模糊Γ-環(huán)的反模糊理想的研究

周 敏，向大晶

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

1 預備知識

定義1[1-3]如果M={x,y,z,…}和Γ={α,β,γ,…}是加法交換群,且滿足下列條件:

(i)xαy∈M;

(ii)(x+y)αz=xαz+yαz,x(α+β)y=xαy+xβy,xα(y+z)=xαy+xαz;

(iii)(xαy)βz=xα(yβz),?x,y,z∈M,α,β∈Γ.

則稱M為Γ-環(huán).

定義2[1]設A是Γ-環(huán)M的一個子集，如果A是M的一個加法子群且MΓA={xαy|x∈M,α∈Γ} (或AΓM)包含于A中，則稱A為M的一個左(右)理想.如果A既是M的左理想又是右理想，則A叫做M的理想.

定義3[4-6]設μ是論域S到[0,1]的一個映射，即：

μ∶S→[0,1],x→μ(x)

則稱μ是S上的模糊集.

引理1[1,7,8]如果μ,ν是S上的模糊集，則?x∈S,有:

μ=ν?μ(x)=ν(x)

μ?ν?μ(x)≤ν(x)

(μ∪ν)(x)=max{μ(x),μ(y)}

(μ∩ν)(x)=min{μ(x),μ(y)}

一般地，對S的一族模糊集{μi|i∈I},若?x∈S,定義：

定義4[3]若μ是集合S的一個模糊集，t∈[0,1]，記：μt={x∈S|μ(x)≥t}

則μt叫做μ的t-水平集.

2 主要結果

由于Γ-環(huán)M的反模糊左、右理想的對稱性，本文僅對“左”的情形展開討論.所得結論對“右”的情形仍然成立.為討論的方便，記Γ-環(huán)M的零元為0.

定義5 設μ是Γ-環(huán)M的一個模糊集，稱μ為Γ-環(huán)M的一個反模糊左(右)理想，如果?x,y∈M,α∈Γ，滿足:

(i)(x-y)≤max{μ(x),μ(y)};

(ii)(xαy)≤μ(y)(μ(xαy)≤μ(x)).

一個Γ-環(huán)M的一個模糊集μ叫做M的一個反模糊理想，如果μ既是M的反模糊左理想，又是M的反模糊右理想.

易知，μ是M的反模糊理想當且僅當：

(iii)(x-y)≤max{μ(x),μ(y)},?x,y∈M,α?Γ

(iv)μ(xαy)≤min{μ(x),μ(y)}.

定理1 設μ是Γ-環(huán)M的一個反模糊左(右)理想，則：

(v)μ(0)≤μ(x);

(vi)μ(-x)=μ(x);

(vii)如果μ(x-y)=μ(0)，則μ(x)=μ(y),?x,y∈M.

證明?x∈M,μ(0)=μ(x-x)≤max{μ(x),μ(x)}=μ(x).即得條件(v).

由條件(v)?x∈M,μ(-x)=μ(0-x)≤max{μ(0),μ(x)}=μ(x),由x得任意性，可將x換成-x，于是有μ(x)≤μ(-x),所以μ(-x)=μ(x)，故條件(vi)成立.

設μ(x-y)=μ(0)，?x,y∈M，則：

μ(x)=μ(x-y+y)≤max{μ(x-y),μ(y)}=max{μ(0),μ(y)}=μ(y).

因為μ(y-x)=μ(x-y)，同理可證μ(y)≤μ(x)，所以μ(x)=μ(y)，條件(vii)獲得證明.

定理2 設μ是Γ-環(huán)M的一個反模糊左(右)理想，則集合A={x∈M|μ(x)=μ(0)}是M的一個左(右)理想.

證明設?x,y∈A,則μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}=max{μ(0),μ(0)}=μ(0).又x-y∈M,由條件(v)知μ(0)≤μ(x-y)，所以μ(x-y)=μ(0)，因此，x-y∈A. 這說明A是M的一個加法子群.

假設?u∈A,α∈Γ,x∈M,則由條件(ii)μ(xαu)≤μ(u)=μ(0)，由條件(v)μ(0)≤μ(xαu)，所以μ(xαu)=μ(0)，即xαu∈A,由定義知，A是M的左理想.

定理3 若{μi|i∈I}是Γ-環(huán)M的一族反模糊左理想, 且μi(x)關于x單調，則(∩μi)(x)仍然是M的一個反模糊左(右)理想.

證明設{μi|i∈I}是Γ-環(huán)M的一族反模糊左理想，則?x,y∈M,α∈Γ,

定義6 設μ是S上的模糊集，t∈[0,1],則集合μt={x∈S|μ(x)≤t}叫做μ的反水平子集.

定理4μ是Γ-環(huán)M的一個模糊集，則μ是M的反模糊左(右)理想，當且僅當μ的反水平子集μt(這里t∈Im(μ))是M的左(右)理想.

證明設μ是M的一個反模糊左理想，則任意x,y∈μt，μ(x)≤t,μ(y)≤t，因為μ是M的一個反模糊左理想，于是μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}≤t，所以x-y∈μt，因此μt是M的一個加法子群.又設x∈M,α∈Γ,y∈μt，則μ(xαy)≤μ(y)≤t，因而xαy∈μt，由定義知，μt是M的一個左理想.

反之，若μt是M的一個左理想，則需證明條件(i)和條件(ii)成立.用反證法：若條件(i)不成立，則μ(x-y)>max{μ(x),μ(y)},?x,y∈M,設ti,tj∈Im(μ),且timax{μ(x),μ(y)}=tj，從而x-y?μtj，矛盾，所以假設不成立.

同理，若條件(ii)不成立，則固定α∈Γ,?x,y∈M,使得μ(xαy)>μ(y).設si,sj∈Im(μ)，siμ(y)=sj，即xαy?μsj，矛盾，所以假設不成立.

定理5 設A是Γ-環(huán)M的一個左(右)理想，則?t∈(0,1)，存在M的一個反模糊左(右)理想μ，使得μt=A.

證明設μ是M的一個模糊集，定義：

這里t是(0,1)上的一個固定的數(shù)，則易知μt=A.設?x,y∈M,α∈Γ,則：

1)若x,y∈A,則x-y∈A,μ(x)=t,μ(y)=t,

μ(x-y)=t≤max{μ(x),μ(y)}=t.

2)若x,y?A,則x-y?A，μ(x)=1,μ(y)=1，

μ(x-y)=1≤max{μ(x),μ(y)}=1.

3)若x∈A,y?A,則x-y?A,μ(x)=t,μ(y)=1，

μ(x-y)=t≤max{μ(x),μ(y)}=1.

4)若x?A,y∈A,同上討論.

綜上，μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}.

另外，?y∈M,若y∈A，因A是M的左理想，則xαy∈A,從而:μ(xαy)=t=μ(y)；若y?A,則μ(y)=1，從而μ(xαy)≤μ(y).因此，μ是M的一個反模糊左理想.

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