《九章筭術》正負術“無人”辨

郭書春

(中國科學院 自然科學史研究所,北京 100190)

1 《九章筭術》正負術

《九章筭術》方程章提出了正負術,即正負數(shù)完整的加減法則。其大典本①明《永樂大典》(1408年)抄錄的《九章筭經(jīng)》卷 8,已佚。此據(jù)由《武英殿聚珍版叢書》本與《四庫全書》本《九章算術》對校并由戴震的?？庇浕謴偷拇髡疠嬩洷尽?、楊輝本②南宋楊輝《詳解九章筭法》(1261)抄錄的《九章筭術》,此據(jù)《宜稼堂叢書》本并由宋景昌的《札記》恢復的原文。均作:

正負術曰:同名相除,異名相益。正無人負之,負無人正之。其異名相除,同名相益。正無人正之,負無人負之。

其中“無人”,清戴震改作“無入”[1,2]。筆者最近在《九章筭術譯注》[3]中恢復了大典本、楊輝本原文,但是囿于篇幅,對幾百年來在這個問題上的不同觀點,沒有充分展開,現(xiàn)進一步討論之,以就教于方家。

《九章筭術》正負術的數(shù)學意義是明白無誤的。名:名分,指稱,此處即今之正負號。同名:即同號。除:這里是減的意思。前四句是正負數(shù)減法法則?！巴喑本褪窍鄿p的兩個數(shù)如果符號相同,則它們的數(shù)值相減,即劉徽所說的“以赤除赤”,“以黑除黑”,則它們的數(shù)值 (這里是絕對值)相減。即“異名相益”就是相減的兩個數(shù)如果符號不同,則它們的數(shù)值相加。異名:即不同號。益:增益,加。這里是說,符號不同的數(shù)相減,即以赤除黑,或以黑除赤,則它們的數(shù)值(這里是絕對值)相加。即

“正無人負之”是說,正數(shù)沒有與之對減的數(shù),則為負數(shù)。即

“負無人正之”是說,負數(shù)沒有與之對減的數(shù),則為正數(shù)。即

后四句是正負數(shù)加法法則?！爱惷喑本褪侨绻麅烧呤钱愄柕?則它們的數(shù)值(這里是絕對值)相減。即

“同名相益“就是如果相加的兩者是同號的,則它們的數(shù)值(這里是絕對值)相加。即

“正無人正之”就是如果正數(shù)沒有與之對加的,則為正數(shù)。即

“負無人負之”就是如果負數(shù)沒有與之對加的,則為負數(shù)。即

當然,關于“正無人負之”、“負無人正之”與“正無人正之”、“負無人負之”看法,學術界不盡一致。比如關于前者,錢寶琮的解釋是:設b>a≥0,則b=a+(b-a),a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。在中間的式子里a和a對消,+(b-a)無可對消,改為負號,所以說“正無人負之”。

-a-(-b)=-a-[-a-(b-a)]=+(b-a)。在中間的式子里 -a和 -a對消,-(b-a)無可對消,改為正號,所以說“負無人正之”。[6]

下面將看到,錢寶琮的理解基本上與戴震一致。

2 關于“無人”的不同看法

關于“無人”,自南宋楊輝起就有不同看法。楊輝本方程章“賣牛羊”問在“一法”之“無入”下注:“古本誤刻‘無人’者,非?！盵7]所謂“古本”即北宋賈憲的《黃帝九章筭經(jīng)細草》,它是楊輝本的底本①楊輝《詳解九章筭法》實際上是為北宋賈憲《黃帝九章筭經(jīng)細草》作詳解,因而含有《九章筭術》本文、魏劉徽注、唐李淳風等注釋、賈憲細草及其楊輝詳解 5種內(nèi)容。見:郭書春:《賈憲〈黃帝九章算經(jīng)細草〉初探》,《自然科學史研究》Vol.7,No.4(1988.10)。。宋景昌據(jù)此認為“楊氏亦從‘入’”。錢寶琮認定戴震此處參考過《永樂大典》中所引楊輝本[8]。

1774年,戴震從《永樂大典》中輯錄出《九章算術》,并加?？?據(jù)其正本抄入《四庫全書》,據(jù)其副本擺印,收入《武英殿聚珍版叢書》。戴震將正負術中的“無人”改作“無入”,并寫了一個比較長的校勘記。他說:

“入”原本訛作“人”,下文及注并同。據(jù)注云“無人為無對也”,“無對”之說亦未分曉。釋方程者,專為遇空位起例,而左右兩行相對減,或正宜變?yōu)樨?或負宜變?yōu)檎?往往不得其義例。今考“同名相除,異名相異”者,如下實左右俱正,所減之余屬左行,則去右行;屬右行則去左行。其物品以正減正,余①此“余”,聚珍版訛作“負”,依下文及《四庫全書》本校正。在所去之行,為“正無入”;以負減負,余在所去之行,為“負無入”。以正從負為“正無入”,以負從正為“負無入”。負對空位而負數(shù)在所去之行,與以負減負同例。正對空位而正數(shù)在所去之行,與以正從負同例。此皆所謂“正無入負之,負無入正之”也?！爱惷喑?同名相益”者,如下實左右俱正,并為一數(shù),則無分于左右。其物品以負減正,余或左或右,為“正無入”;以正減負,余或左或右,為“負無入”。以正從正為“正無入”,以負從負為“負無入”。正對空位,與以負減正同例。負對空位,與以負從負同例。此皆所謂“正無人正之,負無人負之”也。由是言之,在所去之行則其數(shù)無入,而或左或右,以與無分于左右,合為一行。因亦謂之“無人”?！叭恕弊帜藗鲗懼`,明矣。今悉改正。[1,2]顯然,戴震反對劉徽的“無人為無對”之說,在將“人”改作“入”之后,認為“正無入負之,負無入正之”與“正無人正之,負無人負之”分別是附屬于它們前面兩句話的,是分別處理“同名相除,異名相異”與“異名相除,同名相益”的結果的,而不是分別獨立于前面兩句,處理 0-(±a)=?a,a>0與 0+(±a)=±a,a>0的情形的。此后不久,汪萊、李潢就對戴震的改動提出異議。汪萊說:

“無人”,“人”不誤?！盁o人”謂有空位也?！爱惷嘁妗?并右行于左行,則右行空。并左行于右行,則左行空。右行之正亦已無也,故負之。右行之負并于左行之正,左行本無負也,右行之負亦已無也,故正之。左并右亦然。“同名相除”,余在右行,而正正矣。若改歸左行,左行本空位,無正也,而右行之正亦已無,故負之。余在右行,而負負矣。若改歸左行,左行本無空位,無負也,而右行之空位亦已無,故正之。余在左亦然。正負者,物也,人物通稱耳。[9]

顯然,汪萊盡管不同意戴震將“人”改作“入”,但仍與戴震一樣,將“正無入負之,負無入正之”與“正無人正之,負無人負之”分別看成是附屬于它們前面兩句話的。他承認“無人”就是有空位,但是這種“空位”是由“異名相益”或“同名相除”產(chǎn)生的。李潢按云:

“無人”之“人”字原本作“人”,孔刻改為“入”,非是。

李潢以孔刻本②孔刻本通常稱為微波榭本,是孔繼涵于 1777年或其后在微波榭刊刻的戴震重校的《九章算術》。戴震在此本中將自己的大量?？泵俺湓?并作了若干修辭加工。孔繼涵又將此戴震校本冒充北宋秘書省刻本的翻刻本,并將刻書時間提前到乾隆三十八年(1773年)。上海古籍出版社 1990年影印了微波榭本。為底本,因此,他“于經(jīng)、注作‘入’,仍孔刻也”。而在自己撰寫的“說”中“作‘人’,遵原本也”。李潢說曰:

云“正無人負之,負無人正之”者,此條“同名相除”為例,正宜消正,今減行無正,則以正奪其位而為負;負宜消負,今減行無負,則以負奪其位而為正。云“正無人正之,負無人負之”者,此條“異名相除”為例,正宜消負,今減行無負,則以正奪其位而

為正;負宜消正,今減行無正,則以負奪其位而為負。“人”為相對也。減行直空位為

無對;或減行之數(shù)不足減,反減之,亦為無對,皆使消奪者居其位也。[10]

李潢將“無人”理解成“無對”,既認為減行中的空位為無對,又將減行中之不足減為無對。這與劉徽對“無對”的理解基本一致。

然而,汪萊、李潢的看法未引起后人的重視,自 1963年的錢校本[11],到 2004年的匯校本增補版[12],40余年間的各家?？北揪鶑拇餍！?/p>

3 “無人 ”辨

正負術中的“無人”就是“無偶”,“無對”。人:偶,伴侶?！肚f子·大宗師》:“彼方且與造物者為人,而游乎天地之一氣?！薄肚f子·應帝王》:“予方將與造物者為人?！薄肚f子·天運》:“丘不與化為人?！惫鶓c藩集釋引王引之云:“人,偶也。為人,猶言為偶?！盵13]郭象關于這幾處“為人”的解釋都是錯誤的?！痘茨献印R俗》云:“上與神明為友,下與造化為人?！盵14]“為人”亦訓“為偶”。因此,《九章筭術》正負術中的“無人”不誤。戴震認為“無人”系傳寫之誤,改作“無入”,是師心自用。劉徽說:“無人,為無對也。”完全符合“無人”的本義。戴震沒有理解“無人”的涵義,指責劉徽關于“無人”的解釋,是沒有道理的。這就是《九章筭術譯注》恢復大典本、楊輝本原文的根據(jù)。

劉徽說:在“無人”的情況下,“無所得減,則使消奪者居位也”,也就是 (1)、(2)式。

“無人”為“無對”。但是,在劉徽看來,不同符號的數(shù)也是“無對”。他說:“其異名者,非其類也。非其類者,猶無對也?！崩钿觋P于“無人”的理解含有空位與不足減兩種意義的論述,接近劉徽的思想。而戴震、汪萊、錢寶琮的理解都有失偏頗。

1 (清)戴震整理.九章算術[M].乾隆御覽《武英殿聚珍版叢書》本.中國科學技術典籍通匯·數(shù)學卷[Z].第 1冊.鄭州:河南教育出版社,1993.79—214.

2 (清)戴震整理.九章算術[M].四庫全書 (文淵閣本)[Z].臺北:商務印書館,1986.

3 郭書春.九章筭術譯注[M].上海:上海古籍出版社,2009.332—338.

4 郭書春.古代世界數(shù)學泰斗劉徽[M].濟南:山東科學技術出版社,1992.39—40.

5 郭書春.古代世界數(shù)學泰斗劉徽 (修訂本)[M].臺北:明文書局,1995.36—38.

6 錢寶琮主編.中國數(shù)學史[M].李儼錢寶琮科學史全集[Z].第 5卷.沈陽:遼寧教育出版社,1998.60—61.

7 (南宋)楊輝.詳解九章算法[M].宜稼堂叢書[Z].(清)道光二十年 (1842).

8 錢寶琮.戴震算學天文著作考[J].李儼錢寶琮科學史全集[Z].第 9卷.沈陽:遼寧教育出版社,1998.143—167.

9 (清)汪萊.校正《九章算術》及戴氏訂訛[M].衡齋遺書[Z].1892.

10 (清)李潢.九章算術細草圖說[M].中國科學技術典籍通匯·數(shù)學卷[Z].第 4冊.鄭州:河南教育出版社,1993年.1149—1152.

11 錢寶琮校點.九章算術[M].錢寶琮校點.算經(jīng)十書[Z],上冊.李儼錢寶琮科學史全集[Z].第 4卷.沈陽:遼寧教育出版社,1998.177—178.

12 郭書春匯校.九章筭術(增補版)[M].沈陽:遼寧教育出版社.臺北:臺灣九章出版社.2004.356—357.

13 (清)郭慶藩.莊子集釋[M].北京:中華書局,1961.

14 何寧.淮南子集釋[M].北京:中華書局,1998.