平均速度是瞬時(shí)速度的平均值嗎

劉雪芳 沈 飛

(灌南高級(jí)中學(xué) 江蘇連云港 222500)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形態(tài).速度是運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念之一.瞬時(shí)速度是物體在某時(shí)刻或某位置的速度.平均速度是物體在時(shí)間間隔Δt內(nèi)的平均快慢程度.這兩個(gè)概念有一定的聯(lián)系.那么平均速度是該段時(shí)間內(nèi)瞬時(shí)速度的平均值嗎?很多教師及教輔資料答案都是否定的.理由如下:

(1)與平均速度定義不符.

(2)這二者在一些較復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中數(shù)值或方向上就不相等.

真的如此嗎?筆者對(duì)此持不同看法.理由是:

(1)這不是在定義平均速度,而是對(duì)二者大小和方向作比較.

(2)瞬時(shí)速度平均值和平均速度大小相等、方向相同.

(1)物體做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí),二者顯然相等.

取以中間時(shí)刻兩側(cè)對(duì)稱(chēng)Δt時(shí)刻應(yīng)有

而

所以

(3)一般變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)利用v-t圖像證明.如圖1,設(shè)圖中曲線(xiàn)函數(shù)方程v=f(t)

圖1

圖中,t時(shí)間內(nèi)v連續(xù),圖中陰影面積即t時(shí)刻內(nèi)物體所行駛的路程 s[f(t)與時(shí)間所圍面積是陰影].則

若f(t)在[0,t]上是連續(xù)光滑曲線(xiàn),則在[0,t]上至少有一個(gè)點(diǎn),這點(diǎn)的斜率與整段曲線(xiàn)平均斜率相同.曲線(xiàn)某點(diǎn)斜率表示該點(diǎn)的瞬時(shí)速度,平均斜率就是.所以=,兩者方向也是一致的.

(4)物體做二維曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí),將運(yùn)動(dòng)正交分解為 x,y方向,由上可知

而兩者的方向也是一致的.所以在二維曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中

根據(jù)以上證明,物體三維曲線(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)中也有同樣規(guī)律.

所以,無(wú)論何種連續(xù)運(yùn)動(dòng),該段時(shí)間內(nèi)瞬時(shí)速度平均值必定等于平均速度.