單殼體潛艇殼體結(jié)構(gòu)損傷后的屈曲分析

周素蓮，聶 武，彭 懿

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

現(xiàn)代潛艇的戰(zhàn)術(shù)使命要求其隱蔽地接近攻擊目標(biāo)，最大限度地發(fā)揮自己的精確打擊優(yōu)勢(shì)，完成戰(zhàn)斗任務(wù)，并具有耐受敵方攻擊的良好性能，在受損條件下保證潛艇盡快撤出戰(zhàn)斗，保存自己，以便修復(fù)后繼續(xù)使用.由于沒(méi)有外殼的保護(hù)，單殼體潛艇比雙殼體潛艇更易受到損傷，如碰撞、擱淺、戰(zhàn)時(shí)的武器命中和爆炸沖擊都會(huì)導(dǎo)致殼體結(jié)構(gòu)的破損.本文的目的在于充分考慮潛艇遭受水下爆炸攻擊后，殼體出現(xiàn)塑性變形但沒(méi)有被擊穿的情況下，針對(duì)單殼體潛艇耐壓殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性對(duì)幾何尺寸和材料特性的敏感性，研究艇體的極限承載能力.從而為各系統(tǒng)生命力評(píng)估提供量化依據(jù)，也為艇體結(jié)構(gòu)耐壓性和修復(fù)性提供依據(jù).本文研究的耐壓殼僅限于縱環(huán)加筋的圓柱形殼體，因此問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是圓柱殼的屈曲，受各種不同力和邊界條件約束的圓柱殼非線性屈曲問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外已有大量研究.國(guó)外，L.H.Donnell等［1］引入缺陷因子的概念討論了缺陷對(duì)軸壓薄壁圓柱殼屈曲的影響;Izhak Sheinman等［2］給出了幾何缺陷縱環(huán)加筋圓柱殼在軸壓作用下的屈曲數(shù)值解;Yamaki［3］系統(tǒng)地研究了受各種不同力和邊界條件約束的圓柱殼的彈性屈曲等等.國(guó)內(nèi)，王曉天［4］、劉濤［5］也對(duì)圓柱殼屈曲進(jìn)行了多方面分析;周承倜［6］和陳鐵云［7］研究了具有初始缺陷的環(huán)肋圓柱殼在均勻靜水壓力作用下的彈塑性屈曲等.雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)圓柱殼的屈曲有了一定的研究，但對(duì)具有初始缺陷的縱環(huán)加筋圓柱殼在均勻靜水壓力作用下的彈性屈曲的研究還比較少，本文就從這方面展開(kāi)研究.

1 坐標(biāo)和撓度函數(shù)的選取

圖1規(guī)定了本文所采用的坐標(biāo)系統(tǒng):x軸沿殼體中面的母線方向，y軸沿殼體橫截面的周向，為一曲線坐標(biāo)，z軸沿橫截面的徑向，以正對(duì)圓心為正，xyz構(gòu)成一正交的右手坐標(biāo)系統(tǒng).

圖1 單殼體潛艇耐壓殼坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of mono-shell submarine pressure hull

在這個(gè)坐標(biāo)系下，殼體沿x向的曲率為零，沿y向的曲率為1/r，中面上的點(diǎn)沿坐標(biāo)軸3個(gè)方向的位移分量分別用u、v、w表示，其中u沿x向稱為軸向位移，v沿y向稱為周向位移，w沿z向稱為徑向位移.

潛艇艙壁的剛度很大，因此將邊界條件定為簡(jiǎn)支邊界條件.根據(jù)文獻(xiàn)［8］并結(jié)合邊界條件，本文應(yīng)用大撓度分析方法討論艇體損傷后的彈塑性屈曲時(shí)，取大撓度位移函數(shù)為

式中:w為沿z向的徑向位移，f為撓度幅值，括號(hào)內(nèi)的第1項(xiàng)表示小撓度屈曲波形，第2項(xiàng)表示翹曲波形，L表示殼長(zhǎng).

在此，假定損傷艇體初始缺陷撓度w0的波形與w相似.因此，w0的函數(shù)表達(dá)式如下:

式中:f0、δ0是初撓度的幅值，可根據(jù)實(shí)際情況給定.

2 具有初始撓度艇體外殼大撓度彈性屈曲分析

2.1 基本假定

本文的理論推導(dǎo)基于以下基本假設(shè):

1)薄殼很薄.厚度h與殼半徑r和殼長(zhǎng)L相比為一小量，即h/r?1，h/L?1.

2)應(yīng)變?chǔ)懦浞中?，即?1.殼體的材料是彈性的，材料各向同性，并且滿足胡克定律.

3)直線法假設(shè).薄殼變形前垂直于中面的直線變形后仍為直線，且垂直于中面.z向應(yīng)變?chǔ)舲=0.

4)中面法線方向上的應(yīng)力與其他方向上的應(yīng)力相比可以忽略，即σz=0.

5)采用唐奈爾(Donnell)簡(jiǎn)化.即忽略中面位移u、v對(duì)殼體曲率改變及扭率改變的影響.w導(dǎo)數(shù)的二次方與應(yīng)變是同階量，即

6)位移u、v很小，殼體法向位移w與殼體厚度是同階量，即|u|?h，|v|?h，|w|=0(h).

2.2 基本方程

2.2.1 幾何方程

考慮初撓度的Von Karman-Donnell中面大撓度位移方程如下:

殼體中任意一點(diǎn)的應(yīng)變與中面應(yīng)變之間的關(guān)系式為

2.2.2 物理方程(本構(gòu)方程)

認(rèn)為肋骨和縱骨的變形與柱殼一致.即肋骨和縱骨的位移函數(shù)同殼體一致.

2.3 內(nèi)力和內(nèi)力矩

從潛艇外殼上取出一塊dxdy大小的單元，作用在該單元上的各內(nèi)力與內(nèi)力矩如圖2所示

圖2 內(nèi)力與內(nèi)力矩分布圖Fig.2 The forces and moments on an element

各內(nèi)力定義如下:

2.4 應(yīng)變能與外力勢(shì)能

2.4.1 潛艇外殼應(yīng)變能

艇體外殼是圓柱形殼體.所以只需推導(dǎo)圓柱形殼體的應(yīng)變能公式，就知道了艇體的變形能公式.利用彈性體應(yīng)變能的一般式子，即

在這里，如同在板的彎曲理論中一樣，由于根據(jù)在薄殼理論中所作的直法線假設(shè)，所以應(yīng)該γyz=γzx=0.此外，與應(yīng)力σx和σy相比，忽略正應(yīng)力σz的值，即取σz=0就得艇體外殼板的應(yīng)變能的表達(dá)式如下:

將式(4)、(5)代入式(13)中，并沿厚度積分得

2.4.2 縱向加強(qiáng)筋應(yīng)變能

縱向加強(qiáng)筋位置及橫剖面圖如圖3所示.

圖3 縱向加強(qiáng)筋位置及橫剖面圖Fig.3 The position and transverse section drawing of longitudinal stiffening ribs

認(rèn)為縱筋處于單向受力狀態(tài)，如果縱筋分布足夠密且大小一致，均勻分布，不考慮縱筋偏心和扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，整個(gè)艇體縱筋的應(yīng)變能可以寫(xiě)為

式中:Ix為縱筋和附連殼板慣性矩，Ax為縱筋橫截面積，b為縱向加強(qiáng)筋間距.

2.4.3 肋骨應(yīng)變能

肋骨位置及橫剖面圖如圖4所示.

認(rèn)為肋骨處于單向受力狀態(tài)，如果肋骨分布足夠密且大小一致，均勻分布，不考慮肋骨偏心和扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，整個(gè)艇體肋骨的應(yīng)變能可以寫(xiě)為

式中:Iy為肋骨和附連殼板慣性矩，Ay為肋骨橫截面積，a為肋骨間距.

圖4 肋骨位置及橫剖面圖Fig.4 The position and transverse section drawing of ribs

2.4.4 外力勢(shì)能

外力勢(shì)能Vf的表達(dá)式可以寫(xiě)為

綜上所述，艇體結(jié)構(gòu)總勢(shì)能Π(u，v，w)的表達(dá)式如下

2.5 變分法求平衡方程和協(xié)調(diào)方程

當(dāng)艇體外殼處于平衡狀態(tài)時(shí)，在滿足邊界條件的情況下，總勢(shì)能Π(u，v，w)的一階變分等于零.因此:

艇體殼板應(yīng)變能的變分:

縱筋應(yīng)變能的變分:

環(huán)肋應(yīng)變能的變分:

外力勢(shì)的變分:

幾何方程的變分:

將式(20)～(24)代入式(19)，利用高斯定理，得到

式(25)中的前一項(xiàng)是平衡條件，后一項(xiàng)是自然邊界條件.顯而易見(jiàn)，通過(guò)設(shè)置Li=0(i=1，2，3)和B=0使上式得到滿足.由此得到平衡方程:

式(26)中各力和力矩的表達(dá)式如下:

將式(6)～(11)代入式(27)，得到

其中:

由式(28)中的前3個(gè)式子得到

其中:

現(xiàn)在引入應(yīng)力函數(shù).設(shè)應(yīng)力函數(shù)為F(x，y)，且F(x，y)滿足下列關(guān)系:

變形協(xié)調(diào)方程可以通過(guò)幾何方程推導(dǎo)，利用式(29)和撓度函數(shù)，應(yīng)力函數(shù)就可以解出，具體過(guò)程如下.

根據(jù)幾何方程(3)，消去方程中的u、v項(xiàng)，并引入缺陷因子，可得到

將式(29)代入式(31)，再利用應(yīng)力函數(shù)F(x，y)，可得到

將屈曲撓度函數(shù)式(1)代入式(32)，由參考文獻(xiàn)［6，8-9］可解得

式中:p1為周向均布?jí)毫?，p2為軸向均布?jí)毫?式中各系數(shù)的表達(dá)式如下:

2.6 里茲法求臨界載荷

假設(shè)屈曲前，即前屈曲狀態(tài)，艇體外殼在均勻靜水外壓力p=q作用下處于無(wú)矩應(yīng)力狀態(tài)，那么膜應(yīng)力如下:

受損后的潛艇殼體，在靜水外壓下的總應(yīng)變能VS通過(guò)下式計(jì)算:

將式(28)、(29)代入式(35)中就得到受損殼體的總應(yīng)變能表達(dá)式如下:

利用應(yīng)力函數(shù)F(x，y)和幾何方程就可以解出上式:

其中:

根據(jù)文獻(xiàn)［7-8，10］靜水外壓力做功可以分為縱向壓縮力p1做功和橫向壓縮力p2做功，分別計(jì)算如下.

為了研究外力在殼偏離其初始平衡位置時(shí)所做的功，從殼中截取單元體來(lái)研究.單元體的邊長(zhǎng)分別為dx和dy，在其縱橫剖面上分別受壓縮力p1和p2作用，如圖5所示.

圖5 單元體上力的作用圖Fig.5 The forces on the element

1)縱向壓縮力p1所做的功:

2)橫向壓縮力P2所做的功:

將w的表達(dá)式(1)代入式(38)、(39)可得外力做功的表達(dá)式為

而依據(jù)計(jì)算所得的外力功和總應(yīng)變能VS得總能量的表達(dá)式如下

如果將f和δ均視作為未知變量.根據(jù)里茲法，將Π分別對(duì)f和δ求偏導(dǎo)數(shù):

3 實(shí)例計(jì)算

模型數(shù)據(jù)來(lái)自于文獻(xiàn)［10］，本文只將縱筋的位置調(diào)整為內(nèi)加筋.模型為縱橫加筋圓柱殼，使模型的結(jié)構(gòu)形式與單殼體潛艇耐壓殼的結(jié)構(gòu)形式一致，其尺寸如下:殼體半徑R=850 mm;殼體長(zhǎng)度L= 500 mm;殼體厚度t=4 mm;肋骨共有11根，間距L=46mm;肋骨尺寸:S1=δ×h=6 mm×21 mm= 126 mm2;縱筋位于圓柱殼內(nèi)側(cè)，共24根，沿圓周均布，間距 b=222.5 mm;縱筋尺寸，S2=δ×h= 4 mm×15 mm=60 mm2.所采用的材料常數(shù)如下:材料屈服極限均為σS=784 MPa，材料的彈性模量E=2.0×105MPa，材料的泊松比μ=0.3.

將模型數(shù)據(jù)的材料參數(shù)代入式(42)中，分別計(jì)算了f0=0，0.4，0.8，1.6，2.4，3.2 mm這6種不同初撓度下的載荷值，并繪制了載荷撓度曲線.所有計(jì)算在Mahematica5.2［11］中完成，計(jì)算結(jié)果在表1和圖6中列出.F是撓度幅值，q是載荷.

表1 初撓度幅值與上臨界載荷Table 1 Amplitude of initial deflections and the first critical loads

圖6 載荷－撓度幅值曲線Fig.6 Load-amplitude of deflection curves

4 結(jié)論

1)當(dāng)初撓度為零，單殼體潛艇耐壓殼的臨界壓力大撓度解與小撓度解一致，表明完美耐壓殼的臨界壓力可由小撓度分析得到;

2)對(duì)于結(jié)構(gòu)受損后的耐壓殼，表現(xiàn)為極值點(diǎn)屈曲，載荷隨撓度幅值增加到局部極大值后，隨著撓度幅值的增大反而減小;

3)隨著損傷程度加深，即初撓度幅值的增大，耐壓殼的臨界壓力減小，表明耐壓殼的承載能力下降;同時(shí)隨著損傷程度加深，極值點(diǎn)變得越來(lái)越不明顯，極值點(diǎn)屈曲問(wèn)題漸漸轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)度問(wèn)題.

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