數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的軟件應(yīng)用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

閆 峰，張艷霞

（邯鄲學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河北 邯鄲 056005）

1 引言

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，基本上采用教師主要講解的灌輸式教學(xué)方法，學(xué)生的積極性不高，對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)也缺乏直觀的認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)行的一種較先進(jìn)的教學(xué)手段——計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)（Computer Assisted Instruction）簡(jiǎn)稱CAI，是教師將計(jì)算機(jī)用作教學(xué)媒體，學(xué)生通過(guò)與計(jì)算機(jī)的交互作用進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種教學(xué)形式，它能充分利用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量大，快速處理圖象、聲音、動(dòng)畫(huà)等功能，產(chǎn)生出圖文并茂，聲色俱全的視聽(tīng)效果，達(dá)到改善學(xué)習(xí)環(huán)境、優(yōu)化教學(xué)效果的目的，完成傳統(tǒng)教學(xué)方式難以實(shí)現(xiàn)的教學(xué)任務(wù)。如何在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，正確使用CAI技術(shù)手段（尤其是數(shù)學(xué)軟件）是教師迫切需要考慮的一個(gè)問(wèn)題。

鑒于《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的一些成功經(jīng)驗(yàn)，作者在數(shù)學(xué)分析的部分授課過(guò)程中嘗試引入《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》的教學(xué)思想，借助于CAI系統(tǒng)，主要利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對(duì)某些內(nèi)容設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)方案，每個(gè)實(shí)驗(yàn)圍繞可引起學(xué)生興趣的問(wèn)題展開(kāi)，教學(xué)生使用若干方法來(lái)解決問(wèn)題，在解決問(wèn)題中熟悉這些方法，得出相應(yīng)的結(jié)論。這些嘗試使學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)有了一個(gè)直觀的了解，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高了他們的動(dòng)手能力和探索的興趣，并對(duì)MATLAB數(shù)學(xué)軟件也有了初步的了解和掌握。下面僅介紹教學(xué)中的幾個(gè)方面。

2 利用MATLAB軟件的數(shù)據(jù)可視化加強(qiáng)學(xué)生的空間想象力

數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到一些復(fù)雜的圖像、圖形，比如螺旋線、空間中的二次曲面、一些極坐標(biāo)表示的曲線、以及一些物體運(yùn)動(dòng)的軌跡等，一般數(shù)學(xué)課堂要求學(xué)生發(fā)揮“空間想象力”。實(shí)踐證明，多數(shù)學(xué)生一學(xué)期下來(lái)后，對(duì)什么是馬鞍面，什么是橢圓雙曲面等仍有讀天書(shū)的感覺(jué)，讓數(shù)學(xué)軟件直觀地演示一下這些圖形，將“空間想象力”變?yōu)椤爸庇^觀察力”則更為現(xiàn)實(shí)有效，教學(xué)效果也更明顯。

實(shí)驗(yàn)1.空間中二次曲面的圖形。

1）提出問(wèn)題：根據(jù)空間解析幾何的知識(shí)考慮二元函數(shù) z=xy,(x,y )∈R2[1]91的圖形（盡管函數(shù)表達(dá)式很簡(jiǎn)單，但圖形不好想象）。

2）利用MATLAB軟件繪出它的圖形：

[x,y]=meshgrid(-4:0.125:4); >> z=x.*y;>> mesh(x,y,z)

使學(xué)生對(duì)此函數(shù)的圖形有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。（如圖1）

3）利用MATLAB軟件繪制更為復(fù)雜的函數(shù)圖形。

圖1

并在重積分部分，也通過(guò)作圖觀察變量的取值范圍，教學(xué)效果非常好。

3 MATLAB軟件在積分運(yùn)算方面的應(yīng)用

由數(shù)學(xué)分析的知識(shí)：有理函數(shù)都能積分，相關(guān)理論已經(jīng)很完備，但其計(jì)算往往非常復(fù)雜，耗費(fèi)學(xué)生很多時(shí)間。可否將這些繁瑣計(jì)算留給計(jì)算機(jī)完成？這些問(wèn)題的解決有待于我們對(duì)現(xiàn)行課程教材體系進(jìn)行新的思考和創(chuàng)新。

實(shí)驗(yàn)2.簡(jiǎn)化有理函數(shù)積分的計(jì)算過(guò)程。

2）利用MATLAB軟件計(jì)算上述積分：syms x；>> int((-x^2-2)/(x^2+x+1)^2)

執(zhí)行上述命令后，馬上顯示結(jié)果：

1/3*(-3*x-3)/(x^2+x+1)-4/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x+1)*3^(1/2))，說(shuō)明軟件的快捷和方便；

3）后繼內(nèi)容中進(jìn)一步探討MATLAB在定積分、數(shù)值積分中的應(yīng)用。

4 泰勒級(jí)數(shù)逼近分析器的應(yīng)用

我們知道：若一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ?x:|x ?x0|＜r，f(x)在點(diǎn)x0的泰勒公式的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n→∞時(shí)極限為0，則f(x)在給定區(qū)間 (x0? r, x0+ r )內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)。[1]53那么泰勒多項(xiàng)式是如何逼近函數(shù)f(x)的？利用MATLAB軟件提供的一個(gè)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的可視化界面：泰勒級(jí)數(shù)逼近分析界面，可方便地觀察函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上被n階泰勒多項(xiàng)式逼近的情況，使學(xué)生對(duì)級(jí)數(shù)理論的認(rèn)識(shí)更加深刻。

實(shí)驗(yàn)3.函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。

2）通過(guò)圖形觀察這些多項(xiàng)式函數(shù)與正弦函數(shù)y=sinx有什么關(guān)系？得出結(jié)論：上述多項(xiàng)式函數(shù)分別是正弦函數(shù)的3階、5階、7階泰勒多項(xiàng)式。

3）進(jìn)而觀察泰勒多項(xiàng)式逼近正弦曲線的情況。

4）利用泰勒級(jí)數(shù)逼近分析界面說(shuō)明問(wèn)題（如圖2）。

5）任意改變被逼近函數(shù)表達(dá)式、區(qū)間范圍或泰勒多項(xiàng)式的階數(shù)均可得到類(lèi)似結(jié)果。

5 二元函數(shù)極限存在性的判別

相比一元函數(shù)在某點(diǎn)極限的存在性，二元函數(shù)重極限和累次極限的存在性就復(fù)雜多了，這也是教學(xué)中的難點(diǎn)所在。可通過(guò)圖形猜測(cè)二元函數(shù)重極限是否存在。

圖2

1）提出問(wèn)題：猜測(cè)極限的存在性。

2）繪制二元函數(shù)的圖形（圖3）。

3）通過(guò)觀察圖3，利用旋轉(zhuǎn)按鈕可以看出：當(dāng)(x，y)充分接近于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值充分接近于0即函數(shù)在（0，0）點(diǎn)的極限存在。

4）理論上嚴(yán)格證明。

6 函數(shù)列一致收斂的直觀演示

函數(shù)列的一致收斂是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的難點(diǎn)，也是重點(diǎn)，學(xué)生理解較為困難，往往很難分清函數(shù)列收斂和一致收斂的本質(zhì)區(qū)別。

圖3

實(shí)驗(yàn)5.分別討論函數(shù)列 {f (x)}={nx2e?nx},x∈[0,5]和{g(x)}={n2xe?n2x2},x ∈[0,1]的收斂性和一致nn收斂性。

2）學(xué)生總結(jié)函數(shù)列在給定區(qū)間一致收斂時(shí)的圖形顯示情形。

3）利用 MATLAB軟件編程分別繪制{fn(x )}和{gn(x)}當(dāng)n分別取1，2，3，…，8時(shí)的函數(shù)圖形，以說(shuō)明函數(shù)列的變化趨勢(shì)。

圖4 {f(x)} n 的圖形

圖5 {g(x)} n 的圖形

本文僅討論了利用MATLAB軟件在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中進(jìn)行的CAI教學(xué)的幾個(gè)方面，在實(shí)際教學(xué)中還在不斷探索，課下學(xué)生可自己動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，效果較好。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]李尚志.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2008.