新型超聲變幅桿的優(yōu)化設(shè)計

謹亞輝,軋 剛

(太原理工大學機械工程學院,山西太原 030024)

超聲加工裝置一般由超聲發(fā)生器、換能器、變幅桿和工具頭組成。在超聲振動系統(tǒng)工作過程中,由超聲換能器輻射面所產(chǎn)生的振幅較小,只有幾微米,而超聲加工所需要的振幅大約為幾十至幾百微米,這就需要通過變幅桿的放大與聚能作用將機械振動質(zhì)點的位移量和運動速度放大,并將超聲能量集中在較小的面積上。超聲變幅桿的性能主要是由變幅桿的共振長度 L、放大系數(shù) M P、形狀因數(shù) φ、位移節(jié)點 x、輸入力阻抗Z等參數(shù)加以描述的[1]。變幅桿的合理設(shè)計必須既能滿足以上各性能要求,保證超聲波加工,又能滿足變幅桿材料的強度要求。傳統(tǒng)的超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計主要依據(jù)解析法,從經(jīng)典理論出發(fā),建立其動力學微分方程,根據(jù)邊界條件確定其解。隨著有限元理論的完善和相關(guān)應(yīng)用軟件的發(fā)展,根據(jù)ANSYS有限元分析軟件可對變幅桿進行模態(tài)振動分析及諧響應(yīng)分析,并在此基礎(chǔ)上進行優(yōu)化,設(shè)計出一種優(yōu)于傳統(tǒng)形狀的新型變幅桿。

1 變幅桿的動力學分析

變幅桿的優(yōu)化分析過程是建立在動力學分析基礎(chǔ)上的。通過對變幅桿進行模態(tài)分析,找到在系統(tǒng)激振頻率范圍內(nèi)的固有頻率,然后,在該頻率下對變幅桿進行諧響應(yīng)分析,得出變幅桿自由端面的振幅、位移節(jié)點和最大等效應(yīng)力,從而計算出放大系數(shù)M P、形狀因數(shù)等性能參數(shù)。其中放大系數(shù)是指變幅桿工作在共振頻率時,輸入端與輸出端的質(zhì)點位移或速度的比值;形狀因數(shù)φ是衡量變幅桿所能達到的最大振動速度的指標之一,它僅與變幅桿的幾何形狀有關(guān),φ值越大,通過變幅桿所能達到的最大振動速度也越大。輸入力阻抗Z定義為輸入端策動力與質(zhì)點振動速度的復數(shù)比值。然后再根據(jù)各性能參數(shù)不同特點來作為優(yōu)化設(shè)計中的設(shè)計變量,狀態(tài)變量或目標函數(shù)。

1.1 變幅桿的建模過程

變幅桿為半波長圓截面桿,工作頻率為 15 kHz,大端直徑D1=70 mm,小端直徑D2=25 mm,材料為45鋼,表1是45鋼的材料參數(shù)。

表1 45鋼的材料參數(shù)

變幅桿是軸對稱的回轉(zhuǎn)體,所以可用二維軸對稱模型來求解,建模采取由點到線再到面,橫截面母線由6點插值3次樣條曲線構(gòu)成,插值點按順序隨機選取,其他點用直線連接。點的坐標初值要以變量的形式定義,以便于分析時軸向橫截面母線形狀的變化,達到對變幅桿形狀的優(yōu)化。各點初始坐標定義見表2。

表2 模型初始點的坐標

在表 2中,點1、點 2為變幅桿大端兩端點,是固定值;點7、點8為變幅桿小端兩端點,縱坐標是固定值;L為變幅桿諧振長度,為設(shè)計變量,同時定義為變幅桿小端處兩端點的橫坐標,點2～點7為變幅桿母線上的6個插值點[2]。

模型采用Plane82單元,此單元是Plane42單元的高階單元,采用3次插值函數(shù),無附加位移函數(shù)項,可用于平面應(yīng)力,平面應(yīng)變和軸對稱問題的分析,位于XY平面內(nèi),且軸對稱分析時 Y軸為對稱軸[3]。網(wǎng)格采用自由式方法劃分,便于模型改變后網(wǎng)格的自動延伸。初始模型如圖1所示。

1.2 變幅桿的模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析

模型建好后先對其進行模態(tài)分析,設(shè)置模態(tài)提取方法為Block lanczos法,指定模態(tài)提取的頻率范圍為10～20 kHz,待提取的模態(tài)個數(shù)為5,邊界條件為模型兩端自由,進行模態(tài)分析。

圖1 6點插值樣條變幅桿有限元初始模型

模態(tài)分析求解后,參數(shù)化提取初始模型的諧振頻率f=14 697Hz。然后進行諧響應(yīng)分析[4],采用Full法,在變幅桿大端所有節(jié)點上施加 Y方向頻率為f=14 697 Hz,激振位移幅值為0.005 mm的按正弦變化的周期載荷,求解后參數(shù)化提取模型各端面產(chǎn)生的周期位移響應(yīng)與應(yīng)力分布?？色@得模型大端輸入振幅為 δ1=0.5×10-5m,小端輸出振幅為δ2=-0.16×10-4m,從而可得到振幅放大比的倒數(shù) F(X)=｜δ1｜/｜δ2｜,這里之所以得到放大比的倒數(shù),是因為在下面的優(yōu)化設(shè)計中要將它作為目標函數(shù),而目標函數(shù)是要盡量小的數(shù)值。此外,還可得到模型的最大工作應(yīng)力為 σ=54.7 MPa,并得如下公式[5]:

式中:ρc是變幅桿的特性力阻抗;ζ是變幅桿中的最大質(zhì)點振動速度,σ是桿中的最大應(yīng)力。

變幅桿中各質(zhì)點振動是按正弦規(guī)律變化的簡諧振動,其位移函數(shù)表達式為:

式中:A、φ、ω分別稱為振幅、初相位、圓頻率。

簡諧振動的速度函數(shù)就是位移函數(shù)關(guān)于時間 t的一階導,對上式求導數(shù)得:

2 變幅桿的優(yōu)化過程和結(jié)果分析

2.1 變幅桿的優(yōu)化過程

(5)指定零階優(yōu)化方法,零階方法在ANSYS的優(yōu)化設(shè)計模塊中是最基本和常用的方法,可有效處理絕大多數(shù)工程問題。

(6)進行優(yōu)化分析[6]。

2.2 變幅桿的優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化分析后可獲得設(shè)計序列結(jié)果和后處理(圖2),從而得到變幅桿最優(yōu)形狀與諧振長度(圖3)。

圖2 優(yōu)化設(shè)計數(shù)據(jù)

圖3 優(yōu)化設(shè)計圖

由圖2和圖3可得到變幅桿的各性能參數(shù):諧振長度為L=198.26mm;位移節(jié)點y位于離大端距離79.5 mm處;固有頻率為14 937 Hz;形狀因數(shù)φ=1.002 5;最大應(yīng)力 σ=386.1 MPa;放大系數(shù)為MP=1/f=17。

然后將二維軸對稱模型擴展成完整的三維模型,再對其進行模態(tài)分析得到固有頻率為14 956 Hz,與二維軸對稱模型結(jié)果基本相同;諧響應(yīng)分析得到模型在頻率14 956 Hz下的位移響應(yīng)云圖4和應(yīng)力響應(yīng)云圖5。

圖4 位移響應(yīng)云圖

圖5 應(yīng)力響應(yīng)云圖

由圖4和5可看出,振幅放大系數(shù)、最大應(yīng)力及形狀因數(shù)等性能參數(shù)與二位模型優(yōu)化分析結(jié)果基本相同,這也驗證了用二維軸對稱模型來代替軸對稱實體模型進行有限元分析的正確性。

3 多點優(yōu)化進行驗證

以上是通過對變幅桿母線進行6點插值樣條曲線進行的優(yōu)化設(shè)計,為了驗證其正確性,下面分別對9點插值和11點插值樣條曲線進行優(yōu)化。初始模型分別如圖6、圖7所示。

按之前的建模加載優(yōu)化步驟進行優(yōu)化后,得到的圖形都與圖2結(jié)果基本相同。由此可得到:當樣條插值點逐漸增多時,優(yōu)化后的變幅桿都將收斂于同一形狀與諧振長度。

圖6 9點插值樣條變幅桿有限元初始模型

圖7 11點插值樣條變幅桿有限元初始模型

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)形狀變幅桿中階梯型變幅桿放大系數(shù)較大但形狀因數(shù)很小(一般都小于1),而圓錐形變幅桿形狀因數(shù)較大放大系數(shù)卻很小的原因,本文通過以3次樣條曲線作為變幅桿軸截面的母線形狀,采用二維軸對稱建模的方式,在有限元動力學分析基礎(chǔ)上利用優(yōu)化設(shè)計的方法,優(yōu)化出了一種既有較好形狀因數(shù)又有很大放大系數(shù)的新型變幅桿,并通過9點插值、11點插值的形式對6點插值進行了驗證,證明了此方法的正確性,為提高超聲加工效率提供了一種新的思路與方法。

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[3] 王新敏.ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[M].北京:人民交通出版社,2007.

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