HIV/AIDS傳播的動(dòng)力學(xué)模型及其分析

徐英，楊娟

(遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州遵義563002)

到目前為止，已有許多作者建立并研究了一些非常有用的關(guān)于HIV/AIDS傳播的數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)[1]把總的性活躍人群分成男女兩大類，并進(jìn)一步把男性、女性人群分成三部分：易感人群；處于潛伏期的人群；處于發(fā)病期的人群.該文獻(xiàn)通過(guò)對(duì)所建模型進(jìn)行分析，在理論上給出相應(yīng)的預(yù)防HIV/AIDS的措施.文獻(xiàn)[2]和[3]考慮了患者從感染HIV到發(fā)展成AIDS病人要經(jīng)歷兩個(gè)不同的發(fā)展時(shí)期：隱潛伏期和潛伏期.而文獻(xiàn)[4]又進(jìn)一步把未感染HIV的人群分成兩類：容易感染HIV的人群和有文化素養(yǎng)的人群，該作者建立了離散的時(shí)延常微分方程組，并對(duì)其進(jìn)行定性分析，研究公共衛(wèi)生教育對(duì)疾病傳播的預(yù)防作用.可以看到，文獻(xiàn)[1~5]得出了比較好的結(jié)論，但是他們忽略了一重要因素，即治療性疫苗可以使一些AIDS病人轉(zhuǎn)移到潛伏期.

AIDS病人有較高的傳染力，但一些模型([3],[5])卻忽略了這一點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]考慮到了此因素，但忽略了治療性疫苗對(duì)AIDS病人的作用，文獻(xiàn)[7]建立了較完美的模型，卻忽略了垂直傳播這一因素.

本文建立了一HIV/AIDS傳播的動(dòng)力學(xué)模型，考慮了垂直感染、AIDS病人具有傳染性、AIDS病人有可能恢復(fù)到潛伏期這些因素；并根據(jù)HIV/AIDS的發(fā)病特點(diǎn)，在發(fā)病期內(nèi)引入了發(fā)病年齡，用偏微分方程來(lái)描述患者在發(fā)病期的發(fā)展過(guò)程.利用系統(tǒng)方程，直接得出：當(dāng)AIDS引起死亡率變化時(shí)社會(huì)總?cè)丝谒p.此外，利用泛函分析方法和有界線性算子半群理論分析了系統(tǒng)的適定性問(wèn)題.

1系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文把總?cè)巳悍譃槲闯赡耆撕统赡耆藘纱箢?，其中未成年人又分為沒(méi)有感染HIV的人群Cu和Ci已經(jīng)感染HIV的人群；成年人分為低危險(xiǎn)人群S1，高危險(xiǎn)人群外S2，處于隱潛伏期的人群E，處于潛伏期的人群I以及處于發(fā)病期的人群A，本文把未感染HIV的男性同性戀者、性病病人、多個(gè)性伙伴者、靜脈注射吸毒者定義為高危險(xiǎn)人群.剩余的那部分未感染HIV的人群稱為低危險(xiǎn)人群.分別用Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)表示t時(shí)刻各類人群Cu，Ci，S1，S2，E，I2的人口數(shù)目；用A(a,t)表示t時(shí)刻發(fā)病年齡為a的A類人群的人口分布.發(fā)病年齡為a是指?jìng)€(gè)體在發(fā)病期已經(jīng)度過(guò)的時(shí)間為a.其中，rm表示人群的最高年齡.

本文假設(shè)人口出生率為μ0，自然死亡率記為μ，設(shè)S1，S2，E三類人群的新生兒均進(jìn)入Cu，考慮到垂直感染，I和A的新生兒分別以概率ω1，ω2進(jìn)入Cu，而Cu類人群以概率θ1，θ2分別進(jìn)入S1，S2，以θ3概率進(jìn)入E；Ci類人群因病死亡的概率為γ，并以θ4概率進(jìn)入E，I和A的新生兒分別以概率（1-ω1）和（1-ω2）進(jìn)入Ci；S1中的個(gè)體以概率為ρ1進(jìn)入E，而S1中的個(gè)體以β1轉(zhuǎn)移到S2，S2中的個(gè)體以概率β2進(jìn)入S1；S2中的個(gè)體以概率ρ2進(jìn)入E；E中的個(gè)體以概率σ進(jìn)入I；I中的個(gè)體以概率τ1進(jìn)入A，設(shè)A中的個(gè)體以概率τ2(a)恢復(fù)到I，其中τ2(a)是關(guān)于發(fā)病年齡a的函數(shù)；A中的個(gè)體單位時(shí)間內(nèi)因AIDS死亡的概率為δ(a)，該死亡率與發(fā)病年齡a有關(guān).于是可得Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)，A(a，t)這7類人群的變化率：

圖1是方程(1.1)-(1.8)的圖表描述.其中，

對(duì)方程(1.7)在[0,rm]上關(guān)于a求積分，然后與(1.1)-(1.6)相加得：

若出生率等于自然死亡率，即μ0=μ,則上式變?yōu)椋?/p>

(1.9)式表明AIDS的存在導(dǎo)致社會(huì)總?cè)丝趯⒊霈F(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)，最終導(dǎo)致人群滅絕.但如果γ=δ(a)=0，則(1.9)變?yōu)椋?/p>

上式表明，在AIDS不會(huì)導(dǎo)致個(gè)體死亡的情況下，社會(huì)總?cè)丝诰S持平衡，即總?cè)丝谑欠€(wěn)定不變的.因此，在有AIDS存在并由此導(dǎo)致死亡率發(fā)生變化的情況下，為維護(hù)社會(huì)人口平衡必須要求出生率大于死亡率.

2系統(tǒng)確定的發(fā)展方程

本節(jié)在μ0=μ的條件下，分析系統(tǒng)所確定的發(fā)展方程，此時(shí)系統(tǒng)方程為：

帶有初值條件：

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，取狀態(tài)空間：

并取范數(shù)：

在X中定義算子A：

其中A的定義域D(A)為：

則系統(tǒng)方程(2.1)可寫成中的抽象發(fā)展方程：

其中P(t)=（Cu(t),Ci(t),S1(t),S2(t),E(t),I(t),A(a,t)）,P0=（C0u,C0i,S01,S02,E0,I0,A0(a)）

3 系統(tǒng)的適定性

本節(jié)討論系統(tǒng)的適定性,利用Banach空間上的C0半群理論，只需證明算子A可生成一C0半群.

定理3.1空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則A是閉稠定算子.

證明過(guò)程類似于[8]，此處略.

定理3.2空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則A是耗散算子，且1∈ρ（A）.

證明直接驗(yàn)證可知X的共軛空間X*為：X*=R×R×R×R×R×R×L∞[0,rm].

下面分兩步來(lái)證明，

第一步：證明A是耗散的，即證，對(duì)每個(gè)P∈D(A)都至少存在一個(gè)Q∈F(P)，

任取向量P∈D(A)，P（t）=（Cu,Ci,S1,S2,E,I,A(a)），定義

其中，

則Q=（q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7(a)）∈X*,(P,Q)=‖P‖2.因此Q∈F(P)，進(jìn)一步有

計(jì)算可得?(P,Q)≤0，即A是耗散算子.

第二步：驗(yàn)證1∈ρ(A).

此證明過(guò)程類似于[8]，此處略.

引理3.3若A是閉稠定耗散算子，且1∈ρ(A)，則A生成一個(gè)C0半群T(t),并且滿足‖T(t)‖≤1.

由引理3.3，再結(jié)合定理3.1和定理3.2，可得出如下定理：

定理3.4空間X與算子如(2.2)-(2.4)定義，則A生成一C0半群T(t)，t≥0.

由定理3.4，可得出系統(tǒng)方程(2.1)是適定的：

定理3.5空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則系統(tǒng)方程(2.1)存在唯一的解，且此解連續(xù)依賴于初值P0,即P(t)=T(t)P0.

[1] Z.Mukandavire.Modelling circumcision and condom use as HIV/AIDS preventive control strategies[J].Mathematical and Computer Modelling，2007,（46）:1353-1371.

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