(t)+(B1+ΔB1(t))u(t-τ(t));

規(guī)則2 如果x1(t)是Γ2,則x(t)=(A21+ΔA21(t))x(t)+(B2+ΔB2(t))u(t-τ(t))。其中≤1,Γ1和 Γ2的定義由文獻(xiàn)[8]中給出。顯然,由假設(shè) 1可知:

用文獻(xiàn)[8]中方法得到的τMmax=0.422 3,相應(yīng)的控制器增益為K1=[-0.762 3-0.521 2],K2= [-0.369 0-0.536 2]。而利用本文的結(jié)論,令τm=0,選取 δ2=5,δ3=0.1,δ4=-0.7,δ5=3.1和δ6=22可得τMmax=1.072 8,相應(yīng)的控制器增益為K1=[-0.408 3-0.366 1],K2=[-0.402 7-0.369 2]。可見,用本文方法得到所允許的控制輸入時(shí)滯的最大值比文獻(xiàn)[8]中的大。

例子2 考慮具有如下參數(shù)的不確定模糊時(shí)滯系統(tǒng)(1):

這里選取δ2=10;δ3=-0.1;δ4=0.3;δ5=0.12和δ6=30,由定理1可以得到控制器的增益矩陣

如果已知hm,τM和τm,如表1所示,可以計(jì)算出hM的最大取值從而使閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)滯項(xiàng)屬于0≤hm≤h(t)≤hMmax,0≤τm≤τ(t)≤τM這個(gè)范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的,其中δl的取值與前面相同。

表1 hMmax與反饋控制器Ki(i=1,2)的求解結(jié)果

4 結(jié)束語

本文針對一類具有狀態(tài)和控制輸入時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng),給出了一種新的穩(wěn)定性判別條件。不同于以往的結(jié)論,本文所得到的結(jié)果對于時(shí)滯項(xiàng)沒有約束,且都是以線性矩陣不等式的形式給出,求解十分方便。所給出的例子可表明所給出方法的有效性及其優(yōu)點(diǎn)。在以后的工作中,我們將對該系統(tǒng)的 H∞魯棒控制以及系統(tǒng)狀態(tài)不可測時(shí)的情況加以研究。

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