橢球約束下線性模型協(xié)方差擾動的影響分析

郝會兵,胡家喜

(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北孝感 432000)

橢球約束下線性模型協(xié)方差擾動的影響分析

郝會兵,胡家喜

(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北孝感 432000)

討論了橢球約束下協(xié)方差陣擾動模型和數(shù)據(jù)刪除模型對線性回歸參數(shù)的影響問題,給出了在橢球約束下G-M模型與橢球約束下一般線性模型及在橢球約束下數(shù)據(jù)刪除模型中回歸參數(shù)的估計之間的關(guān)系。

橢球約束;協(xié)方差陣擾動;線性模型

1 引言

考慮 Gauss-Markov(G-M)模型

其中 X是已知的n×p列滿秩的矩陣,Y為n×1觀測向量,β為p×1的未知參數(shù)向量,ε為n×1隨機(jī)誤差向量,σ2為未知參數(shù)。文獻(xiàn)[1-2]分別對G-M模型(1)剔除一組或若干組觀測值的擾動方式作了較為詳細(xì)的討論。

當(dāng) G-M條件不滿足時,模型(1)就變成一般的線性模型

其中V≥0,文獻(xiàn)[3-5]研究了模型(2)參數(shù)的估計與回歸診斷問題,得到了一系列的結(jié)果。本文討論在橢球約束條件下滿足G-M條件的回歸模型

與橢球約束條件下一般的回歸模型

及橢球約束條件下數(shù)據(jù)刪除的回歸模型

之間的關(guān)系及影響分析問題,得到一些有意義的理論結(jié)果。其中 N為大于0的 p階對角陣,J={i1,i2,…,im}為指標(biāo)集,Y(J),X(J)和ε(J)分別為模型(5)中Y,X與ε刪除指標(biāo)集J中各行后得到的向量或矩陣。

由文獻(xiàn)[6-7]可知,在模型(3)中,考慮

1)若S(β)的無條件極小值滿足約束條件β′Nβ=1,則該極小值就是我們的所求解。

2)若 S(β)的無條件極小值滿足β′Nβ＞ 1,則極小值一定在橢球邊界上取得,所以約束問題轉(zhuǎn)化為在橢球面上求解的約束問題

所以實際上我們在考慮模型(3)、(4)和(5)時可將不等號改為等號來研究。

2 主要引理及結(jié)論

引理1[1]模型(1)中β的最小二乘估計^β為

引理2[3]模型(2)中β的廣義最小二乘估計

引理3模型(3)中β的嶺型估計為

證明由文獻(xiàn)[6]可知

引理4模型(4)中β的廣義嶺型估計(V)為

證明由文獻(xiàn)[6]可知

由上述引理,可得如下定理:

定理1假設(shè)在模型(2)中,若矩陣可逆,則

其中 T=X′X,H=X(X′X)-1X′

證明因為V=In+,由In-(In+及引理2,有

定理2模型(4)中,若矩陣可逆,則

證明因為由引理4與定理1可得

定理3模型(4)中,若V ＞0,V =In+則有

其中 dj為第j個元素為1,其余元素都是0的列向量。

證明因為

而

且

故

同時

所以

且 wj→0,j∈J時,方差擾動就等價于刪除了J中的數(shù)據(jù)。

推論1模型(4)中,若

0＜ wj≤1,j∈J,則有

其中 XJ,分別是由 X,在J中各行所構(gòu)成,IJ為 m 階單位陣,

證明不失一般性,不妨設(shè) J={1,2,…,m},則

同時有

與

所以

故

推論2若j∈J,則有

[1] 陳希孺,王松桂.近代回歸分析[M].合肥:安徽教育出版社,1987.

[2] Cook R D,Weisberg S.Characterization of an empirical influence functions for detecting influential cases in regression[J].Technometrics,1980,22(5):495-508.

[3] 王松桂.線性模型的理論及其應(yīng)用[M].合肥:安徽教育出版社,1987.

[4] Rao C R.Linear Statistical inference and its Applications[M].New York:1973.

[5] 朱秀娟,李寧.協(xié)方差擾動模型的影響分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,1993,9(4):365-370.

[6] 楊婷,楊虎.橢球約束與廣義嶺型估計[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2003,19(3):232-236.

[7] 楊蓮,楊虎.橢球約束下線性模型的[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2007,24(1):60-64.

Influence Analysis of Covariance Matrix Disturbance in Linear Model under Ellipsoidal Restriction

Hao Huibing,Hu Jiaxi
(School of Mathematics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,we study the issue of the influence with covariance matrix disturbing model and data missing data.The relationship of the regression parameter among some linear models with respect to ellipsoidal restricted conditions,such as G-M model,deneralized linear model and linear model with deleted data,ismade explicitly.

ellipsoidal restriction;covariance matrix disturbance;linear model

O211.1

A

1671-2544(2010)03-0034-03

2010-04-02

郝會兵(1979— ),男,湖北云夢人,孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師,碩士。胡家喜(1957— ),男,湖北漢川人,孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授。

(責(zé)任編輯:周 游)