滲透數(shù)學(xué)思想 優(yōu)化解題思路

陳秋東

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提煉和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移并廣泛用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中。它對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對(duì)培養(yǎng)能力起著決定性的作用。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要途徑；是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角；是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的突破口，是優(yōu)化學(xué)生解題思路的有效途徑；是未來社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然結(jié)果。

一、滲透對(duì)應(yīng)思想，訓(xùn)練解題思路

對(duì)應(yīng)是人們對(duì)兩個(gè)集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法。對(duì)應(yīng)思想，在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常用到。

1.量與量的對(duì)應(yīng)：在應(yīng)用題中也常見，如行程問題，客車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于客車所行的路程，而貨車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于貨車所行的路程。

2.數(shù)形對(duì)應(yīng)：如教11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)，教師可適時(shí)地在黑板上給出了一條數(shù)軸，借助數(shù)軸使學(xué)生對(duì)讀數(shù)、寫數(shù)、基數(shù)、序數(shù)、后繼數(shù)等概念分得清清楚楚。

3.量率對(duì)應(yīng)：這在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中十分常見，一個(gè)具體的數(shù)量對(duì)應(yīng)于一個(gè)抽象的分率，找出數(shù)量和分率的對(duì)應(yīng)恰是解題之關(guān)鍵。

4.函數(shù)對(duì)應(yīng)。近代數(shù)學(xué)中，函數(shù)的定義是建立在集合基礎(chǔ)上，它把變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系，歸納為兩集合中元素間的對(duì)應(yīng)。

教學(xué)時(shí)要根據(jù)具體的問題進(jìn)行分析，訓(xùn)練解題思路。

二、滲透假設(shè)思想，激活解題思路

在應(yīng)用題教學(xué)中，有些題目按一般的分析方法往往找不到解題的思路，如果換個(gè)角度思考，做一個(gè)假設(shè)，問題就迎刃而解。如：小明有2分和5分的硬幣共20個(gè)，幣值是0.58元，那么其中2分和5分兵硬幣各多少個(gè)？分析時(shí)可以這樣想：假設(shè)20個(gè)都是5分的，總幣值是1元，多出了0.42元，這是因?yàn)榘?分的當(dāng)作5分的來計(jì)算，每個(gè)2分的都多算了3分，0.42元里面包含多少個(gè)3分就是有多少個(gè)2分的硬幣。我國(guó)古代的雞兔同籠問題，和尚分饅頭古題，牛頓的牛吃草問題也都是按假設(shè)思想解答的。

在一些計(jì)算中也可以用假設(shè)思想。如計(jì)算586-99，可以假設(shè)減去的是100，差是486，再把多減的1加上，結(jié)果就是487。在教學(xué)中滲透假設(shè)思想，能激活學(xué)生的解題思路。

三、滲透極限思想，體驗(yàn)解題思路

在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)“無限”思想。

例如，在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容，在教學(xué)1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的。在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)線是可以無限延長(zhǎng)的。

再如，在“圓的面積”這節(jié)內(nèi)容給出圓面積的求法：先把圓分成相等的兩部分，再把兩個(gè)半圓分成若干等分，然后把它剪開，再拼成近似于長(zhǎng)方形的圖形。如果把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近于長(zhǎng)方形。這時(shí)長(zhǎng)方形的面積就越接近圓的面積了。這部分內(nèi)容應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到這是一種用“無限逼近”的方法來求得圓面積的。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生動(dòng)手剪拼，親身體驗(yàn)“無限逼近”的解題思路。

四、滲透轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化解題思路

轉(zhuǎn)化思想是未知領(lǐng)域向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，因此，滲透時(shí)必須要求學(xué)生具有一定的基礎(chǔ)知識(shí)和解決相似問題的經(jīng)驗(yàn)。一般說來，基礎(chǔ)知識(shí)越多，經(jīng)驗(yàn)越豐富，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，越容易溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，完成未知向已知的轉(zhuǎn)化。例如：“除數(shù)是小數(shù)除法”是滲透轉(zhuǎn)化思想的極好教材，教學(xué)中只要將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，問題就迎刃而解。但將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)必須以商不變性質(zhì)為基礎(chǔ)，因此教學(xué)時(shí)先復(fù)習(xí)商不變性質(zhì)。為除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法奠定了基礎(chǔ)。例如，在學(xué)生掌握長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算公式后，出示一個(gè)不規(guī)則的鐵塊，讓學(xué)生求出它的體積。學(xué)生們頓時(shí)議論紛紛，認(rèn)為不能用長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算公式直接計(jì)算。但學(xué)生會(huì)提出，把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，可以利用轉(zhuǎn)化思想來計(jì)算出它的體積。通過小組討論后，學(xué)生們的答案可謂精彩紛呈。

方法一：用一塊橡皮泥，根據(jù)鐵塊的形狀，捏成一個(gè)和它體積一樣的模型，然后把橡皮泥捏成長(zhǎng)方體或正方體。

方法二：把這個(gè)鐵塊放到一個(gè)裝有水的長(zhǎng)方體的水槽內(nèi)，浸沒在水中，看看水面上升了多少，拿水槽內(nèi)底面的長(zhǎng)、寬與水面上升的高度相乘得到鐵塊的體積。

方法三：還有更簡(jiǎn)單的，就是把鐵塊放到一個(gè)裝滿水的量杯內(nèi)，使之淹沒，然后拿出來，看看水少了多少毫升，這個(gè)鐵塊的體積就是多少立方厘米。

方法四：可以請(qǐng)鐵匠師傅幫個(gè)忙，讓他敲打成一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方體后在計(jì)算。

解決數(shù)學(xué)中的許多問題時(shí)，轉(zhuǎn)化思想起著重要作用。通過轉(zhuǎn)化，學(xué)生將一道生活中數(shù)學(xué)問題會(huì)形象而又創(chuàng)意地解決了?？梢钥闯觯簩W(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，從根本上說就是獲得了自己獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題的能力。教師潛移默化地滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生了解、掌握和運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與方法，轉(zhuǎn)變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，優(yōu)化了學(xué)生解題思路，開發(fā)了智力，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)能力。

總之，數(shù)學(xué)思想方法來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用的數(shù)學(xué)方法，在運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及方法處理數(shù)學(xué)問題、實(shí)際問題時(shí)，具有指導(dǎo)性的地位。在教學(xué)過程中，要有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，做到持之以恒、循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。重視加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透不但有利于提高課堂教學(xué)效率，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和思維能力。