角加速度邊界層觀測器設(shè)計(jì)

鄧紅星，王憲彬，劉 咔

(1.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱150040，1969dhx@163.com;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150080)

伺服控制系統(tǒng)大多以位置和速率跟蹤為目標(biāo)，經(jīng)典的PID控制在控制工程中受到了廣泛的應(yīng)用.但是，對于機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床、機(jī)械手等許多高精度伺服系統(tǒng)，存在著負(fù)載、模型參數(shù)的大范圍變化以及顯著的非線性因素，使得傳統(tǒng)的伺服控制方法難以滿足高速高精度定位和跟蹤以及低速平穩(wěn)運(yùn)行等要求.目前，盡管基于現(xiàn)代控制理論提出了多種先進(jìn)控制方法，如自適應(yīng)控制、非線性補(bǔ)償控制、智能控制等，但均因?qū)崿F(xiàn)十分復(fù)雜而很少被實(shí)際應(yīng)用.因此，如何既能實(shí)現(xiàn)相對簡單的控制方法，又能解決高速高精度和低速平穩(wěn)性問題，已成為伺服控制系統(tǒng)研究的重點(diǎn).研究表明，引入加速度反饋是解決這一問題的有效途徑.

基于加速度反饋的控制方案多用在機(jī)器人控制方面，它不僅很好地解決了系統(tǒng)對于外界擾動的抑制問題，而且能很好地克服摩擦非線性、諧振等，從而對系統(tǒng)的跟蹤精度也有很大提高，是一種強(qiáng)魯棒控制方法.但是，由于加速度信號的獲取一直是個難點(diǎn)，因而，加速度反饋沒能得到廣泛的應(yīng)用.由于加速度反饋所需的加速度計(jì)存在價格過高以及加速度計(jì)本身的限制性條件，使得直接對加速度進(jìn)行測量的代價很大，在很多場合下甚至難以使用.因而，根據(jù)光電碼盤或其他位置測量元件的信號處理技術(shù)來獲得加速度信號不失為一種很好的策略.G.Sulligoi和R.C.Kavanagh［1］提出了一種基于DSP和FPGA的CSDA測量方法，利用高精度時鐘來檢測低速時相鄰角位置輸出脈沖之間的時間間隔，試驗(yàn)表明具有一定的實(shí)用性; Toshiaki Tsuji［2］等人在M/T測速法的原理基礎(chǔ)上，提出了一種S法來測量加速度，根據(jù)角位置變化來實(shí)時同步地更新加速度值，其精度比直接差分然后低通濾波要好很多;J.D.Han［3］等人利用卡爾曼濾波與牛頓預(yù)測相結(jié)合來估計(jì)角加速度，并應(yīng)用到實(shí)際的機(jī)器人控制中，在10 Hz帶寬內(nèi)取得了很好的控制效果;Mariko Mizuochi［4］等人將倍頻采樣法運(yùn)用到基于干擾觀測器的加速度控制系統(tǒng)中，并用DSP和FPGA實(shí)現(xiàn)了這一方法，試驗(yàn)表明具有很好的控制效果;其他不同的方法諸如FIR［5］濾波以及基于觀測器理論的Luenberger觀測器［6-8］、自適應(yīng)觀測器［9-11］也分別得到了廣泛的研究.但是，這些算法多考慮線性系統(tǒng)的加速度觀測問題，動態(tài)響應(yīng)性能不夠理想［12］.

本文以光電編碼器角位置傳感器輸出的離散信號作為角加速度觀測器的輸入信號，考慮機(jī)電系統(tǒng)內(nèi)部Stribeck摩擦、負(fù)載變化及外部擾動等非線性確定因素的影響，基于滑模控制的思想，提出一種邊界層觀測器設(shè)計(jì)方法，提高角加速度的觀測性能，并給出相應(yīng)的觀測器動態(tài)性能分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

1 邊界層觀測器結(jié)構(gòu)

圖1 永磁同步電機(jī)系統(tǒng)方框圖

角加速度觀測器原理是通過綜合測得的反饋信號和被控對象模型的知識，利用一定的控制原理來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，能更精確地認(rèn)知被控對象的特性，并給系統(tǒng)控制律提供反饋信號.常規(guī)的Luenberger觀測器針對線性系統(tǒng)具有很好的觀測性能，但對于非線性伺服系統(tǒng)，Luenberger觀測器對于外擾的觀測收斂速度過于緩慢，缺乏對參數(shù)攝動的自適應(yīng)能力，因而有必要研究非線性觀測器.

1.1 對象模型

本文以交流永磁同步電機(jī)系統(tǒng)作為研究對象，其結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.其中，u為計(jì)算機(jī)發(fā)出的模擬電壓指令，Ku為電機(jī)驅(qū)動器的等效增益，KT為電機(jī)的力矩系數(shù)，Ke為電機(jī)的反電勢系數(shù)，Kp分別為電流回路控制器的增益系數(shù)，J為電機(jī)及負(fù)載的總慣量，L為等效電感，r為電機(jī)繞組的等效電阻.摩擦力矩、負(fù)載變化以及電機(jī)的波動力矩均可看成包含在擾動力矩Tl內(nèi).

系統(tǒng)輸入u到角位置輸出θ的開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

式中:R=r+Kp為系統(tǒng)等效電阻，K0=KuKp/Ke為系統(tǒng)開環(huán)等效增益，Tm=RJ/KTKe和Te=L/R分別為機(jī)械時間常數(shù)和電氣時間常數(shù).

1.2 觀測器結(jié)構(gòu)

基于1.1小節(jié)中的伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際系統(tǒng)相比，沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定因素，如不同負(fù)載條件下轉(zhuǎn)動慣量J的變化，不同運(yùn)行條件下電機(jī)驅(qū)動器等效增益的變化Ku等，也沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)中存在的摩擦或飽和非線性特性以及系統(tǒng)運(yùn)行過程中電壓波動、風(fēng)擾等外部擾動因素的影響.

假設(shè)被控對象的所有參數(shù)不確定性、非線性和外擾均可用總擾動Tl表示，忽略電機(jī)系統(tǒng)的電氣時間常數(shù)，則被控對象模型可用二階系統(tǒng)來表示，因而，可得到用微分方程描述的被控對象的標(biāo)稱模型:

式中:θ為測量的角位置，u為控制輸入，τ0和k0分別為實(shí)際對象的標(biāo)稱機(jī)械時間常數(shù)和等效增益.

本文將滑模控制與邊界層觀測器理論將結(jié)合，研究角加速度觀測器的設(shè)計(jì)問題.

結(jié)合式(1)，若以實(shí)際角位置θ和控制輸入u作為觀測器的輸入，以觀測的角加速度作為輸出，則邊界層觀測器可用如下方程描述:

式中:^θ為觀測器的角位置輸出，uc為觀測器的控制輸入.如果^θ能完全跟蹤系統(tǒng)的真實(shí)角位置θ，比較式(1)和(2)，則有

由此可見，若uc能理想地觀測系統(tǒng)中所有參數(shù)不確定性、非線性和外部擾動，則^θ可以很好地跟蹤系統(tǒng)的真實(shí)角位置θ，從而得到理想的角加速度輸出值，此時，uc的設(shè)計(jì)尤為重要.

本節(jié)將基于滑?？刂扑枷雭碓O(shè)計(jì)uc.由于滑模控制具有迅速響應(yīng)，對參數(shù)變化及擾動不靈敏等特點(diǎn)，因而根據(jù)標(biāo)稱模型建立起來的邊界層觀測器，即使實(shí)際系統(tǒng)存在較大不確定性或外部擾動，觀測器也能根據(jù)角位置誤差的變化及時地調(diào)整控制量uc，使得^θ快速地跟蹤系統(tǒng)的真實(shí)角位置θ，從而獲得期望的角加速度估計(jì)值.

邊界層觀測器的結(jié)構(gòu)如圖2中虛線框所示，其中，u和θ分別為實(shí)際系統(tǒng)的控制輸入和測量角位置，G(s)表示實(shí)際系統(tǒng)，G0(s)為實(shí)際系統(tǒng)的模型表示，e=θ-^θ為角位置觀測誤差，^a為角加速度的觀測值.滑?？刂朴糜谠诰€估計(jì)擾動力矩Tl，其輸入為角位置觀測誤差e，輸出為控制量uc.

圖2 邊界層觀測器結(jié)構(gòu)

2 觀測器的設(shè)計(jì)

基于滑?？刂频挠^測器的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于如何確定觀測器的輸入控制量，本節(jié)重點(diǎn)闡述控制量uc的確定方法和觀測器的動態(tài)分析.

2.1 控制量的確定

邊界層觀測器的設(shè)計(jì)主要在于設(shè)計(jì)控制量uc，為了得到控制輸入uc，令

將邊界層觀測器(2)表示為狀態(tài)空間形式，有

令

則式(3)可寫成更一般的形式

定義如下的滑模面函數(shù):

式中:θ為測量的角位置，λ為一正常數(shù).當(dāng)觀測器的狀態(tài)向量到達(dá)滑模面σ=0后將在滑模面內(nèi)滑動，此時系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)由滑模面的參數(shù)λ決定，而與系統(tǒng)參數(shù)、擾動的影響無關(guān)，從而實(shí)現(xiàn)不變性.

若令

則滑模面函數(shù)可寫成

觀測器設(shè)計(jì)的目的是使觀測器的狀態(tài)滿足σ=0.為了使觀測器的狀態(tài)能從任意初始位置到達(dá)滑模面，采用常數(shù)趨近律

定義Lyapunov函數(shù)

則對于任意非零σ，均有

上式表明，在任意初始位置均能保證σ→0.根據(jù)上述趨近律，可得誤差微分方程

可以看出，觀測器的暫態(tài)由極點(diǎn)-λ，-D決定.由滑模面函數(shù)(4)和趨近律(5)可得

令

考慮到實(shí)際系統(tǒng)采用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)邊界層觀測器，將上式應(yīng)用Euler近似可得

式中:T為采樣時間，k為正整數(shù).進(jìn)一步變換，有

式(8)表明，為得到第k步的控制量，需要k+1時刻的σ((k+1)T)值，這對于實(shí)際物理系統(tǒng)顯然是無法實(shí)現(xiàn)的.

考慮到ueq是一個連續(xù)函數(shù)，則認(rèn)為ueq的當(dāng)前值近似等于前一時刻的值，即

再由式(7)的Euler近似表達(dá)式可得到控制量uc的離散化表示

其中:離散滑模面函數(shù)σk表示為

令ek=θk-^θk，從而得到觀測器的控制輸入為

2.2 角加速度觀測器的性能分析

2.2.1 動態(tài)性能分析

由式(6)可見，邊界層觀測器的暫態(tài)性能由極點(diǎn)-λ，-D決定，D選取過大，實(shí)際系統(tǒng)將因慣性等原因在滑模面高頻穿越，而D選取過小，觀測器趨近于系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的調(diào)節(jié)時間過長，不能實(shí)現(xiàn)快速跟蹤.

2.2.2 穩(wěn)定態(tài)精度分析

由于在計(jì)算離散控制律時，采用了Euler近似法，因而式(2)近似的結(jié)果必然會帶來跟蹤誤差，即σ必將偏離期望的滑模面σ=0，首先分析因采用Euler近似計(jì)算對角加速度估計(jì)誤差的影響.將式(7)進(jìn)行積分可得到

應(yīng)用Euler積分，式(10)可表示為

式中:O(T2)為Euler積分引入的積分誤差，與式(9)聯(lián)立可得

由式(11)可見，穩(wěn)態(tài)誤差取決于采樣時間T的選擇.

2.2.3 收斂區(qū)間分析

由于 ˙xr與f均為有界平滑函數(shù)，若令

則有

同樣可以證明，在采樣時刻

仍然有

當(dāng)｜σk｜＞O(T2)，則有

式(12)表明，σk總是收斂到滑模面σ=0領(lǐng)域內(nèi)的一個邊界層內(nèi)，這個邊界層厚度的數(shù)量級為O(T2)，而式(13)表明，σk一旦到達(dá)這個邊界層，它將總是保持在這個邊界層內(nèi).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

考慮圖1所示的機(jī)電系統(tǒng)，其摩擦力矩約為10 N·m，摩擦力采用Stribeck模型，在系統(tǒng)開環(huán)情況下，角加速度觀測器輸出的角加速度與系統(tǒng)的真實(shí)加速度做如下兩組對比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分析中，取λ=500，D=500，T=0.1 ms.

3.1 帶有摩擦非線性的角加速度信號觀測結(jié)果

圖1所示的機(jī)電系統(tǒng)以頻率1 Hz，幅值350 (°)/s2做角加速度正弦運(yùn)動時，角加速度信號受摩擦等擾動力矩的影響，在峰值附近發(fā)生突變，角加速度信號觀測結(jié)果如圖3所示.圖3中，實(shí)線為真實(shí)角加速度，虛線為觀測角加速度，圖4為圖3的局部放大.

圖3 含有摩擦?xí)r的角加速度觀測響應(yīng)

圖4 角速度過零時的角加速度觀測

可以看出，邊界層觀測器對加速度的觀測能力很好，在摩擦力占主導(dǎo)成分的零速階段，觀測器有一定的超調(diào)和振蕩，但是很快趨于穩(wěn)定，相比于傳統(tǒng)的角加速度觀測方法，邊界層觀測器的觀測結(jié)果動態(tài)特性好，跟蹤精度高.

3.2 帶有負(fù)載變化的角加速度信號觀測

圖1所示的機(jī)電系統(tǒng)做頻率為15 Hz的正弦運(yùn)動，邊界層觀測器在10 kg負(fù)載條件下的角加速度信號觀測結(jié)果如圖5所示，當(dāng)負(fù)載增大到10倍(100 kg)時，角加速度信號觀測結(jié)果如圖6所示.由結(jié)果可以看出，即使對于負(fù)載變化很大的系統(tǒng)，邊界層觀測器仍然具有良好的跟蹤性能和觀測精度.這正是由于邊界層觀測器利用了滑模控制的不變性，實(shí)現(xiàn)了邊界層觀測器良好的觀測性能.

圖5 標(biāo)稱負(fù)載下角加速度信號觀測結(jié)果

圖6 角載變化時角加速度信號觀測結(jié)果

4 結(jié)論

1)針對角加速度反饋所需的角加速度信號，提出了基于滑?？刂频慕羌铀俣冗吔鐚佑^測器設(shè)計(jì)方法.

2)基于滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的邊界層觀測器具有很好的動態(tài)觀測性能和魯棒性，觀測誤差處于期望滑模面的一個很小的邊界層內(nèi).

3)本文提出的觀測器算法簡單，適合應(yīng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，具有很好的實(shí)用性，為實(shí)現(xiàn)角加速度反饋控制提供了有力的基礎(chǔ).

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