爆炸膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理方法討論＊

湯鐵鋼，桂毓林，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟波物理國防科技重點實驗室，四川 綿陽621900）

1 引 言

爆炸膨脹環(huán)實驗是在1維應力狀態(tài)假定下研究材料高應變率拉伸加載時的動態(tài)性能，包括本構關系和斷裂特性，長期以來，爆炸膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)的處理一直困擾著研究者們。P.C.Johnson 等［1］、C.R.Hoggatt等［2］運用爆炸膨脹環(huán)實驗技術測試了許多工程材料的本構關系數(shù)據(jù)，當時只能測量膨脹環(huán)的位移歷史，數(shù)據(jù)處理時需要對膨脹環(huán)的位移歷史進行2次微分，數(shù)據(jù)精度一直困擾著實驗數(shù)據(jù)的可用性。直到R.H.Warnes等［3］利用激光速度干涉儀（VISAR）直接測量了爆炸膨脹環(huán)的徑向膨脹速度，克服了求流動應力時位移關于時間2次微分的困難。在數(shù)據(jù)處理時，R.H.Warnes等對速度歷史曲線采用2次關系式進行了擬合，然后進行微分計算加速度。R.H.Warnes等同時指出，采用更高階的關系式進行擬合，可以對速度進行更好地近似擬合，但是求解出的應力應變關系卻令人費解；他們還指出，其他的一些光滑數(shù)據(jù)的方法也沒有得到實驗檢驗。F.Llorca等［4］通過數(shù)值模擬對膨脹環(huán)實驗中速度歷史的處理進行了分析，嘗試直接對測試獲得的離散速度數(shù)據(jù)進行處理，結(jié)果獲得的流動應力應變關系曲線振蕩非常劇烈，而采用線性和2項關系式擬合后，得到的流動應力應變關系與SCG 模型結(jié)果比較接近。

本文中，嘗試采用不同的數(shù)據(jù)處理方法對爆炸膨脹環(huán)實驗獲得的速度曲線進行處理，討論數(shù)據(jù)窗口選取對處理結(jié)果的影響，同時對數(shù)據(jù)處理方法中存在的一些問題進行分析。

2 膨脹環(huán)運動分析

對于自由飛行階段的膨脹環(huán)，膨脹環(huán)中的徑向應力很小，近似看作零，因此膨脹環(huán)僅在環(huán)向應力作用下作減速運動，如圖1所示，取其中一環(huán)向單元建立運動方程

金屬環(huán)在自由膨脹期間徑向應力為零，得到周向應力的運動方程

式中：r0為膨脹環(huán)初始半徑。將式（4）對時間t求導數(shù)，得

圖1 膨脹環(huán)運動分析示意圖Fig.1 Movement analysis of an expanding ring

3 膨脹環(huán)速度曲線

3.1 速度歷史特征及數(shù)據(jù)窗口的選取

在爆炸膨脹環(huán)實驗中，采用激光干涉技術可以獲得膨脹環(huán)的徑向速度歷史，以1 發(fā)無氧銅膨脹環(huán)實驗結(jié)果為例進行說明，速度歷史如圖2所示。從速度歷史可以看出，膨脹環(huán)具有較長一段自由膨脹過程，即速度歷史上的B 段，通常稱之為有用數(shù)據(jù)窗口，A 段為沖擊加載及應力波在膨脹環(huán)壁內(nèi)的反射階段，C 段為膨脹環(huán)發(fā)生了失穩(wěn)或者斷裂階段，對于處理膨脹環(huán)材料的應力－應變－應變率關系，A 段和C 段均為無用數(shù)據(jù)。為了揭示數(shù)據(jù)處理方法對結(jié)果的影響，本文中選取的這條速度曲線的B 段的斜率不單調(diào)變化。

圖2 膨脹環(huán)速度歷史及數(shù)據(jù)窗口選取Fig.2 Radial velocoty－time history of the expanding ring and the selection of data windows

如何合理地選取數(shù)據(jù)窗口B 段，是數(shù)據(jù)處理的前提。對于此發(fā)實驗，通過回收樣品測量確定膨脹環(huán)的斷裂應變約0.14，對應的斷裂時間約50μs，顯然，數(shù)據(jù)窗口的選取只能在50μs之前。從速度歷史上看（見圖2），在42～50μs之間速度有些振蕩，數(shù)據(jù)是否可用需要討論。為了更好地檢驗數(shù)據(jù)處理方法，擬在速度曲線上選取大部分區(qū)域重合的3個數(shù)據(jù)窗口，分別記為窗口1、窗口2、窗口3，如圖2所示。窗口1對應時間12～42μs，認為是最理想的數(shù)據(jù)窗口，窗口2對應時間10～42μs，窗口3對應時間10～50μs。從速度曲線看，窗口2相對窗口1沒有明顯的趨勢變化，而窗口3中的后8μs速度趨勢有明顯變化。

3.2 數(shù)據(jù)擬合

在速度曲線上對選取的窗口數(shù)據(jù)截取后進行數(shù)據(jù)擬合，分別進行線性關系式、2次關系式、3次關系式擬合，擬合后進行微分求解加速度。線性關系式、2次關系式、3次關系式的表達式分別為

對于窗口1～3中的數(shù)據(jù)采用以上3種關系式進行擬合，求解應力時，首先要對擬合的速度公式進行求導得到加速度，所有關系式中的常數(shù)項a 求導后消失。線性擬合時，加速度（即速度斜率）為常數(shù)b，2次關系式擬合時，加速度為時間的線性函數(shù)，3次關系式擬合時，加速度為時間的2次函數(shù)。

4 數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

4.1 擬合方法對數(shù)據(jù)處理結(jié)果的影響

采用3種擬合關系式對實驗數(shù)據(jù)進行處理，首先對圖2 中窗口1（12～42 μs）數(shù)據(jù)進行處理，獲得的應力應變關系見圖3。線性擬合關系式獲得的應力應變關系也基本上呈線性關系，2 次關系式擬合時獲得的應力應變關系與線性擬合在所選的數(shù)據(jù)窗口中較接近，而采用3次關系式擬合時，應力應變關系呈現(xiàn)為上凹的曲線。

4.2 數(shù)據(jù)窗口選取對結(jié)果的影響

對于測試獲得的含有一定噪聲且離散的速度數(shù)據(jù)，很難準確界定有效數(shù)據(jù)窗口的邊界，因此，數(shù)據(jù)窗口的選取存在一定的人為性。通過改變數(shù)據(jù)窗口的寬度，來討論數(shù)據(jù)窗口對應力應變關系的影響。

首先采用線性關系式和2次關系式擬合對3個窗口數(shù)據(jù)進行處理，獲得的應力應變關系如圖4所示。采用線性擬合時，窗口寬度的改變直接影響速度的斜率（常數(shù)），即直接影響應力的幅值，因此獲得應力應變關系為3條相互平行的直線（實際上是與位移線性相關的曲線），其中窗口1和窗口2的結(jié)果比較接近，而窗口3的結(jié)果偏離稍大。采用2次關系式擬合時，窗口1、窗口2數(shù)據(jù)處理獲得的應力應變關系表現(xiàn)為略有下凹的曲線，而窗口3數(shù)據(jù)處理獲得的應力應變關系卻為明顯的上凹曲線，尤其是后半段與前2個數(shù)據(jù)窗口結(jié)果偏離較大，這與原始速度數(shù)據(jù)的后期振蕩是相關的。

采用3次關系式擬合對3個窗口數(shù)據(jù)進行處理，獲得的應力應變關系如圖5所示。對于3個不同的數(shù)據(jù)窗口，采用3次關系式擬合處理結(jié)果均為明顯的上凹曲線，數(shù)據(jù)窗口的選取對于3次關系式擬合處理結(jié)果的影響不及低階關系式明顯，但是處理出的應力應變關系卻不同于一般的拉伸應力應變關系曲線特征。

圖3 窗口1數(shù)據(jù)3種擬合方法處理結(jié)果Fig.3 Processing results of data window 1by three fitting expressions

圖4 3個數(shù)據(jù)窗口線性擬合及2次關系式擬合處理結(jié)果Fig.4 Processing results of three different data windows

4.3 分析討論

從應力計算表達式看，采用線性擬合時，加速度為常數(shù)，應力與位移（或應變）成線性增長關系，反映了材料的應變硬化效應。實際上，由公式（5）可知，隨著位移的增加，膨脹環(huán)的拉伸應變率下降。如果考慮材料的應變率效應，材料中的應力也應該隨著應變率的降低而降低，線性擬合不能反映材料的應變率效應。因此，對于應變率敏感的材料，線性擬合是不合適的。

以上研究發(fā)現(xiàn)，對于膨脹環(huán)速度曲線上人為選取的任何窗口數(shù)據(jù)，3次關系式擬合都是上凹曲線，說明高階關系式雖然能較好擬合膨脹環(huán)的速度歷史。但由此處理得到的應力應變關系卻與物理規(guī)律似乎背離，本文中推測R.H.Warnes等［3］在數(shù)據(jù)處理時可能也出現(xiàn)類似問題，即他所說的令人費解的原因。這到底是原始速度數(shù)據(jù)的問題，還是數(shù)據(jù)處理方法的問題，需要更進一步的分析。

圖5 3個數(shù)據(jù)窗口3次關系式擬合處理結(jié)果Fig.5 Processing results of three different data windows by trinomial fitting

圖6 5種不同擬合關系式對窗口1數(shù)據(jù)的處理結(jié)果Fig.6 Processing results of data window 1by five different fitting expressions

在不能明顯判斷數(shù)據(jù)是否可用的條件下，隨著窗口數(shù)據(jù)的增加（即增加窗口的時間長度），2次關系式擬合處理結(jié)果也出現(xiàn)了明顯的偏離，如圖4中的窗口3數(shù)據(jù)結(jié)果。到底是數(shù)據(jù)處理方法的問題還是數(shù)據(jù)窗口選取的問題呢？本文中嘗試了另幾種多次關系式，如

以及他們的組合關系式，對速度窗口中的數(shù)據(jù)進行擬合處理。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在窗口1中，多種關系式擬合結(jié)果基本一致，見圖6，當最高次不大于2時，得到的結(jié)果偏差相對較小，而最高次項大于2時，獲得應力應變關系為上凹曲線，從形式上可能偏離了物理規(guī)律。而對窗口2和窗口3中數(shù)據(jù)進行非線性擬合處理得到的應力應變關系均出現(xiàn)不同程度的發(fā)散，由此看來，數(shù)據(jù)窗口的準確選取是采用擬合方法進行膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理的基礎。

5 數(shù)據(jù)光滑與差分方法

在膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理時為什么總是先對速度歷史進行擬合呢？主要原因是測試的速度歷史是離散的數(shù)據(jù)，而且測試的速度數(shù)據(jù)包含了噪聲，速度曲線本身不光滑，直接差分求解加速度會帶來極大的偏差。實際上，目前對于數(shù)據(jù)的光滑技術已經(jīng)很成熟了，可以先對速度數(shù)據(jù)進行光滑，然后直接進行差分求解加速度。理論上講，直接進行求解，能更好地反映每個時刻速度與應力的對應關系。另一個好處是，直接差分計算對窗口選取的依賴性較弱，因為差分方法可以計算出瞬時加速度，只依賴于瞬時的速度數(shù)據(jù)，不再需要擬合關系式。但由于膨脹環(huán)實驗是在1維應力假定條件下進行的，數(shù)據(jù)處理時仍熱需要確定合理的數(shù)據(jù)窗口，以確保所選取的膨脹環(huán)拉伸過程滿足1維應力狀態(tài)。

為了更好地澄清3次擬合關系式處理結(jié)果形式上異常的原因，采用Mathcad中的樣條函數(shù)對速度曲線進行高階光滑，然后進行直接差分計算，處理得到的應力應變關系與擬合關系式處理結(jié)果同列于圖7中。令人驚奇的是，在窗口1中，3次關系式擬合處理結(jié)果與直接差分計算結(jié)果吻合很好。

由此看來，采用高階關系式擬合進行處理時，出現(xiàn)結(jié)果異常的原因并非數(shù)據(jù)處理方法的問題，主要原因是來自原始數(shù)據(jù)的測試精度。采用VISAR 進行速度測試時，是典型的點測試，對于環(huán)向尺寸較大的膨脹環(huán)，VISAR 探頭對準的任意一點，有可能是頸縮、斷裂等現(xiàn)象發(fā)生的點，獲得的速度歷史就不能反映膨脹環(huán)的均勻膨脹過程。因此，在膨脹環(huán)實驗中，速度測試最好是多點，采用平均速度進行數(shù)據(jù)處理會提高數(shù)據(jù)精度，單點速度測試會給數(shù)據(jù)處理結(jié)果帶來很大的不確定性。

圖7 直接差分方法與擬合方法處理結(jié)果的比較Fig.7Comparison of results by the fitting methods and the direct difference method

6 結(jié) 論

（1）對于爆炸膨脹環(huán)實驗，速度數(shù)據(jù)窗口的合理選取是進行數(shù)據(jù)處理的前提，數(shù)據(jù)窗口的選取既要避開前期由于加載引起的速度振蕩，也要避開后期由于膨脹環(huán)發(fā)生頸縮、斷裂引起的速度振蕩；

（2）速度曲線在數(shù)據(jù)窗口內(nèi)斜率單調(diào)變化時，可以采用低階關系式擬合進行處理，擬合關系式不超過2階時，處理結(jié)果會比較接近；

（3）采用數(shù)據(jù)光滑技術和差分方法相結(jié)合的數(shù)據(jù)處理方法，能較好地反映速度歷史和瞬時應力的對應關系，但同時要求速度測試具有較高的精度；同時澄清了在數(shù)據(jù)處理時采用高階關系式擬合出現(xiàn)異常現(xiàn)象的原因是速度點測試方法帶來的。

［1］ Johnson P C，Stein B A，Davis R S.Measurement of dynamic plastic flow properties under uniform stress［C］∥Symposium on the Dynamic Behavior of Materials.1963：195－198.

［2］ Hoggatt C R，Recht R F.Stress－strain data obtained at high rates using an expanding ring［J］.Experimental Mechanics，1969，9（10）：441－448.

［3］ Warnes R H，Duffey T A，Karpp R R，et.al.An improved technique for determining dynamic material properties using the expanding ring［C］∥Meyers M A，Murr L E.Shock Waves and High－strain－rate Phenomena in Metals.New York：Plenum Press，1981：23－36.

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