衛(wèi)星和飛船跟蹤測控的數(shù)學(xué)模型

張海基，蔡逢演，葉惠城，陳燕燕

(廣州科技貿(mào)易職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣東 廣州 511442）

1 問題分析

本文討論的問題是2009年“高教社”杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽C題.

衛(wèi)星按運行狀況可分為同步衛(wèi)星與非同步衛(wèi)星，而同步衛(wèi)星又分為同步靜止衛(wèi)星、傾斜軌道衛(wèi)星和極地軌道同步衛(wèi)星.對于問題一，要讓測控站所在平面與衛(wèi)星軌道共面，且衛(wèi)星只能在赤道上空運行，只有同步軌道靜止衛(wèi)星符合條件.如果該衛(wèi)星為非同步衛(wèi)星，那該衛(wèi)星距離地球表面的高度處于一個范圍值，即在圍繞地球運行的最小高度與最大高度之間.

對于問題二，在地球自轉(zhuǎn)的影響下，衛(wèi)星運行過程中星下點軌跡在地球表面形成一些“8”字型的軌跡，對稱地分布在赤道兩邊.考慮到衛(wèi)星星下點軌跡的密集程度問題，對于星下點軌跡圈數(shù)較少的衛(wèi)星，可根據(jù)其相應(yīng)的軌跡進行分析求解；由于測控站在衛(wèi)星軌道面的測控區(qū)域是個圓形，因此對于星下點軌跡圈數(shù)較多較密的衛(wèi)星，利用測控區(qū)域的圓內(nèi)接正方形來覆蓋整個衛(wèi)星軌道面，從而計算出全程監(jiān)控所需的最少的測控站的個數(shù).

在不影響求解的前提下，為了簡化問題，提出以下模型假設(shè)：(1) 衛(wèi)星的運行軌道為圓形；(2) 地球是一個球體；(3) 不考慮對衛(wèi)星或飛船的發(fā)射和降落的監(jiān)控；(4) 忽略外界對研究對象的影響(如其他天體對衛(wèi)星的萬有引力等)；(5) 衛(wèi)星運行方向和地球自轉(zhuǎn)方向相同；(6) 衛(wèi)星的運行角速度 地球自轉(zhuǎn)角速度.

2 模型建立和求解

2.1 問題一的求解

圖1

由于測控設(shè)備只能觀測到所在點切平面以上的區(qū)域，且在與地平面夾角3°的范圍內(nèi)測控效果不好，因此，除去與地平面夾角3°內(nèi)的范圍，考慮實際測控范圍與衛(wèi)星軌道面的相交圓，利用每個相交圓的直徑在地心所對的圓心角2θ(即∠AOE，如圖1所示)，即可計算出全程監(jiān)控所需的最少的測控站個數(shù).

如圖1所示，點O為地心，圓D為測控站實際測控范圍與衛(wèi)星軌道面的相交圓，地球半徑為R，圓D的半徑為r，衛(wèi)星距離地面的距離為h，切線BF落在平面AOE上，B為切點.因此，在平面AOE上，r=(R+h)sinθ，∠ABF=3°，測控角度∠ABE=174°.在ΔOAB中，有∠ABO=93°，由正弦定理得由三角形內(nèi)角和定理得所以測控站個數(shù)

從上述模型看出，測控站的個數(shù)與衛(wèi)星距離地面的高度有關(guān).在一定條件下，隨著衛(wèi)星距離地面高度的增大，測控站的個數(shù)會隨之減少.

由于人造衛(wèi)星離地面的最低高度介于100～110 km之間，所以將衛(wèi)星距離地球表面的最低高度為100 km代入表達式可求出測控站個數(shù)為24個；當衛(wèi)星距離地面高度越來越大時，衛(wèi)星測控站個數(shù)越來越少.設(shè)衛(wèi)星在離地球一定遠處剛好脫離地球引力向外運行，此時衛(wèi)星的高度趨向無窮大，由測控站個數(shù)的表達式可得至少需要3個測控站才可以全程監(jiān)控衛(wèi)星；當衛(wèi)星達到同步軌道靜止衛(wèi)星的高度時，其運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期一樣，衛(wèi)星與地球相對靜止，此時只需要1個測控站就可以進行全程跟蹤測控.

2.2 問題二的求解

由于一個衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，而且地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，因此，對衛(wèi)星在地球表面的星下點軌跡進行分析.

(1) 當衛(wèi)星運行角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同時，衛(wèi)星沿運行軌道運行一圈后星下點軌跡又回到起點.星下點軌跡見圖2(相繼兩圈的經(jīng)度無變化，不合題意).

(2) 當衛(wèi)星運行角速度是地球自轉(zhuǎn)角速度的兩倍時，衛(wèi)星沿運行軌道運行兩圈后星下點軌跡回到起點.星下點軌跡見圖3.

(3) 當衛(wèi)星運行角速度是地球自轉(zhuǎn)角速度的三倍時，衛(wèi)星沿運行軌道運行三圈星下點軌跡回到起點.星下點軌跡見圖4.

圖2

圖3

圖4

(4) 衛(wèi)星運行角速度越大，衛(wèi)星在地球表面上留下的星下點軌跡越密，從而形成了如圖5所示的星下點軌跡.

圖5 衛(wèi)星星座的地面軌跡

由以上圖形觀察和分析可以得出：星下點軌跡均勻地分布在赤道的兩邊，即南緯α與北緯α之間.因此，在衛(wèi)星或飛船的星下點軌跡較為簡單的情況下可沿著星下點軌跡設(shè)立測控站(如上述(2)、(3)的情形)；對于一般情況，特別是衛(wèi)星或飛船的星下點軌跡較密時(如情形(5))，只需測控南緯α與北緯α之間的區(qū)域，就可以實現(xiàn)對該衛(wèi)星的全程測控.

在實際測控范圍與衛(wèi)星軌道面的相交圓D中取圓內(nèi)接正方形(如圖4)，并用內(nèi)接正方形覆蓋所要測控的區(qū)域(如圖4、圖5).首先根據(jù)軌道面與赤道面的夾角α以及每個內(nèi)接正方形邊長在地心所對的圓心角2β，可求出測控區(qū)域中正方形的行數(shù)j，如圖6所示；其次，根據(jù)每一行正方形覆蓋的軌道面的圓周長即可確定每一行所需的正方形的個數(shù)i，從而計算出全程監(jiān)控所需的測控站的最少個數(shù)如圖7所示.求解過程如下：

(1) 計算正方形的邊長在地心所對的圓心角為2β.如圖8，過D作DC⊥AC，則有如圖9，連接OD(點O為地心，D為實際測控范圍與衛(wèi)星軌道面的相交圓的圓心)和OC(點C為正方形邊長的中點)，則在RtΔODC中有所以又因為r=(R+h)sinθ，OD=(R+h)cosθ.則可求出

圖6

圖7

圖8

圖9

由于衛(wèi)星圍繞地球運動時，軌道與赤道平面有一個夾角α，測控范圍由正方形覆蓋，所以正方形的行數(shù)j為

圓內(nèi)接正方形每條邊在衛(wèi)星軌道面上所對的圓弧長為

圖10

(2) 當[j]為偶數(shù)時，各行正方形在南北緯之間對稱分布(如圖7所示)，結(jié)合圖7與圖10，每一行正方形的總長度是正方形所在軌道面的圓周長，北緯第一行正方形覆蓋的軌道面圓周長C1=2π(R+r)cosβ，因此，北緯第一行排列的正方形個數(shù)北緯第二行正方形覆蓋的軌道面圓周長為C2=2π(R+r)cos3β，因此，北緯第二行排列的正方形個數(shù)依此類推，北緯第x行上分布的測控站的個數(shù)[nx]=為實現(xiàn)全程測控的測控站總個數(shù)為當[j]為奇數(shù)時，先用一行正方形覆蓋赤道(正方形中心在赤道上)，然后將各行正方形在南北緯之間對稱分布.顯然，赤道上排列的正方形的個數(shù)為.南緯第一行正方形覆蓋的軌道面圓周長為C1=2π(R+r)cos2β，因此，南緯第一行排列的正方形個數(shù)依此類推，南緯第x行正方形覆蓋的圓周長Cx=2π(R+r)cos2βx，因此，南緯第x行上分布的測控站的個數(shù)為最終，實現(xiàn)全程測控的測控站總個數(shù)為[n] =2

為了驗證上述模型，現(xiàn)將神舟七號的數(shù)據(jù)(神舟七號的軌道與赤道平面夾角為42.2°，神舟七號距離地面的高度為343 km)代入[j]的表達式可得[j]=4，所以要用偶數(shù)行的模型進行求解總的測控站數(shù)n=2n1+2n2=60，因此，神舟七號只要60個測控站就可以實現(xiàn)全程測控.

3 模型改進推廣

問題二中，為使計算方便，采用內(nèi)接正方形覆蓋所要測控的區(qū)域.圓內(nèi)接正方形的面積占圓面積的63.69%，而圓內(nèi)接正六邊形的面積占圓面積的82.74%，因此可以考慮采用圓內(nèi)接正六邊形覆蓋，以提高有效覆蓋率.另外，在某些具體問題上，采用內(nèi)接正方形或內(nèi)接正六邊形覆蓋所要測控的區(qū)域，會出現(xiàn)較多的浪費，這時不能一味追求圓內(nèi)接圖形面積占圓面積的比率，而應(yīng)該從整體的角度來考慮測控站的最優(yōu)分布.

[1] 趙亞輝.測控站應(yīng)該怎么分布才能覆蓋地球[EB/OL].(2009-09-11)[2009-10-02].http：//wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=1 1ff695a383272df.

[2] 于澤遠.中國航天史首次神七今天執(zhí)行出艙任務(wù)[EB/OL].(2008-09-27)[2009-09-11].http：//www.zaobao.com/special/china/ shenzhou/pages1/shenzhou7080927.shtml.

[3] 姜啟源.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2006.