Lamb波頻散曲線的數(shù)值計算及試驗驗證

閻 石， 張海鳳， 蒙彥宇，2，3

(1. 沈陽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110168; 2. 大連理工大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024;3. 北華大學(xué) 交通建筑工程學(xué)院， 吉林 吉林 132013)

Lamb波是超聲無損檢測中最常見的一種導(dǎo)波形式，由20世紀(jì)初 H. Lamb先生研究無限大板中正弦波問題而得名。它是一種在厚度與激勵聲波波長為相同數(shù)量級的聲波導(dǎo)中由縱波和橫波合成的特殊形式的應(yīng)力波。Lamb波檢測具有快速便捷的特點，非常適合于板形結(jié)構(gòu)的大面積無損檢測。但是由于其在信號的激勵、傳播、接收及處理方面的復(fù)雜性，限制了Lamb波在工業(yè)生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，而這個復(fù)雜性是由Lamb波的頻散特性引起的，因此，要想在無損檢測中更加有效地應(yīng)用Lamb波，必須了解Lamb波的基本原理和特點，并根據(jù)Lamb波的頻散特性確定檢測方案。本文基于頻散方程，采用迭代方法繪制了Lamb波的頻散曲線并通過試驗進行了驗證[1]。

1 Rayleigh-Lamb頻散方程

Lamb波定義為彈性擾動在自由邊界板中的傳播，是在具有兩個平行表面的結(jié)構(gòu)中由橫波和縱波相互耦合而成的一種應(yīng)力波。它的位移不僅發(fā)生在波的傳播方向上，垂直板的方向上也有。Lamb波有兩種基本型式，即對稱(S)型和反對稱(A)型，分別用S0,S1,S2，…，Sn和A0,A1,A2，…，Am表示，兩種型式的不同是由質(zhì)點相對于板的中間層作對稱還是反對稱型運動來決定的。每種型式又可以進一步分成具有不同相速度cp的若干種模式，描述Lamb的方程是Rayleigh-Lamb方程：

對稱模式

(1a)

反對稱模式

(1b)

其中，

(2)

式中，k0為沿板水平方向的波數(shù)，b為1/2板厚，w為角頻率，w=2πf,cl為縱波速度，cs為橫波速度。

2 頻散方程數(shù)值計算

下面以對稱模式Lamb波特征方程的數(shù)值求解方法為例闡述Lamb波頻散方程的解法，反對稱模式的求解方法與此相同，這里不再贅述。

2.1 方程分析

從方程(1)、(2)可以看出Lamb波是多模式和頻散的，即k0與w的關(guān)系是非線性的，不同的模式有不同的非線性關(guān)系。因為k0與w的關(guān)系是非線性的，因此，相速度cp=w/k0不是常數(shù)，而是隨著頻率的變化而改變，cp取不同的值，w(w=2πf)和k0也相應(yīng)地有不同的值，且一個cp值可能對應(yīng)多個w和k，所得曲線不止一條。Lamb波的這種特性反映在cp-f·d(相速度-頻厚積)平面內(nèi)就表現(xiàn)為一系列曲線，這些曲線就是Lamb波的相速度頻散曲線[3]。

以對稱模式為例，把(2)式帶入(1a)式，

(3)

當(dāng)cp=cl或者cp=cs時，即蘭姆波傳播的群速度等于縱波速度或者橫波速度，這時(3)式中存在分母為零的情況，我們把(3)式轉(zhuǎn)化為各因式相乘的形式，使各個因式都為實數(shù)，就可以在實數(shù)域范圍內(nèi)求解Rayleigh-Lamb方程，令

(4)

由式(4)可以看出，若以w為自變量，對cp的求解較為復(fù)雜，而以cp為自變量，對w進行求解則相對簡單，因此，數(shù)值計算時選擇cp為自變量[4]。

2.2 數(shù)值計算

用迭代方法對Lamb波頻散方程進行求解。使f·d和cp分別以一定的步長在所需范圍內(nèi)掃描，當(dāng)方程函數(shù)值在某區(qū)間上變號時,在此區(qū)間就存在一個根。如果變號區(qū)間的長度足夠小，取區(qū)間的中點值作為方程的根與方程真實根之間的誤差可以滿足精度要求，在實際檢測中，聲速的精確度一般在0.01左右，如果選擇掃描步長的長度小于或等于實際檢測的精度，并以掃描步長作為變號區(qū)間，則可取變號區(qū)間的中點值作為方程的根，所取得的根與真實的根之間的誤差小于檢測精度，符合實際應(yīng)用[5]。

圖1 程序流程圖

圖1為求解頻散方程的程序流程圖，在主程序中，通過函數(shù)值傳遞將cp1和cp2(cp2=cp1+Δcp)帶入子程序中,子程序為根據(jù)(4)式計算cp1和cp2所對應(yīng)的y1和y2值,然后將y1和y2值返回到主程序中。通過判斷y1和y2乘積與零的大小關(guān)系，來尋找有根區(qū)間以確定方程的根并保存數(shù)據(jù)，最后把所有記錄點的數(shù)據(jù)繪制成曲線。在這個程序計算過程中主要涉及到兩個循環(huán)：f·d固定時，cp以一定的步長迭加直到求出所有滿足方程的cp值；然后f·d以一定的步長在所需范圍內(nèi)迭加，直到求出所有f·d下滿足方程的cp值。其中，在滿足求解精度的條件下，設(shè)定了一個循環(huán)次數(shù)的上限，可減少程序運行時間且能達到精度要求，提高了運算效率[6～8]。

2.3 算例

根據(jù)上述求解方法對Lamb波在鋁板中傳播的頻散曲線進行了計算，根據(jù)鋁板的材料參數(shù)計算得到cl=6450 m/s,cs=3090 m/s。繪制得到相應(yīng)的相速度曲線如圖2所示。而群速度可用式(5)表示

cg=dw/dk0

(5)

(6)

進而可根據(jù)(6)式求得群速度頻散曲線，如圖3所示。

圖2 鋁板相速度曲線

圖3 鋁板群速度曲線

由圖2和圖3可得頻散曲線的特點：

(1)除了S0和A0模態(tài)以外，其他模態(tài)都具有截止現(xiàn)象，即在截止頻率以上該模態(tài)是可以傳播的，而在截止頻率以下，該模態(tài)是迅速衰減不能傳播的；

(2)在某一頻率處，會同時產(chǎn)生兩個(或兩個以上)模態(tài)，但各個模態(tài)的群速度(相速度)各不相同，特別是在高頻段，這種情況更明顯；

(3)各個模態(tài)都存在頻散現(xiàn)象，即群速度隨頻率的變化而變化。

3 試驗驗證

3.1 試驗裝置

試驗所用的鋁板試件尺寸為500×500×1(mm)，在鋁板表面粘貼方形單面電極的壓電陶瓷片作為傳感器和驅(qū)動器。系統(tǒng)設(shè)備主要由DG1022任意波形發(fā)射器(激勵信號發(fā)生器)、鋁板試件、DS1102E型數(shù)字示波器所組成。試驗中所用的激勵信號為五峰波信號，激勵信號的中心頻率為300 kHz。

3.2 試驗分析

在鋁板表面粘貼三個壓電片A、B、C，如圖4所示。取壓電片A作驅(qū)動器產(chǎn)生激勵信號，B、C分別作傳感器接收傳感信號，通過傳播距離、傳播時間與傳播速度的關(guān)系可以求出Lamb波信號在鋁板中的傳播速度。其中，Lamb波在某個方向上的傳播速度根據(jù)不同傳播路徑的傳播距離差與傳感信號到達時間差值的比值計算得到，即

(7)

式中，l1和l2分別為兩個傳感器的位置值，t1、t2為兩列信號各自群速度的到達時刻。

圖4 鋁板上壓電片的布置

傳播時間差值的計算是利用小波分析法對兩個傳感信號分別作小波變換后對比各自的群速度到達時刻從而計算出的時間延遲。由文獻[9]可以知道：信號小波變換的最大峰值所對應(yīng)的時間就是信號的中心頻率群速度cg到達的時刻。因此，本研究中選取信號小波變換后的最大峰值所對應(yīng)的時刻為信號群速度的到達時刻。具有同時記時起點的兩傳感器所接收到信號的時間差即為兩信號小波變換后最大峰值所對應(yīng)時刻之差。如圖5所示為某一傳感信號及其小波變換。

圖5 傳感信號及其小波變換

當(dāng)信號發(fā)生器向壓電片輸入一個激勵信號后，兩個傳感壓電片就會在一段時間后接收到信號。當(dāng)然，Lamb波在傳播過程中會發(fā)生頻散，而且不同模式傳播的速度不一樣，所以Lamb波到達傳感壓電片的時間不一樣，本文考慮傳感器接收到的波形中最先到達的一個波包來研究，以去除邊界反射和散射的影響[9]。

3.3 試驗結(jié)果

根據(jù)上述方法計算可得群速度cg為5.3782 km/s,查閱圖3可知,當(dāng)f·d為0.3 mHz·mm時,S0模式Lamb波的群速度值為5.4006 km/s,與此波群的速度之間的相對誤差為0.4148%,證明此波包的主要成分是S0模式的Lamb波。為了進一步驗證計算結(jié)果的有效性，用此方法求出了S0模態(tài)幾種不同f·d值下的群速度值，結(jié)果如表1所示。此表中列出了群速度試驗值和理論值的比較，并計算出兩者之間的誤差，其中誤差=(理論值-試驗值)/理論值，從結(jié)果可以看出試驗值和理論值之間相差很小，誤差在1%以內(nèi)，這個誤差主要來源于波群傳播時間的確定。為了更直觀地比較結(jié)果，圖6為根據(jù)試驗結(jié)果計算得出的Lamb波群速度試驗值與理論曲線的比較，可以看出，試驗值與理論值吻合較好。

表1 群速度理論值與試驗值對比

圖6 群速度理論曲線與試驗測點對比

4 結(jié) 語

Lamb波的頻散曲線對進行Lamb波無損檢測具有重要意義。根據(jù)Lamb波的頻散方程，利用數(shù)值迭代的方法求解得到了Lamb波的相速度曲線，并根據(jù)相速度與群速度的關(guān)系推算出了群速度曲線，然后通過試驗的方法得到了Lamb波的實際群速度值，與理論曲線進行對比，證明了文中繪制頻散曲線的方法是有效的。對于各種不同的材料，Lamb波的頻散特性也各不相同，要想充分有效地利用Lamb波，首先必須解決頻散曲線的繪制問題。目前，各種材料的頻散曲線資料匱乏，本文提出的繪制頻散曲線的方法較為簡單，所以本文所做的工作對工程應(yīng)用具有一定的實際意義。

[1] 劉鎮(zhèn)清. 無損檢測中的超聲蘭姆波[J]. 無損檢測, 1999, 21(9): 409-413.

[2] Wang C H, Chang F K. Scattering of plate waves by a cylindrical inhomogeneity[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, (2): 429-451.

[3] Monkhouse R S C, Wilcox P W, Lowe M J S, et al. The rapid monitoring of structures using interdigital lamb wave transducers [J]. Smart Materials and Structures, 2000, (9): 304-309.

[4] 鄭祥明, 趙玉珍, 史耀武. 蘭姆波頻散曲線的計算[J]. 無損檢測, 2003, 25(2): 66-68.

[5] 曹正敏，林 莉，李喜孟 .蘭姆波頻散曲線的繪制與試驗驗證[J]. 理化檢驗-物理分冊, 2008, 44 (9): 193-199.

[6] 艾春安, 李 劍. 蘭姆波頻率方程的數(shù)值解法[J]. 無損檢測, 2005, 27(6): 294-296.

[7] 艾春安, 吳安法. 蘭姆波頻散方程的分析及數(shù)值迭代算法[J]. 上海航天, 2008, 28(5): 42-44.

[8] 倪 園, 程建政, 張德俊. 一種求解蘭姆波特征方程的方法[J]. 無損檢測, 2008, 30(8): 498-500.

[9] 彭 鴿, 袁慎芳, 徐穎娣. 基于主動蘭姆波和小波變換的二維結(jié)構(gòu)損傷定位研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2004, 17(4): 488-493.

[10]王 杜，鄭祥明，唐正連，等. 蘭姆波在薄鋼板無損檢測中的應(yīng)用研究[J]. 無損檢測, 2007, 29 (4): 193-199.