一類食餌捕食系統(tǒng)的持久生存性

陳紅兵，何萬(wàn)生，劉曉君

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

一類食餌捕食系統(tǒng)的持久生存性

陳紅兵，何萬(wàn)生，劉曉君

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

建立了一類3種群食餌捕食時(shí)滯系統(tǒng)，該系統(tǒng)由兩類食餌和一類捕食者組成，并且能很好地反映捕食者與食餌之間的相互關(guān)系。接著研究了該系統(tǒng)解的存在性，該系統(tǒng)的解在滿足初值條件下存在并且保持恒正。接著又研究了該系統(tǒng)的一致持久性問(wèn)題，并給出該系統(tǒng)一致持久生存的充分條件和證明。最后舉例論證了該結(jié)論的可行性。

食餌捕食系統(tǒng);持久性;模型

許多文獻(xiàn)都研究了兩種群之間捕食與被捕食、相互競(jìng)爭(zhēng)、互惠共存的模型，并且給出周期解存在性及全局漸近穩(wěn)定性的充分條件。

［1］、［2］研究了一類恒化器數(shù)學(xué)模型

其中，N和P分別表示營(yíng)養(yǎng)動(dòng)物和浮游動(dòng)物的濃度，并證明了該系統(tǒng)的一致持久性。

參考文獻(xiàn)［3］研究了如下系統(tǒng)的持久性。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文我們建立如下系統(tǒng)。

其中x1(t)、x2(t)表示t時(shí)刻食餌種群的密度，且x1(t)、x2(t)為相互獨(dú)立的兩種群。y(t)為 t時(shí)刻捕食者種群的密度，且滿足 Lotka-Volterra模型。x1(t)、x2(t)分別滿足Logistic模型。

1 一致持久性

引理 1［4］R3+是系統(tǒng)(1)的正向不變集。

證明 系統(tǒng)(1)等價(jià)于

當(dāng) x1(0)= φ1(0)>0，x2(0)= φ2(0)>0，y(0)= ψ(0)>0時(shí)，必有 x1(t)>0，x2(t)>0，y(t)>0。

所以，該系統(tǒng)滿足正初值的解保持恒正。

所以，R3+是系統(tǒng)(1)的正向不變集。

定義1［5］對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)，如果存在一個(gè)緊區(qū)域DIntR3+，使得系統(tǒng)的任何滿足初始條件的解(x1(t)、x2(t)、y(t))都最終進(jìn)入并保留在緊區(qū)域D內(nèi)，則稱該系統(tǒng)是一致持久的。

定理1 設(shè) (x1(t)、x2(t)、y(t))是生態(tài)系統(tǒng)滿足初值條件的解，若滿足下列條件

則系統(tǒng)是一致持久的。

證明 首先討論上界

由引理1知R3+是系統(tǒng)(1)的正向不變集，則對(duì)于系統(tǒng)的任一正解(x1(t)、x2(t)、y(t))，由已知有(t)≤x1(t)(a1－b1x1(t))，則有

2 舉例

［參考文獻(xiàn)］

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［2］ 付桂芳，馬萬(wàn)彪.由微生物方程描述的微生物連續(xù)培養(yǎng)動(dòng)力系統(tǒng)［J］.微生物通報(bào)，2004，31(6):128－131.

［3］ 陳榮福，趙明.一類捕食者與被捕食者模型的持久性與穩(wěn)定性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23(2):289－294.

［4］ 孟新柱，董煥河，張寧.一類 Lotka－Volterra捕食 －競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)的概周期解［J］.數(shù)學(xué)研究，2004，37(4):387－393.

［5］ Chen F D，Shi J L，Chen X X.Persistence and global stability for two－species nonautonomous predator－prey system with diffusion and time delay［J］.Annal ofDifferential Equation，2004 20(2):111 －117.

［6］ 徐建華.一類時(shí)滯積分方程概周期解的存在性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(2):251－256.

The Persistence of a Predator-prey Model

CHEN Hong-bing，HE Wan-sheng，LIU Xiao-jun

(School of Mathematics and Statistics Tianshui Normal University，Tianshui Gansu 741001，China)

A new prey-predator system is proposed，which is constituted of two prey and one predator，and the prey-predator system is presented by this modle.Next，the existence of the positive solution for this system is studied.In addition，the persistence of this mode is given and proved.The example is given to illustrate the results.

prey-predator system;persistence;model

TP 13

A

1005-0310(2010)01-0065-02

2009－09－25

甘肅省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(096RJZE106)

陳紅兵(1983—)，女，甘肅省靜寧人，天水師范學(xué)院助教，碩士，研究方向?yàn)閼?yīng)用微分方程。

(責(zé)任編輯 李亞青)