基于曲率模態(tài)變化率指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識別

張 勇， 靜 行， 袁海慶

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院, 湖北 武漢 430070)

結(jié)構(gòu)在服役期間由于受到?jīng)_擊、地震、風(fēng)荷載、腐蝕等作用，材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，由此必然會產(chǎn)生各種各樣的損傷[1]。如今，土木工程結(jié)構(gòu)的安全性問題日益引起人們的關(guān)注，尤其對于大型結(jié)構(gòu)而言，損傷無時無刻不威脅著人民的生命財產(chǎn)安全。因此，及時發(fā)現(xiàn)損傷并對其進行修復(fù)顯得尤為重要。

結(jié)構(gòu)損傷識別一般可分為4個階段：結(jié)構(gòu)損傷存在性判斷、結(jié)構(gòu)損傷位置診斷、結(jié)構(gòu)損傷程度評估和損傷結(jié)構(gòu)剩余壽命估計[2]。目前的研究工作基本停留在第二階段。結(jié)構(gòu)損傷定位的標(biāo)識量應(yīng)該具備以下基本條件：一是局域量，二是對結(jié)構(gòu)局部損傷敏感，三是關(guān)于結(jié)構(gòu)位置坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)[3]。

曲率模態(tài)損傷識別法的基本原理是因損傷所致的構(gòu)件截面剛度突變而引起截面的曲率變化，但曲率模態(tài)對于結(jié)構(gòu)小程度損傷不敏感，而且難以反映模態(tài)節(jié)點處的損傷。為此，本文通過數(shù)值仿真計算，對曲率模態(tài)曲線進行一次微分，發(fā)現(xiàn)得到的曲率模態(tài)變化率曲線對于結(jié)構(gòu)損傷具有更高的敏感性，而且對模態(tài)節(jié)點處損傷同樣能夠較好地進行識別。

1 曲率模態(tài)結(jié)構(gòu)損傷識別理論

這里以梁為例來討論曲率模態(tài)的相關(guān)理論依據(jù)[4]，其結(jié)論可以適用于任何類型的線性結(jié)構(gòu)。忽略軸向力的影響，梁振動的微分方程為：

(1)

式中，υ(x,t)是橫向振動位移，a1為Rayleigh阻尼剛度比例因子。

根據(jù)模態(tài)理論，方程(1)的解可以表示為模態(tài)貢獻的疊加形式

(2)

式中，j為模態(tài)階數(shù)；φj(x)和qj(t)分別是梁位移模態(tài)振型和模態(tài)坐標(biāo)。

依據(jù)材料力學(xué)理論中彈性梁彎曲變形曲線曲率與位移的關(guān)系，任意截面x處梁彎曲振動曲線的曲率變化函數(shù):

(3)

由材料力學(xué)知，梁的彎曲靜力關(guān)系式

(4)

式中，M為梁截面彎矩；E為梁的彈性模量；I(x)為梁的截面抵抗矩。

由式(3)、式(4)可知，曲率模態(tài)隨結(jié)構(gòu)剛度的變化而變化，即曲率模態(tài)對結(jié)構(gòu)損傷敏感，而且曲率模態(tài)與位移模態(tài)是一一對應(yīng)關(guān)系。

對于實際工程結(jié)構(gòu)，由于目前尚缺乏能夠直接測量結(jié)構(gòu)曲率響應(yīng)的傳感器，因此利用中心差分方法近似計算曲率模態(tài)振型[5]

(5)

該方法需要有足夠密的測點，或精度非常好的插值擴階模態(tài)，否則將增大曲率模態(tài)計算的誤差。

結(jié)構(gòu)不同程度的損傷，會導(dǎo)致曲率模態(tài)相應(yīng)程度的變化，一般用突變模態(tài)差(損傷處左右側(cè)二測點與完好狀態(tài)曲率模態(tài)差的絕對值)表示：

(6)

2 曲率模態(tài)變化率損傷指標(biāo)

2.1 問題的提出

將幾何尺寸為900 mm×40 mm×10 mm的某簡支梁劃分為45個梁單元有限元模型，應(yīng)用有限元軟件模擬簡支梁完好狀態(tài)、跨中損傷兩種工況，進行模態(tài)數(shù)值仿真計算分析。

完好狀態(tài)下梁的彈性模量為2.1×1011MPa，泊松比取0.3，通過降低單元彈性模量模擬損傷。圖1為利用位移模態(tài)差分計算所得的相應(yīng)曲率模態(tài)曲線φ″(x)，在計算中為了減小差分帶來的誤差，事先用三次樣條曲線對位移模態(tài)曲線進行了插值處理。圖2為突變曲率模態(tài)差與損傷量的關(guān)系。對曲率模態(tài)仿真結(jié)果進行分析可以看到如下問題:

(a) 一階

(b) 二階

(c) 三階

(d) 四階圖1 跨中損傷曲率模態(tài)曲線

圖2 突變曲率模態(tài)差與損傷量的關(guān)系

(1)各階模態(tài)反映損傷的情況并不相同，跨中損傷曲率模態(tài)曲線φ″(x)的一階和三階模態(tài)在跨中損傷處發(fā)生突變，而二階和四階模態(tài)節(jié)點處(即振型振幅為0的點)卻并未發(fā)生明顯變化，表明曲率模態(tài)對于模態(tài)節(jié)點處損傷并不敏感。

(2)圖2表明，采用曲率模態(tài)差可以對結(jié)構(gòu)的損傷程度進行定量研究，但是曲率模態(tài)差的計算要求知道結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下曲率模態(tài)數(shù)據(jù)，而對于大多數(shù)已建成的橋梁結(jié)構(gòu)，建成時往往未必有相應(yīng)的量測數(shù)據(jù)。

2.2 改進的敏感參數(shù)φ?(x)

對式(3)兩邊求導(dǎo)得曲率變化率：

?j(x)qj(t)

(7)

由式(4)、(7)可知，曲率模態(tài)變化率φ?(x)隨結(jié)構(gòu)剛度的變化而單調(diào)變化，即φ?(x)對結(jié)構(gòu)損傷敏感。根據(jù)φ?(x)與位移模態(tài)的一一對應(yīng)性可知，φ?(x)是結(jié)構(gòu)位置坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)。因此，作為局域量的φ?(x)能滿足損傷定位指標(biāo)的基本要求。

現(xiàn)對圖1曲率模態(tài)曲線進行一次微分，得到的曲率模態(tài)變化率曲線φ?j(x)(如圖3)。微分計算一般采用差分法

(8)

從圖3得知，采用差分法得到的曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線圖，二階和四階模態(tài)曲線在跨中模態(tài)節(jié)點處發(fā)生了明顯突變；而且一階和三階曲線在跨中損傷附近區(qū)域產(chǎn)生了更加劇烈的變化：從一側(cè)極大(或極小)值，經(jīng)過零點很快達到另一側(cè)極小(或極大)值，此區(qū)域內(nèi)兩個極值點之間的范圍即為結(jié)構(gòu)損傷的大致影響區(qū)，兩極值的中點即是結(jié)構(gòu)損傷位置，并且各損傷量下的曲線幾乎同時相交于損傷位置點，這也表明曲率變化率φ?(x)模態(tài)曲線具有很強的損傷定位能力。

由此可見，φ?(x)對結(jié)構(gòu)損傷的敏感程度高于曲率模態(tài)。損傷越大，φ?(x)曲線突變越明顯。因此，也可以根據(jù)φ?(x)突變大小判定結(jié)構(gòu)的損傷程度。既然φ?(x)曲線在結(jié)構(gòu)損傷處發(fā)生劇烈變化，則φ?(x)曲線突變極值差Δ(即損傷處左右兩側(cè)二節(jié)點極值差的絕對值)更能反映損傷曲線突變性，而且突變極值差的絕對值還可以消除試驗或計算誤差所引起的突變現(xiàn)象。令

(a) 一階

(b) 二階

(c) 三階

(d) 四階圖3 跨中損傷曲率模態(tài)變化率曲線

Δj=|φ?j2-φ?j1|

(9)

式中，φ?j1、φ?j2分別是j階模態(tài)損傷節(jié)點左右兩側(cè)二節(jié)點的模態(tài)值。

圖4 突變極值差Δ與損傷量的關(guān)系

圖4為一階和三階突變極值差Δ與損傷量的關(guān)系。結(jié)構(gòu)損傷處突變極值差Δ與損傷量之間基本保持線性關(guān)系。Δ越大，損傷程度越大。另一方面，采用突變極值差作為結(jié)構(gòu)損傷程度的研究指標(biāo)，無需結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下的模態(tài)數(shù)據(jù)。

3 基于曲率變化率指標(biāo)的數(shù)值算例

設(shè)有幾何尺寸為2×450 mm×80 mm×20 mm的二跨連續(xù)梁。模擬四種工況：①無損；②左跨中5%損傷+中間支座5%損傷；③左跨中10%損傷+中間支座處10%損傷；④左跨中10%損傷+中間支座20%損傷。

通過ANSYS軟件計算出位移模態(tài)數(shù)據(jù)，再采用差分法得到一階、二階曲率模態(tài)φ″(x)曲線和曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線如圖5所示。從圖中不難看出，在本例多損情況下曲率模態(tài)的一階、二階曲線在損傷處變化并不明顯，而曲率模態(tài)變化率φ?(x)一階、二階曲線在左跨中損傷處發(fā)生明顯突變，并且中間支座損傷處的曲線也發(fā)生了明顯變化，進一步表明φ?(x)指標(biāo)不僅能反映模態(tài)節(jié)點處損傷，對于結(jié)構(gòu)支座處損傷仍然能夠做出敏感反應(yīng)，而且低階φ?(x)曲線即可反映出結(jié)構(gòu)的損傷特性。由此可見，相比曲率φ″(x)模態(tài)指標(biāo)而言，曲率模態(tài)變化率φ?(x)指標(biāo)對于結(jié)構(gòu)損傷識別具有更高的敏感度。

(a) 一階曲率

(b) 一階曲率變化率

(c) 二階曲率

(d) 二階曲率變化率圖5 多處損傷曲率與曲率變化率曲線

4 結(jié) 語

本文在曲率模態(tài)的基礎(chǔ)上提出新的結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)-曲率模態(tài)變化率φ?(x)。數(shù)值仿真算例表明新指標(biāo)相對于曲率模態(tài)對于結(jié)構(gòu)損傷具有更高的敏感性。由曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線圖可知，突變區(qū)域內(nèi)兩個極值點之間的范圍即為結(jié)構(gòu)損傷的大致影響區(qū)，兩極值的中點即是結(jié)構(gòu)損傷位置；而且損傷處左右側(cè)二節(jié)點突變極值差Δ與損傷量之間保持著良好的線性關(guān)系。

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