爆炸膨脹環(huán)一維應(yīng)力假定的分析與討論*

湯鐵鋼，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室，四川 綿陽 621900）

爆炸膨脹環(huán)一維應(yīng)力假定的分析與討論*

湯鐵鋼，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室，四川 綿陽 621900）

對爆炸膨脹環(huán)的運動過程和應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了理論分析，指出膨脹環(huán)在徑向變形過程中其厚度減小將引起內(nèi)外壁的速度差，對膨脹環(huán)內(nèi)外壁的速度差進(jìn)行了分析。由于膨脹環(huán)內(nèi)外壁速度差的存在必然造成復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，無法滿足一維應(yīng)力假定，由此推斷出實驗中利用外壁速度計算出的應(yīng)力要略大于膨脹環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)力。利用LS-DYNA三維動力學(xué)有限元程序驗證了理論分析結(jié)果，利用膨脹環(huán)外壁速度計算出的應(yīng)力比數(shù)值模擬給出的膨脹環(huán)內(nèi)平均應(yīng)力大1%左右。

固體力學(xué)；一維應(yīng)力；反向求解；膨脹環(huán)

1 引 言

利用爆炸膨脹環(huán)在一維應(yīng)力假定下研究高應(yīng)變率拉伸加載時材料的動態(tài)性能，膨脹環(huán)內(nèi)真實的應(yīng)力狀態(tài)是否嚴(yán)格滿足一維應(yīng)力狀態(tài)，決定了爆炸膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)的可用性。為了避開早期的沖擊加載和后期膨脹環(huán)失穩(wěn)引起的速度振蕩（或者說造成膨脹環(huán)內(nèi)應(yīng)力的不均勻性），實驗中通常選取膨脹環(huán)速度曲線的中間平滑段作為有效數(shù)據(jù)，認(rèn)為速度平滑階段即自由膨脹階段滿足一維應(yīng)力假定。從P.C.Johnson等［1］、C.R.Hoggatt等［2］最早運用爆炸膨脹環(huán)實驗測試工程材料的本構(gòu)關(guān)系數(shù)據(jù)，到R.H.Warnes等［3－4］首先利用激光速度干涉儀（VISAR）測量爆炸膨脹環(huán)的徑向速度，通過速度歷史處理應(yīng)力－應(yīng)變－應(yīng)變率關(guān)系，以及后來眾多研究者，不論是利用爆炸膨脹環(huán)實驗研究材料的動態(tài)性能［5－6］，還是討論膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)的應(yīng)用［7］，均在一維應(yīng)力假定條件下進(jìn)行。然而，在膨脹環(huán)運動速度平滑階段，是否嚴(yán)格滿足一維應(yīng)力假定，其近似程度如何，目前未見相關(guān)研究報道，但R.H.Warnes等［3］在研究中曾討論過膨脹環(huán)二維效應(yīng)的影響。

本文中，首先通過對膨脹環(huán)自由運動過程中的狀態(tài)進(jìn)行分析，指出一維應(yīng)力假定可能引起的偏差，理論預(yù)估偏差的大小，然后通過數(shù)值模擬定量計算膨脹環(huán)徑向運動時環(huán)內(nèi)的應(yīng)力不均勻性。利用數(shù)值模擬得到的膨脹環(huán)外壁速度歷史，結(jié)合一維應(yīng)力假定條件下推導(dǎo)出的公式反向計算膨脹環(huán)內(nèi)的應(yīng)力，并與數(shù)值模擬計算給出的膨脹環(huán)內(nèi)平均應(yīng)力進(jìn)行比較，確定一維應(yīng)力假定對膨脹環(huán)實驗研究帶來的理論偏差。

2 一維應(yīng)力假定分析

2.1 一維應(yīng)力假定

爆炸膨脹環(huán)實驗中的一維應(yīng)力假定為：膨脹環(huán)在自由飛行階段，膨脹環(huán)內(nèi)只有環(huán)向應(yīng)力，徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力為零。對于自由飛行階段的膨脹環(huán)，僅在環(huán)向應(yīng)力作用下作減速運動［8］。取膨脹環(huán)半徑r處的任一環(huán)向單元建立運動方程

金屬環(huán)在自由膨脹期間徑向應(yīng)力為零，得到周向應(yīng)力的運動方程

式中：r是金屬環(huán)徑向加速度。

在以上分析中，實際上包含了如下假設(shè)：

（1）膨脹環(huán)在自由飛行階段環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力為零，環(huán)向應(yīng)力在膨脹環(huán)的截面上均勻分布；

（2）忽略高階小量，相當(dāng)于假定膨脹環(huán)外徑R與內(nèi)徑r近似相等；膨脹環(huán)內(nèi)外壁的運動速度相等。

2.2 近似假定帶來的偏差

首先對膨脹環(huán)的運動進(jìn)行分析。如圖1所示，假設(shè)膨脹環(huán)從時刻t0開始自由膨脹，從時刻t0到t1，膨脹環(huán)的外壁運動距離為s1，內(nèi)界面運動距離為s2。由于膨脹環(huán)的厚度減小，s2＞s1，所以內(nèi)界面的運動速度高于外壁的運動速度，于是在膨脹環(huán)的截面存在一個速度梯度，必然導(dǎo)致截面上應(yīng)力的不均勻。記外壁速度為，內(nèi)壁速度為，分別可用下面的公式表達(dá)

式中：s2－s1即為膨脹環(huán)的壁厚變化量。

圖1 膨脹環(huán)運動時的速度梯度示意圖Fig.1Sketch of velocity gradient of an expanding ring

以直徑40mm、厚1mm的膨脹環(huán)為例，假設(shè)膨脹環(huán)在20μs內(nèi)徑向膨脹10%，即s1＝2.1mm，在材料不可壓縮的條件下，其截面面積也相應(yīng)縮小10%，膨脹環(huán)的厚度減小約5%，即s2－s1＝0.05mm。由公式（5）可知，厚度變化給內(nèi)外壁速度帶來的相對誤差約為2.5%。

由σθ＝－ρ0rr¨知，應(yīng)力幅值與速度大小無關(guān)，只與速度斜率（即加速度）相關(guān)，同時應(yīng)力幅值與r相關(guān)。對于內(nèi)外壁而言，不僅半徑是不相等的，速度的斜率也是不相等的，所以內(nèi)外壁位置的環(huán)向應(yīng)力也不相等。

3 數(shù)值模擬分析

3.1 計算模型

膨脹環(huán)在運動過程中，由于內(nèi)外壁速度差的存在，應(yīng)力將不是理想均勻分布。應(yīng)力的不均勻會影響到實驗數(shù)據(jù)的分析。實驗中測試的是膨脹環(huán)自由面的速度或者位移，由此計算出的應(yīng)力能否表征膨脹環(huán)的整個截面內(nèi)的平均應(yīng)力，需要通過數(shù)值模擬計算進(jìn)行定量分析。

利用LS-DYNA三維動力學(xué)有限元程序?qū)Ρㄅ蛎洯h(huán)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行模擬計算分析。計算模型如圖2所示，由里到外依次為炸藥、裝藥容器、驅(qū)動器、膨脹環(huán)。中心柱形裝藥為PETN粉末，密度1.05g／cm3，直徑10mm，采用JWL狀態(tài)方程；裝藥容器厚3mm，材料為PMMA；驅(qū)動器厚12mm，材料為20鋼；膨脹環(huán)內(nèi)徑40mm、厚1mm、高1mm，材料為無氧銅（TU1）。20鋼和無氧銅均采用J-C本構(gòu)模型，J-C本構(gòu)模型參數(shù)見表1［8］，表中ρ為密度，cp為比定壓熱容，E為楊氏模量，ν為泊松比，A為屈服應(yīng)力，B為硬化常數(shù)，n為硬化指數(shù)，C為應(yīng)變率常數(shù)，m為熱軟化指數(shù)。

膨脹環(huán)截面單元和節(jié)點的選取如圖3所示，選取從膨脹環(huán)內(nèi)壁到外壁的4個單元：1～4，選取內(nèi)外壁上的2個節(jié)點a和b。

表1 20鋼和無氧銅的本構(gòu)模型參數(shù)Table 1 Construction parameters for 20steel and oxygen-free copper

圖2 計算模型示意圖Fig.2 Sketch of computation model

圖3 膨脹環(huán)截面單元號和節(jié)點號示意圖Fig.3 Number of elements and nodes on the ring section

3.2 計算結(jié)果

膨脹環(huán)內(nèi)外壁的速度歷史如圖4所示，節(jié)點a位于膨脹環(huán)的內(nèi)壁，節(jié)點b位于膨脹環(huán)外壁。沖擊加載時，膨脹環(huán)內(nèi)壁的起跳速度要遠(yuǎn)大于外壁的速度，這是爆炸膨脹環(huán)實驗的特點，沖擊加載時膨脹環(huán)內(nèi)壁速度與驅(qū)動器的外壁速度一致，而外壁速度取決于入射沖擊波的強度及側(cè)向稀疏的影響。不考慮早期的沖擊加載階段，膨脹環(huán)在5.5μs時刻與驅(qū)動器完全分離，在自由膨脹階段，10μs時刻，膨脹環(huán)內(nèi)壁速度為102.21m／s，外壁速度為100.09m／s，相差2.1%，與2.2節(jié)中分析的2.5%基本一致。但到50μs時刻，內(nèi)壁速度為45.32m／s，外壁速度為45.06m／s，相差0.6%。隨著膨脹環(huán)的膨脹，其半徑在增加，而截面尺寸變化對速度變化的貢獻(xiàn)在逐步減小，同時由于膨脹環(huán)出現(xiàn)頸縮等局部塑性變形現(xiàn)象，非頸縮位置膨脹環(huán)的截面尺寸不再明顯變化，因此引起的內(nèi)外壁速度差在減小。

從速度曲線看，10μs以后可以認(rèn)為是自由膨脹，那么就應(yīng)該滿足一維應(yīng)力假定。從圖5～7的應(yīng)力歷史看，10μs以后膨脹環(huán)截面內(nèi)徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力基本上趨于0，均可以忽略，此時膨脹環(huán)內(nèi)只有環(huán)向拉應(yīng)力，可以認(rèn)為滿足一維應(yīng)力假定。但在45μs以后，徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力開始偏離0軸，可以認(rèn)為是膨脹環(huán)內(nèi)局域塑性變形造成的。

圖4 膨脹環(huán)內(nèi)外壁節(jié)點的速度歷史Fig.4 Velocity profile of inner and outer surface nodes of an expanding ring

圖5 膨脹環(huán)截面各單元的環(huán)向應(yīng)力歷史Fig.5 Hoop stresses of different position elements on an expanding ring section

圖6 膨脹環(huán)截面各單元的徑向應(yīng)力歷史Fig.6 Radial stresses of different position elements on an expanding ring section

圖7 膨脹環(huán)截面各單元的軸向應(yīng)力歷史Fig.7 Axial stresses of different position elements on an expanding ring section

從環(huán)向應(yīng)力歷史（圖5）看，不同位置單元的環(huán)向應(yīng)力是不相等的，這證明了前面分析中認(rèn)為由于速度差的存在導(dǎo)致應(yīng)力分布不均勻的結(jié)論。同時看到，不同位置單元的環(huán)向應(yīng)力的大小隨著時間而改變，任何單元的應(yīng)力都不適合描述膨脹環(huán)截面上的應(yīng)力，最好的方法是采用平均應(yīng)力來描述。

既然膨脹環(huán)截面上的應(yīng)力不均勻，那么在膨脹環(huán)實驗中利用外壁速度求解應(yīng)力時，即認(rèn)為求出的應(yīng)力是膨脹環(huán)截面上的平均應(yīng)力。實際上，上面的分析已經(jīng)證明，利用公式（4）對膨脹環(huán)外壁速度進(jìn)行求解得到的應(yīng)力可能偏大，主要原因在于膨脹環(huán)外壁的半徑大于平均半徑，而速度斜率相差很小。利用膨脹環(huán)外壁速度求解出的應(yīng)力，與膨脹環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)力到底存在多大的偏差，關(guān)系到實驗數(shù)據(jù)的精度，有必要進(jìn)行進(jìn)一步的定量分析。

3.3 應(yīng)力的反向求解

為了定量分析利用膨脹環(huán)外壁速度求解膨脹環(huán)內(nèi)平均應(yīng)力帶來的偏差，利用計算獲得的速度數(shù)據(jù)進(jìn)行反向求解。由于利用速度反向求解應(yīng)力時只涉及膨脹環(huán)材料的初始密度，沒有不確定的參數(shù)，可以認(rèn)為此種處理結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的處理是一致的。利用公式（4）對圖4中節(jié)點b的速度歷史進(jìn)行求解，速度歷史取10μs以后的數(shù)據(jù)，求出的應(yīng)力歷史以及數(shù)值模擬計算獲得的膨脹環(huán)截面上平均等效應(yīng)力、平均環(huán)向應(yīng)力見圖8。

由圖8可以看出，等效應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力在10～45μs內(nèi)完全重合，45μs以后開始出現(xiàn)偏離，與徑向應(yīng)力、軸向應(yīng)力偏離0軸的時間是一致的，由此可以判定45μs以后不再嚴(yán)格滿足一維應(yīng)力假定，這主要是由于拉伸后期膨脹環(huán)內(nèi)出現(xiàn)頸縮等不均勻現(xiàn)象。通過反向求解出的應(yīng)力與平均應(yīng)力的比較發(fā)現(xiàn)，在10～11μs內(nèi)，求解出的應(yīng)力偏離較大，原因可能是此時膨脹環(huán)內(nèi)應(yīng)力波沒有完全消失，處于應(yīng)力均勻化階段，若不求解出應(yīng)力，單純從膨脹環(huán)的速度歷史很難判定此時刻膨脹環(huán)不處于自由膨脹階段。從11μs以后，反向求解出的應(yīng)力與膨脹環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)力基本上一致，但始終略高于平均應(yīng)力，高出幅度范圍為0.6%～1.7%。這一偏差與實驗數(shù)據(jù)的精度無關(guān)，是由處理膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)時所做假定造成的。

4 結(jié) 論

通過分析討論，可以得出以下幾點結(jié)論：

（1）理論分析表明膨脹環(huán)在膨脹時其截面尺寸的變化會引起內(nèi)外壁速度差，從而導(dǎo)致膨脹環(huán)截面內(nèi)應(yīng)力分布的不均勻；數(shù)值模擬結(jié)果不僅證實了這一結(jié)論，同時發(fā)現(xiàn)膨脹環(huán)各位置單元的應(yīng)力變化規(guī)律也不一致；

（2）理論分析認(rèn)為通過膨脹環(huán)外壁速度歷史求解出的應(yīng)力可能略高于膨脹環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)力，利用數(shù)值模擬獲得的速度歷史進(jìn)行反向求解，求出的應(yīng)力幅值高出膨脹環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)力0.6%～1.7%，這一偏差完全來源于膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理時的假定。

研究結(jié)果可為爆炸膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果的修正提供參考。

［1］Johnson P C，Stein B A，Davis R S.Measurement of dynamic plastic flow properties under uniform stress［C］∥Symposium on the Dynamic Behavior of Materials.ASTM Special Publication，1963：195-198.

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［8］湯鐵鋼，李慶忠，劉倉理，等.爆炸膨脹環(huán)實驗數(shù)據(jù)處理方法討論［J］.爆炸與沖擊，2010，30（5）：505-510.

TANG Tie-gang，LI Qing-zhong，LIU Cang-li，et al.A discussion of data processing techniques for expanding ring test［J］.Explosion and Shock Waves，2010，30（5）：505-510.

Discussion about one-dimensional stress presume for explosion expanding ring test＊

TANG Tie-gang，LI Qing-zhong，CHENG Yong-tao，TONG Hui-feng，LIU Cang-li
（National Key Laboratory of Shock Wave and Detonation Physics，Institute of Fluid Physics，China Academy of Engineering Physics，Mianyang621900，Sichuan，China）

A theory analysis of movement and stress state of explosion expanding ring has been carried out.The results show that one-dimensional stress presume may bring out the departure of velocity and stress of ring.The departure of velocity and stress has been estimated by theory analysis.The stress calculated by velocity of outer surface of ring is larger than the average stress on the section of ring.The numerical simulation has validated the results from theory analysis，and determined the range of stress departure carried by one-dimensional stress presume.

solid mechanics；one-dimensional stress；reverse calculation；expanding ring

13July 2009；Revised 13November 2009

TANG Tie-gang，ttg1974＠163.com

（責(zé)任編輯 曾月蓉）

O347 國標(biāo)學(xué)科代碼：130·15

A

1001-1455（2010）06-0577-06

2009-07-13；

2009-11-13

國家自然科學(xué)基金項目（10872187）；沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室基金項目（9140C6702010903）

湯鐵鋼（1974— ），男，博士，副研究員。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（10872187）