一道高考試題的幾種解法

甘肅省白銀市銀光中學(xué)（730900） 裴萬(wàn)平

一道高考試題的幾種解法

甘肅省白銀市銀光中學(xué)（730900） 裴萬(wàn)平

題目 （2010年全國(guó)卷Ⅱ，39（3）） 下圖所示天然氣管道長(zhǎng)度約為（提示：sin45°≈0．71）

A．1300 km B．1800 km C．1000 km D．2100 km

參考答案：B

解析

該題要求估算天然氣管道的長(zhǎng)度，圖中卻沒有提供相應(yīng)的比例尺，顯然是在考查一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，即赤道周長(zhǎng)約為4萬(wàn)千米。由此知識(shí)點(diǎn)可以推導(dǎo)出兩個(gè)簡(jiǎn)單而又實(shí)用的結(jié)論：① 緯度相隔1°的經(jīng)線段長(zhǎng)度約為111km；② 經(jīng)度相隔1°的緯線段長(zhǎng)度約為111km· cosα（α表示緯度）。結(jié)論①或②的應(yīng)用，已成為多年來(lái)高考重點(diǎn)考查的能力之一，例如2003年的江蘇卷、2004年的北京卷、2005年的全國(guó)卷、2007年的海南卷和2009年的寧夏卷均有考查。不同于今年的是，往年的此類試題雖說(shuō)沒有“提示”，但因難度適中，一般的考生都能得分。今年的試題特意增設(shè)了“提示”，主觀上是為降低題目的難度，客觀上反而給部分考生的正常解答造成了一定的干擾，這是因?yàn)椋涸擃}最有效的解法是直接應(yīng)用結(jié)論①，不用cosα，更不用sinα，然而命題人給了“提示”，為慎重起見大部分考生不得不看、不得不想，這無(wú)形中浪費(fèi)了考場(chǎng)上寶貴的時(shí)間。另外，類似cos45°（其值等于sin45°）的特殊值應(yīng)是考生必備的數(shù)學(xué)常識(shí)，“提示”的必要性不大。從此意義上講，該題的“提示”純屬多余。

下面，談一談該題的四種解法。其中，解法一最優(yōu)，解法二次之，解法三耗時(shí)多，解法四也可用。

解法一：核心思想——應(yīng)用結(jié)論①，即“緯度相隔1°的經(jīng)線段長(zhǎng)度約為111km”。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的長(zhǎng)度約等于緯度相隔16°的經(jīng)線段長(zhǎng)度，即111km×16＝1776 km。B項(xiàng)正確。

解法二：核心思想——應(yīng)用結(jié)論②，即“經(jīng)度相隔1°的緯線段長(zhǎng)度約為111km·cosα”。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的長(zhǎng)度約等于經(jīng)度相隔23° 的45°N緯線段的長(zhǎng)度，即111km×0．71×23＝1812．63 km。B項(xiàng)正確。

解法三：核心思想——應(yīng)用結(jié)論①和②，即“緯度相隔1°的經(jīng)線段長(zhǎng)度約為111km”和“經(jīng)度相隔1°的緯線段長(zhǎng)度約為111km·cosα”。以天然氣管道的長(zhǎng)度為斜邊，在地圖上構(gòu)建（近似）直角三角形，用完整的草稿紙邊量得較短直角邊的長(zhǎng)度約等于緯度相隔5°的經(jīng)線段長(zhǎng)度，即111km×5＝555 km；同樣方法量得較長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)度約等于經(jīng)度相隔19°的45°N緯線段的長(zhǎng)度，即111km×0．71×19＝1497．39 km。通過(guò)三角公式計(jì)算得知斜邊的長(zhǎng)度約為1597 km，因天然氣管道彎曲，其實(shí)際長(zhǎng)度要大于此數(shù)，故B項(xiàng)正確。

解法四：核心思想——逆用結(jié)論①，即“經(jīng)線段的長(zhǎng)度（單位：km）除以111km約等于緯度差”。A項(xiàng)1300 km÷111km≈11．71；B項(xiàng)1800 km÷111km≈16．22；C項(xiàng)1000 km÷111km≈9；D項(xiàng)2100 km÷111km≈18．92。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的“長(zhǎng)度”約等于緯度相隔16°的經(jīng)線段長(zhǎng)度，故B項(xiàng)正確。