反求工程過程中基于NUBRS理論的輪廓光滑處理

張學(xué)棟，孫 寧

（桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004）

反求工程中的重構(gòu)過程，是首先利用可靠的實驗方法測量出實體體數(shù)據(jù)場，有質(zhì)量分布的坐標(biāo)位置數(shù)值取1，沒有質(zhì)量分布的坐標(biāo)位置數(shù)值取0。其次，用體素填充數(shù)值為1的坐標(biāo)位置，用這種堆積的方法，構(gòu)造出實體的粗糙模型。最后，用曲面構(gòu)造技術(shù)光滑實體的輪廓表面，使構(gòu)造的實體最終模型最大程度地再現(xiàn)實體原形。目前，反求工程的難點(diǎn)和研究重點(diǎn)，就在于實體輪廓的光滑處理。本文著重闡述了利用目前國際最流行的基于非均勻有理B樣條理論的蒙皮法構(gòu)造曲面的過程。

1 三維實體體數(shù)據(jù)場的獲得

任何一個三維空間，都可以離散成有限的單元體集合，這些單元體的信息集合，稱作三維體數(shù)據(jù)場。該數(shù)據(jù)通常是三維離散數(shù)據(jù)，一般稱為體數(shù)據(jù)。對于形狀規(guī)則的、可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的實體，體數(shù)據(jù)來源可以用科學(xué)計算，借助于計算機(jī)軟件來生成。對于形狀不規(guī)則的、無法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的實體，體數(shù)據(jù)的獲得就只能用測量的方法。在反求工程中，大部分的體數(shù)據(jù)都需要用測量的方法來獲得。本實驗組利用以專利《一種測量三維為體輪廓的設(shè)備和方法》為理論基礎(chǔ)的獨(dú)創(chuàng)的三維測量裝置，即基于浮力的測量系統(tǒng)來獲得體數(shù)據(jù)。體數(shù)據(jù)在邏輯上被組織成一個三維的數(shù)組空間（如圖1所示），每一個數(shù)組成員存儲一個單元體信息，叫做體素（Voxel），每個體素都由層號、行號和列號數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)成。

圖1 體元素示意圖

2 以立方體為體素重構(gòu)實體

以立方體體素作為積木塊，用空間位置枚舉法來構(gòu)造實體。用VB.NET語言編寫程序[3]，調(diào)用Solidworks2007 API函數(shù)進(jìn)行二次開發(fā)，來實現(xiàn)三維實體重構(gòu)[1]。圖2所示分別為重構(gòu)的球體、圓錐體和三個半球槽[5]。

圖2 球、圓錐和三個半球槽的重構(gòu)示意圖

3 光滑處理

由圖2可見，由立方體體素構(gòu)建的實體輪廓表面并不光滑，因此必須對實體輪廓表面進(jìn)行光滑處理。

3.1 曲面構(gòu)造法的比較

3.1.1 逆向反求工程中的曲面重構(gòu)方法

曲面構(gòu)造法的方法研究，一直是受到廣泛重視的內(nèi)容。通過測量數(shù)據(jù)建立產(chǎn)品表面模型或?qū)嶓w模型的方法有很多，根據(jù)不同的應(yīng)用對象和應(yīng)用場合，有不同的處理手段。按曲面模型的表達(dá)形式分類，逆向反求工程中的曲面重構(gòu)方法大致可分為：

（1）三角Bezier曲面為基礎(chǔ)的三邊域曲面構(gòu)造方案。三角區(qū)面以其構(gòu)造靈活、邊界適應(yīng)性好及不受拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的限制的特點(diǎn)，在散亂點(diǎn)數(shù)據(jù)的曲面插值上起著重要作用。但絕大多數(shù)的CAD/CAM系統(tǒng)采用的是拓?fù)渚匦吻妫虼擞萌怯虻那嬷亟ǚ椒ㄅc一般的曲面造型模塊難以做到方法學(xué)上的統(tǒng)一，從而兩者不兼容。

（2）以多面體方式來描述曲面物體。由于整個過程是自動進(jìn)行的，使用較為簡單方便，但其表達(dá)形式不為大多數(shù)CAD軟件所支持，在此基礎(chǔ)上，生成NURBS表面，才能進(jìn)行后續(xù)處理。另外，這種方法不能精確地表示二次規(guī)則曲線曲面（如球體、圓柱等）。

（3）以B樣條或NURBS曲面為基礎(chǔ)的四邊域曲面構(gòu)造方案矩形域參數(shù)曲面擬合。矩形域參數(shù)曲面擬合方法，一直是曲面擬合方面的研究重點(diǎn)，應(yīng)用對象主要是由復(fù)雜曲面組成的產(chǎn)品，如汽車、飛機(jī)、船舶等，這類產(chǎn)品既不是完全由簡單二次曲面組成，也不像人臉那樣毫無規(guī)律而言。矩形域曲面重構(gòu)直接處理的數(shù)據(jù)是柵格數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)在空間拓?fù)湫问綖榫匦?。常用的曲面?gòu)造有Bezier、B樣條(B-Spline)、NURBS等方法。其中，許多的研究成果己在CAD軟件中廣泛應(yīng)用。

在逆向工程中，型值點(diǎn)數(shù)據(jù)(三維數(shù)據(jù))具有大規(guī)模的特點(diǎn)，其B樣條曲面的擬合有其自身特點(diǎn)。在B樣條曲面擬合中，需研究的首要問題，是單一矩形域內(nèi)曲面的散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲面擬合問題。在眾多的研究中，Weiyin M和J P Kruth的工作較具代表性。他們首先根據(jù)邊界構(gòu)造一個初始曲面，然后將型值點(diǎn)投影到這個初始曲面上，接著根據(jù)投影位置算出其參數(shù)分布，從而解決散亂數(shù)據(jù)的參數(shù)分配問題。根據(jù)這一型值點(diǎn)參數(shù)分配擬合出一張新的NURBS曲面，然后再對型值點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使所擬合曲面離給定型值點(diǎn)誤差最小。

3.1.2 矩形域參數(shù)曲面擬合的曲面重構(gòu)方法

本研究的數(shù)據(jù)具有分層均勻規(guī)則特點(diǎn)，經(jīng)過處理提取的邊界體數(shù)據(jù)，仍然具有這一特點(diǎn)。綜合分析三種曲面重構(gòu)方法，結(jié)合本文處理的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選擇矩形域參數(shù)曲面擬合方法。

矩形域參數(shù)曲面擬合方法的曲面重構(gòu)主要有兩種方法：

（1）先將測量點(diǎn)擬合成曲線，在通過曲面造型的方式，將曲線構(gòu)建成曲面片；

（2）直接對測量數(shù)據(jù)擬合，生成曲面片，最終經(jīng)過曲面的過渡、拼接和裁剪等曲面編輯操作，完成曲面模型的構(gòu)建。

方法（1）以Solidworks軟件中放樣生成曲面為典型代表；方法（2）以UG中的點(diǎn)云擬合曲面為典型代表。本課題使用Solidworks三維設(shè)計軟件作為開發(fā)平臺，結(jié)合數(shù)據(jù)本身特點(diǎn)，選用方法（1）作為曲面構(gòu)建方法。

3.2 NUBRS曲線和曲面[2]

曲線是構(gòu)建曲面的基礎(chǔ)，在逆向工程中，一種常用的模型重構(gòu)，就是先將數(shù)據(jù)點(diǎn)通過插值或逼近擬合成樣條曲線，再利用CAD造型工具如sweep、blend、lofting、四邊曲面boundary等，完成曲面或曲面片造型。

NURBS用作計算，可以被計算機(jī)容易地處理，浮點(diǎn)錯誤相對穩(wěn)定，對內(nèi)存的需求相對較小，并且可以表示任何曲線和曲面.它是基于有理貝齊爾曲線的非有理B樣條方法的推廣。

非均勻有理B樣條曲線定義為

式中，di為控制點(diǎn)；wi為權(quán)因子；Bi,k(u)(i=0，1，2…n)為K階K-1次非均勻B樣條。

該樣條的基函數(shù)由下列遞推公式給出

式中，節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0+u1，…um]（m=n+k）；對于非周期的B樣條，節(jié)點(diǎn)矢量兩端去k重節(jié)點(diǎn)，即u0=u1=…=uk-1；um-k+1=um-k+2=…=um，以便曲線保持NURBS曲線的端點(diǎn)。

由于NURBS（Non-Uniform Rational B-spline即非均勻有理B樣條）具有的各種優(yōu)越性，它成為了STEP標(biāo)準(zhǔn)中制定的自由曲線曲面的唯一表示標(biāo)準(zhǔn)，為CAGD（Computer Aided Geometric Design計算機(jī)輔助設(shè)計）提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述方法，并且在曲面造型中得到廣泛的應(yīng)用，成為目前CAD軟件中描述產(chǎn)品幾何形狀的通用方法。

NURBS的曲面表達(dá)式如下：

其中，沿u向和v向的節(jié)點(diǎn)矢量的節(jié)點(diǎn)數(shù)，分別為（r+1）和（s+1）（r=n+k，s=m+l）。

3.3 薄層輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)的提取與處理

曲線的構(gòu)建十分重要，它是曲面構(gòu)造的前提。構(gòu)造曲線需要型值點(diǎn)，因此首先必須進(jìn)行輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)提取。

對于單獨(dú)一層薄片來說，每個體素就是一個正方體，從圖3可以發(fā)現(xiàn)，薄層邊緣輪廓點(diǎn)最多只有3個實孔單元體素與其相鄰，內(nèi)部點(diǎn)必然有4個實孔單元體素與其相鄰，所以可以通過檢測該層所有體素頂點(diǎn)的重合度，提取出截面輪廓點(diǎn)。

圖3 邊緣輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)的提取

利用插值法對提取的輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。曲線插值法擬合曲線，就是令曲線通過所有測量點(diǎn)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)，是插值點(diǎn)的擬合誤差為0，且不需要構(gòu)造新的數(shù)據(jù)點(diǎn)來進(jìn)行擬和，減小了數(shù)據(jù)量處理和因引入和刪減數(shù)據(jù)帶來的誤差。一般在插值之前，要先去掉測量壞點(diǎn)，這也就是在數(shù)據(jù)處理時數(shù)據(jù)簡化的目的所在[4]。插值法擬合曲線的流程圖如圖4。

圖4 插值法擬合流程

4 曲面蒙皮構(gòu)造NURBS曲面

蒙皮是傳統(tǒng)的曲面生成領(lǐng)域中的常用方法，曲面的插值不再是通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)陣，而是直接通過一簇曲線。其主要任務(wù)，是通過一組有序的稱為截面曲線的空間曲線擬合的一張曲面，可形象地看成給一簇截面曲線構(gòu)成的骨架蒙上一張光滑的皮。

用常規(guī)的NURBS插值方法進(jìn)行曲面重構(gòu)，需要求解大型的線性方程組，且重構(gòu)曲面只能過插值點(diǎn)，計算復(fù)雜且存在不穩(wěn)定現(xiàn)象。采用NURBS蒙皮技術(shù)，則可以通過所有的截面曲線（截形線），且將曲面擬合問題轉(zhuǎn)化為兩步曲線的擬合或插值問題，比較穩(wěn)定，適合于截面數(shù)據(jù)構(gòu)造曲面。

本課題研究中，根據(jù)Solid works曲線、曲面造型的特點(diǎn)，提出了利用角度對應(yīng)引導(dǎo)線消除截面線對應(yīng)型值點(diǎn)不對應(yīng)產(chǎn)生的扭曲現(xiàn)象，角度對應(yīng)引導(dǎo)線用3D樣條曲線繪制，構(gòu)建方法如下：

（1）先根據(jù)式（5），算出每一層的重心坐標(biāo)；

（2）建立過以重心坐標(biāo)橫坐標(biāo)為X軸、縱坐標(biāo)為Y坐標(biāo)的新坐標(biāo)系。對于NURBS曲線同樣進(jìn)行坐標(biāo)變換。對于每一層形成的NURBS曲線在新坐標(biāo)系內(nèi)，構(gòu)造通過新原點(diǎn)（重心）的角度射線，必然會與之相交，這樣可以求得交點(diǎn)。其中可以根據(jù)情況，選定射線每次轉(zhuǎn)動角度。

（3）將每一層得到的對應(yīng)角度的交點(diǎn)統(tǒng)一起來，這樣可以避免出現(xiàn)扭曲現(xiàn)象。

（4）將求得的交點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為初始坐標(biāo)系內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

（5）求得的有序型值點(diǎn)方陣，為要求曲面的型值點(diǎn)，求出對應(yīng)控制頂點(diǎn)方陣，即可滿足型值點(diǎn)一一對應(yīng)如圖5(a)所示。

圖5 角度引導(dǎo)線

利用Solidworks中3D草圖繪制功能構(gòu)造的對應(yīng)的型值點(diǎn)連線，作為構(gòu)造曲面的角度對應(yīng)引導(dǎo)線。利用角度引導(dǎo)線，控制調(diào)整截面線起點(diǎn)（如圖5a），生成圓柱體曲面（如圖5b）可以消除曲面扭曲失真現(xiàn)象。

圖6為圖1重構(gòu)實體經(jīng)過蒙皮后的結(jié)果。

圖6 光滑處理后的實體圖形

5 誤差分析

首先對圓錐斑馬條紋，選取球形影射，對原始理想曲面、無引導(dǎo)線曲面、采用角度引導(dǎo)線的曲面分別進(jìn)行條紋演示（如圖7所示）。圖7 a為理想模型斑馬條文圖，圖7 b為未采用引導(dǎo)線重構(gòu)模型斑馬條文圖，圖7 c為采用4條引導(dǎo)線重構(gòu)模型斑馬條文圖。從圖中可以看出，采用引導(dǎo)線后，曲面斑馬條文紊亂有所改善，說明采用引導(dǎo)線重構(gòu)曲面光順程度提高。

圖7 斑馬條紋圖

剖切理想實體和構(gòu)造實體，對得到的截面輪廓進(jìn)行誤差分析。本節(jié)以實心圓錐體為例，通過三種剖切面即過中心線斑馬條文紊亂區(qū)域主剖、過中心線斑馬條文規(guī)則區(qū)域主剖、平行于底平面的底剖進(jìn)行誤差分析。

平行于底面剖切誤差分析方法：作平行于底面的平面剖切模型，在模型剖切截面上，以理論中心為直線端點(diǎn)，每10°繪制一條直線與截面輪廓線相交求取交點(diǎn)，利用測量模塊測量每一個交點(diǎn)與理論中心點(diǎn)之間的距離并記錄。通過與對理想模型進(jìn)行同樣剖切獲得的理想標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)相減，得出平行于底面剖切截面誤差（如圖8）。圖中繪制了第20層和第30層兩個截面誤差圖，從圖中可以看出，截面最大誤差約0.6 mm。

圖8 平行于底面剖切誤差圖

過中心軸線剖切的誤差分析方法：作過中心軸線的平面剖切模型，在剖切截面上，平行于底面繪制平行線，間距1 mm，求取平行線與截面輪廓的交點(diǎn)，測量每個點(diǎn)并記錄，與理想模型值進(jìn)行誤差分析。

由圖8可見，圓錐表面粗在斑馬條文紊亂區(qū)域和相對規(guī)則區(qū)域，所以分別沿斑馬條紊亂區(qū)域和相對規(guī)則區(qū)域，進(jìn)行剖切誤差分析（如圖9）。從圖9可以看出，斑馬條文相對規(guī)則區(qū)域誤差明顯小于紊亂區(qū)域。

圖9 過軸線剖切誤差圖

6 結(jié)束語

本文首先給出了由立方體體素重構(gòu)的實體示例，接著介紹了目前流行的曲面構(gòu)造方法和構(gòu)造技術(shù)，采取適合本文的四邊域NURBS法。在構(gòu)造曲線之前，對于數(shù)據(jù)層進(jìn)行輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)提取。接著詳細(xì)介紹了NURBS曲線插值方法，采用均勻參數(shù)法構(gòu)造曲線。傳統(tǒng)蒙皮法可能出現(xiàn)層間數(shù)據(jù)點(diǎn)不對應(yīng)、甚至曲面扭曲的現(xiàn)象，提出了角度對應(yīng)引導(dǎo)線生成，來消除這方面對實體構(gòu)造的影響。通過描述曲面編輯各種功能，選取了合適的功能來實現(xiàn)實體表面用曲面來代替，使得實體更加接近理想實體模型，最后給出了曲面蒙皮后的實體示例和誤差分析。

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