基于失配誤差正交分解的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

鄒 翔 張 旻 鐘子發(fā)

(解放軍電子工程學(xué)院 合肥 230037)(安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230037)

1 引言

波束形成是陣列信號(hào)處理中廣泛應(yīng)用的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，如雷達(dá)、聲納、醫(yī)療成像[1]、MIMO無(wú)線通信[2]、麥克風(fēng)語(yǔ)音處理等領(lǐng)域[3,4]。傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成方法假定期望信號(hào)(Signal Of Interest，SOI)

的導(dǎo)向矢量是精確已知的，然而，由于實(shí)際應(yīng)用中導(dǎo)向矢量失配誤差會(huì)引起波束形成性能急劇下降，穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法就成為陣列傳感器應(yīng)用系統(tǒng)一個(gè)必須解決的問(wèn)題。目前出現(xiàn)了幾種穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成方法來(lái)解決這種導(dǎo)向矢量的失配誤差問(wèn)題[5?9]。Li等人[6,7]針對(duì)導(dǎo)向矢量失配提出了穩(wěn)健的波束形成算法，一種方法是通過(guò)對(duì)導(dǎo)向矢量的不確定集進(jìn)行建模，使用對(duì)角加載的思想，獲得與該不確定集參數(shù)有關(guān)的穩(wěn)健自適應(yīng)算法；而另一種方法是通過(guò)對(duì)加權(quán)矢量的模強(qiáng)加不等式約束，以改善波束形成算法的穩(wěn)健性，這兩種方法都需要選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)才可以保證算法的穩(wěn)健性。在假定失配量的模上限是已知的情況下，基于最壞情況性能最優(yōu)[8]是非常有效的方法，其主要思想是把失配誤差e約束在一個(gè)橢球內(nèi)：Α(e)={e|||e ||≤ε}，但事實(shí)上，無(wú)論是失配誤差本身還是它的模上限都無(wú)法獲知，如果上限設(shè)定過(guò)大，那么約束就會(huì)失效；如果上限過(guò)小，又會(huì)導(dǎo)致期望信號(hào)的自零陷(self-nulling)，這兩種情況都會(huì)導(dǎo)致算法性能的下降?；诟怕始s束的方法[9]假定失配導(dǎo)向矢量服從特定的概率分布，而不是簡(jiǎn)單地把誤差約束在橢球內(nèi)，其主要思想是：該波束形成器只對(duì)誤差以較大概率ρ發(fā)生的事件保持無(wú)畸變響應(yīng)，而不是對(duì)所有的誤差發(fā)生事件。該方法更符合誤差失配實(shí)際情況，然而誤差的概率分布不同優(yōu)化公式也會(huì)不同，所以難以實(shí)現(xiàn)對(duì)概率分布的準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)慕?。因此，目前還沒(méi)有一種理想的解決方法，穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法仍然是工程應(yīng)用中亟待解決的問(wèn)題。

本文提出了一種新的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，目標(biāo)是令輸出信干噪比(Signal to Noise-plus-Interference，SINR)最大化。新方法基于期望信號(hào)的實(shí)際導(dǎo)向矢量和假定導(dǎo)向矢量之間的誤差估計(jì)，通過(guò)正交分解失配誤差，使用誤差的正交分量來(lái)修正導(dǎo)向矢量，因此，并不需要對(duì)失配誤差進(jìn)行模上限約束和概率約束，避免了對(duì)上限的估計(jì)和概率分布的建模。

2 陣列信號(hào)模型

假設(shè)M 陣元均勻線陣，接收的都是窄帶信號(hào)，則在時(shí)刻t陣列接收到的信號(hào)為

其中xs(t)，xi(t)，n(t)分別是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的期望信號(hào)、干擾和噪聲。這里xs(t)=s(t)a，s(t)是期望信號(hào)波形，a是期望信號(hào)的實(shí)際導(dǎo)向矢量。

自適應(yīng)波束形成器的輸出

其中w=[w1…,wM]T∈CM是波束形成權(quán)值復(fù)向量，(?)T和(?)H分別代表矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

基于輸出功率最小準(zhǔn)則，則自適應(yīng)波束形成可以寫(xiě)成以下優(yōu)化問(wèn)題：

Capon波束形成器給出的解是

這里Ri+n是干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，由于在實(shí)際處理中無(wú)法得到Ri+n，通常用Rx的估計(jì)值來(lái)代替，即在時(shí)間上多次快拍采樣對(duì)X(i)XH(i)求平均來(lái)完成，N為快拍數(shù)，令Rx的估計(jì)值為

輸出信干噪比SINR為

3 基于失配誤差正交分解的算法

針對(duì)失配誤差模上限難以選取和概率分布建模困難的問(wèn)題，本文提出了一種新的基于誤差正交分解(Errors Orthogonal Decomposition，EOD)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成，算法描述如下。

3.1 算法描述

在Capon波束形成器中，其輸出功率為

首先構(gòu)造一個(gè)正定矩陣G

這里Θ=[θ1, θ2]是一個(gè)代表期望信號(hào)角度方位的空間扇形區(qū)域，g(θ)是假定的從θ方向入射的信號(hào)的導(dǎo)向矢量。值得注意的是：扇形Θ不應(yīng)該包含任何的干擾信號(hào)方向。我們可以認(rèn)為扇形Θ是以假定的期望信號(hào)方向?yàn)橹行牡囊粋€(gè)鄰域，所以只要準(zhǔn)確估計(jì)假定的期望信號(hào)方向，就可以準(zhǔn)確估計(jì)Θ。為此，建立列正交矩陣

其中{vk}是矩陣G的K個(gè)主要特征向量，K是G主要特征值的個(gè)數(shù)。

根據(jù)定義，實(shí)際導(dǎo)向矢量a包含于由V的列向量張成的子空間里，因此，投影矩陣可以由式(11)得到(滿足VH=0)：

在式(8c)加等式約束的目的在于使修正后的導(dǎo)向矢量和a，具有同樣的模。然而，這種等式約束域不是一個(gè)凸集，式(8)的優(yōu)化問(wèn)題不是凸優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)法通過(guò)高效方式求解。為此，把失配誤差e正交分解成兩個(gè)部分，一部分與正交，另一部分與平行。e⊥?表示e正交于的分量，根據(jù)矢量的物理意義，搜索e的正交分量并和矢量相加作為導(dǎo)向矢量的更新值，同時(shí)，約束更新值的模為，然后，繼續(xù)搜索與更新后的導(dǎo)向矢量正交的e⊥并和矢量相加作為“新”的更新值，直到滿足一些收斂準(zhǔn)則。圖1說(shuō)明了這種搜索、更新和約束的過(guò)程。

圖1 算法的迭代搜索示意圖

3.2 基于凸二次規(guī)劃的解決方案

失配誤差e正交分解以后，則式(8)可以重寫(xiě)為

這里為體現(xiàn)e⊥和的正交性，給了額外的約束式(12d)。另外，把式(8c)由等式約束變成了不等式約束。不過(guò)這種松弛并不會(huì)改變優(yōu)化問(wèn)題性質(zhì)，因?yàn)橐字獆|+e⊥||≥||||=，所以e⊥=0是式(12c)中的唯一解。由此在不等式的右邊加一個(gè)很小的松弛變量σ(σ＞0)，使得本文算法在搜索e⊥時(shí)有一定的搜索空間。那么式(12)修正為

式(13)是一個(gè)凸二次規(guī)劃問(wèn)題，可以使用內(nèi)點(diǎn)法有效地解決。當(dāng)?shù)玫綕M足式(13)中目標(biāo)函數(shù)的e⊥以后，更新假定的導(dǎo)向矢量，并且重新投影和模約束。值得指出的是：σ的值不會(huì)影響式(13)的最優(yōu)解，只會(huì)影響收斂速度。具體來(lái)說(shuō)，如果σ很小，則算法的迭代次數(shù)很大，反之則反。

3.3 算法流程

至此，本文算法流程總結(jié)如下：

(1)求解式(13)得到e⊥的估計(jì)；

(5)使用修正后的導(dǎo)向矢量計(jì)算穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的權(quán)值

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)陣列為半波長(zhǎng)均勻線陣，陣元數(shù)M=10，所加噪聲為零均值的高斯白噪聲。假設(shè)兩個(gè)干擾分別從30°和60°入射，干噪比(Interference to Noise Ratio，INR)均為30 dB，期望信號(hào)的方向角為0°?？炫臄?shù)N=100，實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)自500次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，把本文提出的算法(EOD)和采樣矩陣求逆算法(Sample Matrix Inversion，SMI)、對(duì)角加載算法(Diagonally Loaded SMI，LSMI)[6]、基于二階錐規(guī)劃(Second Order Cone Programming，SOCP)[8]以及基于概率約束(Probability Constrained，PC)[9]的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法進(jìn)行比較。在本文算法中，認(rèn)為期望信號(hào)來(lái)自區(qū)間Θ=[?5°,5°]，松弛變量σ=0.1，矩陣G的主要特征值個(gè)數(shù)為6。文中使用MATLAB CVX工具箱解決式(13)、基于SOCP和基于PC的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成的權(quán)值。

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)觀測(cè)方向誤差為3°，也就是說(shuō)假定的導(dǎo)向矢量由(3+0)°計(jì)算得到。在LSMI算法中，對(duì)角加載因子為10，是噪聲功率。在SOCP波束形成器中，分別采用ε=0.1M 和ε=0.3M，其中第1個(gè)值過(guò)小而第2個(gè)值等于失配誤差的模。概率約束波束形成方法中，ρ=0.95，設(shè)定失配誤差服從高斯分布。實(shí)驗(yàn)仿真了輸出信干噪比(SINR)和輸入信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)的關(guān)系，可見(jiàn)本文提出的算法在高信噪比區(qū)域具有最好的性能，高于PC和SOCP有4 dB左右，具體性能比較見(jiàn)圖2。

實(shí)驗(yàn)2 同時(shí)考慮觀測(cè)方向誤差和陣元位置誤差。假設(shè)每個(gè)陣元和理想位置之間的誤差在區(qū)間[?0.1λ/2,0.1λ/2]內(nèi)均勻分布，λ是波長(zhǎng)；而觀測(cè)方向誤差均勻分布于[?3°,3°]。在SOCP波束形成器中，分別采用ε=0.1M 和ε=0.3M進(jìn)行計(jì)算。在概率約束波束形成方法中，ρ=0.95，失配誤差服從高斯分布。實(shí)驗(yàn)仿真輸出信干噪比(SINR)和輸入信噪比(SNR)的關(guān)系，可以看出，本文提出的算法有效修正了失配誤差，較其他算法有一定的優(yōu)勢(shì)，性能比較結(jié)果見(jiàn)圖3。

實(shí)驗(yàn)3 觀察方向誤差為3°，在SOCP波束形成器中，采用ε=0.3M進(jìn)行計(jì)算；固定SNR=?10 dB，實(shí)驗(yàn)中仿真SINR和快拍數(shù)N的關(guān)系，其中輸出SINR歸一化后取對(duì)數(shù)，最小快拍數(shù)為陣元數(shù)的兩倍，結(jié)果見(jiàn)圖4?？梢钥闯?，本文算法輸出SINR在快拍數(shù)為40時(shí)已經(jīng)有收斂的趨勢(shì)，可見(jiàn)算法在小快拍采樣時(shí)具有較大的性能優(yōu)勢(shì)。

圖2 存在觀測(cè)誤差時(shí)性能比較

圖3 存在觀測(cè)誤差和陣元誤差時(shí)性能比較

圖4 SINR與快拍數(shù)關(guān)系曲線(SNR= -10 dB)

5 結(jié)論

針對(duì)目前工程應(yīng)用中亟待解決的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成問(wèn)題，本文提出了一種基于失配誤差正交分解(EOD)的方法。文中詳細(xì)給出了算法描述和基于二次凸規(guī)劃的解決方案，理論推導(dǎo)和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。由于不需要模上限估計(jì)和概率分布的建模，從而避免了現(xiàn)有算法由于參數(shù)選擇不當(dāng)和建模不準(zhǔn)確導(dǎo)致性能下降的問(wèn)題。因此本文所提的算法更有利于工程實(shí)現(xiàn)。

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