內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬必

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

文獻(xiàn)[1]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)的概念，文獻(xiàn)[2-5]引出了B-Z-空間、共軛Z-空間與共軛Z-算子，文獻(xiàn)[6,7]引入了內(nèi)積Z-空間與內(nèi)積H-Z-空間 ,文獻(xiàn)[8-10]引入了內(nèi)積H-Z-空間中的正交投影、投影算子和一·五線性泛函的概念；在此基礎(chǔ)上，本文提出了內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子的概念，并將泛函分析學(xué)中希爾伯特空間有關(guān)共軛Z-算子的性質(zhì)移植到內(nèi)積H-Z-空間之中.并討論內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子的性質(zhì).

定義1 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，T∈RZ(H)，若存在T*∈RZ(H),使得(Tx,y)=(x,T*y)(?x,y∈H)，稱T*為T的共軛Z-算子.

注：①由文獻(xiàn)[10]知，對于任意連續(xù)線性算子T∈Rz(H)，相應(yīng)于T的共軛算子T*存在；②在文獻(xiàn)[8,9]中討論過內(nèi)積H-Z-空間中的自共軛算子即滿足T*=T的共軛Z-算子;③內(nèi)積H-Z-空間中的自共軛算子也稱為自共軛Z-算子或稱為自伴Z-算子.

定理1 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，A∈RZ(H),以下各結(jié)論等價(jià)：

(i)A是自共軛Z-算子;(ii)φ(x,y)=(Ax,y)是對稱(Hermite)的.若H是復(fù)空間，則以上還等價(jià)于：

(ii)φ(x,x)=(Ax,x)為實(shí)數(shù)(?x∈H).

現(xiàn)在設(shè)H是復(fù)空間，證明(iii)?(ii).實(shí)際上利用極化恒等式可得到:

4φ(x,y)=4(Ax,y)=

(A(x+y),x+y)-(A(x-y),x-y)+i(A(x+iy),x+iy)-i(A(x-iy),x-iy)=

φ(x+y,x+y)-φ(x-y,x-y)=

φ(x+y,x+y)-φ(x-y,x-y)+iφ(x+iy,x+iy)-iφ(x-iy,x-iy).

定理2 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，T∈RZ(H)是自共軛Z-算子，則:

(1)

由T是自共軛Z-算子，計(jì)算可知：

(T(x+y),x+y)-(T(x-y),x-y)=2(Tx,y)+2(Ty,x)=2(Tx,y)+2(y,Tx)=4Re(Tx,y).

|(Tx,y)|=eiθ(Tx,y)=(T(eiθx),y)(‖eiθx‖2+‖y‖2)=(‖x‖2+‖y‖2).

定理3 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，A,B∈RZ(H)，則：

(iii)A,B∈RZ(H)故AB∈RZ(H)，(AB)*存在.?x,y∈H，(ABx,y)=(Bx,A*y)=(x,B*A*y),故(AB)*=B*A*.

[1] 王國俊，白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(1)：1-10.

[2] 楊萬必，秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)；自然科學(xué)版，2006，25(1)：97-99.

[3] 楊萬必，李永亮.關(guān)于Z-空間的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，23(4)：330-331.

[4] 楊萬必.自然嵌入Z-算子與自反Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)自然版2007，25(3)：330-331.

[5] 楊萬必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，26(1)：12-14.

[6] 楊萬必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì) [J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，26(3)：330-331.

[7] 楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，27(2)：187-189.

[8] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的正交投影及其性質(zhì)[J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2009，26(4)：383-385.

[9] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J]. 吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，30(5)：21-25.

[10] 楊萬必,秦宣華.內(nèi)積H-Z-空間中的一·五線性泛函及其性質(zhì)[J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，27(2):143-146.

[11] 劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001：69-76，151-160，194-205.