電磁兼容領(lǐng)域的數(shù)值分析方法及其有效性驗證

丁永平，王添文，王洪亮

（1.中國兵器工業(yè)新技術(shù)推廣研究所，北京 100089；2.中國船舶重工集團公司第703研究所，哈爾濱 150036）

隨著電子信息科學(xué)的飛速發(fā)展，電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，所用器件的集成度、功率等級越來越高。這些變化給系統(tǒng)內(nèi)部以及系統(tǒng)間的電磁兼容性（Electromagnetic Compatible，EMC）帶來了許多問題[1]。為了解決這一系列問題，需要在系統(tǒng)設(shè)計的初期考慮電磁兼容方面的需求。

電磁兼容領(lǐng)域的數(shù)值分析方法可以幫助設(shè)計者建立起系統(tǒng)、設(shè)備或器件的數(shù)學(xué)模型，并通過仿真的方法，在設(shè)計初期就對電磁兼容性進行規(guī)劃和設(shè)計。其實質(zhì)是針對現(xiàn)實中的電磁兼容問題，運用某種或幾種數(shù)學(xué)方法，在麥克斯韋方程的基礎(chǔ)上，建立該實際問題的數(shù)學(xué)模型，并通過對模型解析解或數(shù)值解的求解來解決實際問題的一門交叉學(xué)科。

1 電磁場數(shù)值方法可以解決的問題

電磁兼容領(lǐng)域內(nèi)的數(shù)值分析方法可以解決的問題包括以下幾類。

1）基礎(chǔ)問題的研究，主要包括輻射場的分布、傳播特性、材料的屏蔽效能以及場線耦合問題等。

2）PCB 板級問題的研究，主要包括信號完整性及電磁輻射問題。

3）系統(tǒng)級電磁兼容問題，主要是針對如汽車、飛機等大型系統(tǒng)進行整體建模，并對其綜合電磁兼容特性進行分析、改進。

4）標準測試的建模及仿真，是利用數(shù)值分析的方法對各種電磁兼容標準測試過程進行建模，在計算機內(nèi)對系統(tǒng)或設(shè)備進行預(yù)測試仿真，其優(yōu)點是節(jié)約設(shè)計成本，縮短設(shè)計時間。

5）電磁生態(tài)效應(yīng)的研究，主要研究生物在電磁環(huán)境內(nèi)所受的影響，目前主要研究的熱點是手提電話和電磁爐對人體的影響。

2 常用的數(shù)值分析方法

2.1 矩量法（MoM法）

矩量法是由R.F.Harrington 于1968 年在“Field Computation by Moment Methods”中提出的[2]。它所面對的問題主要有：天線設(shè)計、微波網(wǎng)絡(luò)、生物電磁學(xué)、PCB 板上的輻射效應(yīng)及微帶線研究等問題。其核心思想是由自由空間格林函數(shù)的積分形式得到任意源激勵，產(chǎn)生表面電流分布，進而得到電磁場的分布特性。

對于某個系統(tǒng)可以列出：

式中：L 為線性算子；g 為源函數(shù)；I 為未知的電流分布表達式。

再將整個系統(tǒng)根據(jù)一定的規(guī)則劃分為N個小區(qū)域，則其表面電流分布的表達式就可以表示為：

式中：αn為待定參數(shù)。

同樣地，將源函數(shù)g劃分為N個小區(qū)域（微元）。

式中：βm為待定參數(shù)；Tm為小區(qū)域上的核函數(shù)。對于式（2）中的每一個小區(qū)域電流分布表達式，又可以看成是由被劃分后的源函數(shù)的每一個微元作用疊加的效果。即：

式中：lmn為待定系數(shù)。將式（2），（3），（4）整理得到：

這樣就將求解電磁場激勵下的電流分布問題轉(zhuǎn)換為求解矩陣逆的問題，在得到電流分布后就可以很容易地算出電磁場分布。

矩量法在解決無邊界輻射問題、“細線”問題和均勻電介質(zhì)問題時表現(xiàn)得尤為突出。近年來矩量法還被應(yīng)用于解決復(fù)雜的電大尺寸問題中。MLFMA（the multilevel fast multipole algorithm），ACA（the adaptive cross approximation algorithm），SVD（singular value decomposition technique）等算法也應(yīng)運而生，降低了對CPU運算能力和內(nèi)存的需求。矩量法還可以與解析方法(analytical methods)、傳輸線矩陣方法相結(jié)合解決屏蔽效能問題和線纜輻射與受擾問題。另外矩量法還可以與有限元法相結(jié)合解決非均勻材料結(jié)構(gòu)的感應(yīng)電流問題。

2.2 時域有限差分法（FDTD法）

時域有限差分法是由Yee KS 于1966 年在“Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell equation in isotropic media”中提出的[3]。它所面對的問題主要有：傳輸線波導(dǎo)的傳輸、天線的接收檢測和輻射、耦合屏蔽和透入效應(yīng)、散射和逆散射、開關(guān)過渡過程等。這種方法最大的特點是適合分析瞬態(tài)響應(yīng)問題，特別是具有復(fù)雜幾何形狀和復(fù)雜環(huán)境的情形，但缺點是不適合分析低頻問題[4]。其核心思想是建立在微分方程基礎(chǔ)上的。如圖1 所示，首先將空間按立方體分割，電磁場的6個分量在空間的取樣點分別放在立方體的邊沿和表面中心點上，電場與磁場分量在任何方向始終相差半個網(wǎng)格步長。在時間上，Yee 也把電場分量與磁場分量差半個步長取樣。使得利用一階導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似從Maxwell 方程獲得的FDTD 公式。

圖1 電場和磁場在空間和時間上的離散Fig. 1 Interleaving of E and H fields in space and time in the FDTD formulation

Maxwell旋度方程為：

式中：H，E分別為磁場和電場分量；D為電通密度；B為磁通密度；J為體電流密度。直角坐標系中，式（7）可以寫為：

式中：Hx，Hy，Hz，Ex，Ey，Ez分別為對應(yīng)方向上的磁場和電場分量；σ，μ分別為介質(zhì)電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率；ε為介電常數(shù)。

令f（x，y，z，t）代表E和H在直角坐標中的某一分量，i，j，k，n分別表示x軸、y軸、z軸以及時間軸的單位方向向量。在時間和空間中的離散取以下符號表示：

對于f（x，y，z，t）關(guān)于時間、空間的一階偏導(dǎo)數(shù)取中心差分近似，即

帶入式（8）和（9）中，經(jīng)推導(dǎo)整理得到

式中：CA（m），CB（m）均為相應(yīng)的常數(shù)項[4]；Hx，Hy，Hz，Ex，Ey，Ez分別為對應(yīng)方向上的磁場和電場分量。同樣地，可以推導(dǎo)出的表達式。如果知道了初始條件和邊界條件，就可以由遞推公式得到空間任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁場分布。

時域有限差分法未來發(fā)展方向主要有：時域有限差分法的穩(wěn)定性、精確性、誤差、網(wǎng)格效應(yīng)；進一步發(fā)展邊界吸收條件完全的匹配層（PML）；與熱仿真、電路仿真、半導(dǎo)體器件仿真結(jié)合解決更多問題；與矩量法、有限元法結(jié)合的混合算法等。

2.3 有限元法（FEM法）

有限元法是1969 年由Silveter 在“Finite element solution of homogeneous waveguide problems”將其推廣應(yīng)用于時諧電磁場問題的[5]。它所面對的問題主要有：波導(dǎo)設(shè)計、微型芯片設(shè)計、半導(dǎo)體器件設(shè)計、屏蔽效能分析、生物體對電磁能量的吸收等。其核心思想是將一個復(fù)雜連續(xù)介質(zhì)的求解區(qū)域分解為有限個形狀簡單的子區(qū)域，作為原區(qū)域的等效域，從而把求解連續(xù)體的場變量問題化簡為求解有限個單元節(jié)點上的場變量值問題。

選擇空間四面體為單位結(jié)構(gòu)，如圖2所示。在此單元內(nèi)，φe表示任意未知函數(shù)，它能夠近似為：

式中：ae，be，ce，de均為常數(shù)，e為未知變量。

可以證明，差值函數(shù)具有如下性質(zhì)：

圖2 有限元法四面體單位結(jié)構(gòu)Fig.2 Tetrahedron unit structure used in FEM

在利用變分原理和離散化方法建立了有限元矩陣方程后，就面臨著以結(jié)點值為未知數(shù)的矩陣方程的求解。將方程寫為：

式中：A，b 均為由已知向量組成的矩陣；x 為待求的分布函數(shù)矩陣。當上式右端的已知激勵矩陣b不為零時，為了確定方程的解，一般利用各種等效方法對矩陣A 求逆，其中最適用于有限元方法矩陣的是分解法。

有限元法未來發(fā)展方向主要有：通過設(shè)置時域終止邊界或與矩量法相結(jié)合將有限元法應(yīng)用于對輻射問題和散射問題的研究當中。

2.4 傳輸線矩陣法（MTL法）

傳輸線矩陣法是由P.B.Johns 和R.L.Beurle 于1968 年在“Numerical solutions of 2-dimensional scattering problems using a transmission-line matrix”中提出的[6]。它所面對的問題主要有：波導(dǎo)不連續(xù)性、散射問題、信號完整性設(shè)計、電纜特性問題分析、天線輻射原理。其核心思想是建立在電磁波傳遞特性與傳輸線中電壓、電流傳播特性相似性的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，現(xiàn)在已經(jīng)被推廣到了空間問題中。

當僅考慮一維傳輸線時，集總參數(shù)模型的等效電路如圖3所示。根據(jù)基爾霍夫電壓、電流定律，可以得到：

式中：V，I分別為電路中的電壓和電流；z為位置坐標；t為時間坐標；l，c分別為分布的電感和電容參數(shù)。經(jīng)過整理、去耦，可以得到：

公式（19）即為傳輸線法中常用的電報方程。

圖3 傳輸線集總參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameters model of transmission line

如圖4所示，將這一思想推廣到三維空間中，空間的每個節(jié)點由6個方向的小傳輸線段組成，每個方向上的傳輸線用相互垂直的2個電壓分量來描述[7]。在每個計算周期內(nèi)有12個電壓變化，產(chǎn)生12個反射電壓。而這一組反射電壓又稱為臨近網(wǎng)格的激勵電壓，周而復(fù)始地重復(fù)這一過程，就可以模擬電磁波在空間中傳播的過程。在建模時需要注意，每個網(wǎng)格劃分最大尺寸是所關(guān)心最高頻率波長的1/10。其過程可以用公式描述：

式中Vi是激勵電壓矩陣；Vr是反射電壓矩陣；S是散射矩陣；C是連接矩陣。

傳輸線矩陣法發(fā)展方向主要集中在模型的改進方面，許多人提出了包含信息更多的SCN 模型。為降低對內(nèi)存的需求提出的ATLM，ARTLM 是2 種最新的方法。

圖4 對稱濃縮節(jié)點Fig.4 Symmetrical condensed node（SCN）

2.5 局部元等效法（PEEC法）

局部元等效法是由A.Ruehli于1974年在“Equivalent circuit models for three-dimensional multiconductor systems”中提出的[8]。它所面對的問題主要有：互聯(lián)機構(gòu)和封裝器件的電磁兼容分析、PCB 板級的各種結(jié)構(gòu)仿真問題。其核心思想是將求解麥克斯韋問題轉(zhuǎn)換成求解電路的支路電流和節(jié)點電位問題。經(jīng)過等效以后，可以運用電路的知識來分析電磁場問題，一旦矩陣參數(shù)被確定，便可以通過求解等效的電流分布和電位分布，提供麥克斯韋方程的全波解決方案。

根據(jù)電磁學(xué)理論，電荷密度為ρ，電流密度為J的源在空間任意一點產(chǎn)生的電場強度可以表示為：

式中：σ為導(dǎo)體電導(dǎo)率；r為位置矢量；A和Φ分別為矢量磁位和標量電位。

K個導(dǎo)體系統(tǒng)中：

式中：K（r，r′） 為積分核函數(shù)

將式（22），（23）代入式（21）中推導(dǎo)、整理。得到：

通過觀察可以看出式（24）中第1 項相當于電阻項，第2 項相當于電感項，第3 項相當于常數(shù)項。則可以寫成如下形式：

這樣就將電磁場的問題等效成為電路的問題。

3 驗證數(shù)值分析模型有效性的方法

隨著各種數(shù)值分析方法在電磁兼容領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用不斷增加，如何驗證數(shù)值分析模型的有效性就成為一個值得關(guān)心的問題[9]。針對這一問題，提出幾種驗證數(shù)值分析模型有效性的方法。

3.1 通過實驗方法驗證

實驗是最常用的一種驗證方法，采用這種方法時，首先要注意實驗的各種參數(shù)設(shè)置應(yīng)與仿真保持一致。其次，需要在仿真過程中考慮實際測量時的各種限制，比如仿真時觀測點探頭的輸入阻抗應(yīng)與測試設(shè)備相同。當用到天線時，仿真用的是一個近乎完美的天線，而測量用到的實際天線的各種參數(shù)會隨著頻率和方位的變化而變化。最后，應(yīng)注意實驗本身的準確性，在普通環(huán)境下做的測試，其準確性通常不夠。即使是在一些商業(yè)的電磁兼容專業(yè)實驗室中測試得到的結(jié)果通常也會有±6 dB的誤差。產(chǎn)生誤差的因素很多，主要是測量設(shè)備自身的誤差、測試電纜敷設(shè)的方式、天線因數(shù)的變化、實驗室墻面反射系數(shù)的變化等。

在某些情況下，必須考慮到測試環(huán)境的精度問題。當測試數(shù)據(jù)與仿真結(jié)論不符時，應(yīng)該考慮到是否為測量結(jié)果不準確，不應(yīng)該完全相信測量結(jié)果而判定仿真結(jié)果錯誤。

3.2 通過多種仿真技術(shù)驗證

另一種流行的驗證方式就是通過2 種或2 種以上不同的數(shù)值分析方法來對同一個電磁兼容問題進行建模[10]。同樣需要注意，對于每種建模方法要保證各種參數(shù)設(shè)置是相同的，這樣的比較才是有效的。前面提到的數(shù)值分析的方法在采用的時候，要盡量選取機理差異較大的兩種進行對比，通常FDTD，F(xiàn)EM，TLM 方法被認為是與體積相關(guān)的分析方法，而MoM，PEEC 法被認為是與表面相關(guān)的分析方法。在驗證時，最好從每一類中都選取一個來進行對比。這樣的選取方法要比使用多種基于相同機理的仿真軟件來驗證的方法得到的結(jié)論更為可信。

3.3 通過中間結(jié)論驗證

數(shù)值分析方法提供了比較直觀的中間結(jié)論，比如空間電場、磁場的分布情況，導(dǎo)體表面電流的分布情況等等。這些結(jié)論不能通過實驗的方法觀察到，但可以很好地幫助驗證模型的有效性。在MoM 法和PEEC 法中的穩(wěn)態(tài)電流分布就是一個非常重要的中間結(jié)論。其中一個結(jié)論是，在兩個連續(xù)微元內(nèi)電流是否有突變，在導(dǎo)線的末端電流是否為零，電流的流向是否正確等等，這些都可以幫助判斷模型的正確性。另一個重要的中間結(jié)論是，在用FDTD 法，PEEC 法，TLM 法時電磁場的特性，是否在通過屏蔽層時明顯減弱，是否與理論分析的分布情況一致，也都是判定模型有效性的有力依據(jù)。

3.4 通過標準問題和定量問題驗證

所謂標準問題和定量問題是指那些已經(jīng)被實驗和仿真論證過，具有定量結(jié)論的標準化問題，比如一些半波偶極子的輻射問題等。在采用一種新的數(shù)值分析方法時，可以先針對這些已經(jīng)有結(jié)論的標準問題、定量問題進行建模和仿真，用仿真得到的數(shù)值或波形與已有的結(jié)論進行對比，從而也可以驗證這種新型數(shù)值分析方法的有效性。

3.5 通過收斂性和參數(shù)變化特性驗證

收斂性是指采用FDTD法、MoM法、FEM法時需要對分析域進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格的大小一般是所關(guān)心最高頻率波長的1/10。但這種劃分方法往往不夠，需要進一步縮小網(wǎng)格的尺寸，如果得到的結(jié)論出現(xiàn)錯誤或不收斂，則說明模型是無效的。如果不具備更強的計算能力，則應(yīng)考慮采取其它驗證方法。

在建模過程中往往包含一些比較重要的參數(shù)，通過這些參數(shù)的改變，相應(yīng)的仿真結(jié)論會有所變化。這樣就可以改變這些參數(shù)，然后運用理論分析和以往經(jīng)驗對仿真結(jié)果的變化趨勢進行判斷，如果結(jié)論與判斷不同則說明仿真模型也是無效的。

4 結(jié)論

1）介紹了電磁兼容領(lǐng)域內(nèi)的數(shù)值分析方法可以解決的問題有基礎(chǔ)理論的研究、PCB 板級問題的研究、系統(tǒng)級電磁兼容的研究、標準測試的建模及仿真以及電磁生態(tài)效應(yīng)的研究。

2）介紹了包括矩量法、時域有限差分法、有限元法、傳輸線矩陣法、局部元等效法等幾種常用的數(shù)值分析方法，分析了各種方法的適用范圍和核心思想。

3）對如何驗證數(shù)值分析方法有效性進行了分析，提出了通過實驗、多種仿真技術(shù)、中間結(jié)論、標準問題和定量問題以及收斂性和參數(shù)變化特性等5種靈活、有效的驗證方法。

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