區(qū)間數(shù)判斷矩陣的滿(mǎn)意一致性及排序方法

王西靜

(晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西晉城 048026)

0 引 言

利用區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性和排序方法是區(qū)間數(shù)層次分析法的2個(gè)重要的課題.一些學(xué)者依據(jù)權(quán)重可行域建立線性規(guī)劃模型,用模型的極點(diǎn)來(lái)表示區(qū)間數(shù)判斷矩陣的權(quán)重范圍,顯然此方法只適用于滿(mǎn)足一致性的區(qū)間數(shù)判斷矩陣[1-3].Saaty等[4]提出了Monte Carlo模擬方法確定區(qū)間數(shù)判斷矩陣的排序權(quán)值.Wang等[5]給出了對(duì)一致性和不一致性區(qū)間數(shù)判斷矩陣均適用的區(qū)間數(shù)判斷矩陣排序權(quán)值的方法.馮向前等[6]指出現(xiàn)有的滿(mǎn)意一致性定義大多是通過(guò)判斷在決策允許偏差下是否具有一致性來(lái)衡量判斷矩陣是否是滿(mǎn)意的.但是,如果偏差設(shè)得較小,可能使得擴(kuò)大后的區(qū)間數(shù)判斷矩陣不具有一致性信息,而偏差設(shè)得較大又會(huì)使原有區(qū)間數(shù)判斷矩陣表達(dá)的優(yōu)先信息變得更加模糊,此時(shí)產(chǎn)生的排序權(quán)值是否合理則是一個(gè)值得討論的問(wèn)題[7].Wang等[8]提出一種不改變區(qū)間數(shù)判斷矩陣的元素,在區(qū)間數(shù)判斷矩陣中求具有滿(mǎn)意一致性的排序權(quán)值的思路,但是并沒(méi)有給出滿(mǎn)意一致判別方法.基于此,本文從理論上對(duì)此進(jìn)一步做了補(bǔ)充,給出了區(qū)間數(shù)判斷矩陣的滿(mǎn)意一致性的判別方法,并且證明了此方法適用判別區(qū)間數(shù)判斷矩陣是否具有一致性.另外,還給出了求解排序向量的優(yōu)化模型,并用算例證明不論區(qū)間數(shù)判斷矩陣是否具有一致性,此模型均適用.

1 區(qū)間數(shù)判斷矩陣的滿(mǎn)意一致性

定義1 稱(chēng)A=(aij)n×n是區(qū)間數(shù)判斷矩陣,如果對(duì)任意的i,j∈N={1,2,…,n}均有:aij=[lij, uij],且0＜ lj≤uij;aij=1/aji,aii=1.

定義2[7]稱(chēng)區(qū)間數(shù)判斷矩陣 A=(aij)n×n具有一致性,若存在數(shù)字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈[lij,uij],具有一致性.

定義3 稱(chēng)區(qū)間數(shù)判斷矩陣A=(aij)n×n具有滿(mǎn)意一致性,若存在數(shù)字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈[lij,uij],具有滿(mǎn)意一致性.

引理1[9]設(shè)A—=(a—ij)n×n是數(shù)字判斷矩陣,則對(duì)任意標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)字向量w—=(w—1,w—2,…,w—n)T,有,

定理1[9]設(shè)A=(aij)n×n為區(qū)間數(shù)判斷矩陣, A具有滿(mǎn)意一致性的充分必要條件是集合Tw—非空,其中,

其中,w—=(w—1,w—2,…,w—n)T,δ是滿(mǎn)意一致性指標(biāo),一般取δ≤0.1,RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)[1].

對(duì)于區(qū)間數(shù)判斷矩陣 A(aij)n×n,要檢驗(yàn)其是否具有滿(mǎn)意一致性,由定理1知,需要判斷集合 Tw—是否非空.為此,特建立下面的非線性規(guī)劃模型 P1.

定理2 設(shè) A=(aij)n×n為區(qū)間數(shù)判斷矩陣, δ＊是模型 P1目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值,則:A具有一致性的充要條件是,δ＊=0;A具有滿(mǎn)意一致性的充要條件是,δ＊≤δU,其中,δU是滿(mǎn)意一致性指標(biāo)闕值.

證明 根據(jù)定理1,易證定理2之②成立,下面證明定理2之 ①成立.

若δ＊=0,則存在a—ij、w—i≥0,i,j∈N,使得,

根據(jù)引理1知,Aw—≥nw—,所以,A—w—=nw—,由引理2知,對(duì)于區(qū)間數(shù)判斷矩陣A,存在數(shù)字判斷矩陣A—(—aij∈aij)具有一致性,故 A具有一致性.

若 A具有一致性,則存在數(shù)字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈aij,具有一致性,即存在標(biāo)準(zhǔn)化向量w—=(w—1,w—2,L,w—n)T,使得,

即,

所以,δ＊≤0,根據(jù)引理1知,δ＊≥0,因此,δ＊=0.

定理證畢.

綜上所述,定理2說(shuō)明了模型 P1不僅可以用來(lái)判別區(qū)間數(shù)判斷矩陣是否具有滿(mǎn)意一致性,同時(shí)還可以用來(lái)判別區(qū)間數(shù)判斷矩陣是否具有一致性.

2 排序方法

對(duì)具有滿(mǎn)意一致性的區(qū)間數(shù)判斷矩陣A,可以采用下面的規(guī)劃模型 P2來(lái)求解判斷矩陣的區(qū)間數(shù)排序向量.

下面證明,若令δU=0,則模型 P2等價(jià)于文獻(xiàn)[8]給出的線性規(guī)劃模型 P3,

事實(shí)上,我們只需證明,當(dāng)δ=0時(shí),式(1)、(2)等價(jià)于式(5).若存在w—i≥0,i∈N,使得式(1)成立,則有,A—w—≤n w—.根據(jù)引理1可得,A—w—= n w—,又根據(jù)引理2有,a—ij=w—i/w—j,i,j∈N,代入式(2)直接得到式(5).反之,若存在w—i≥0,i∈N使得式(5)成立,令a—ij=w—i/w—j,i,j∈N,則A—= (aij)n×n具有一致性,根據(jù)判斷矩陣的互反性易得式(1)成立.

由此可知,模型 P2既適用于求解不一致的區(qū)間數(shù)判斷矩陣的排序向量,也適用于求解一致的區(qū)間數(shù)判斷矩陣的排序向量.

3 算例分析

通常,供應(yīng)鏈伙伴企業(yè)之間的合作狀況,直接關(guān)系到供應(yīng)鏈系統(tǒng)運(yùn)作的績(jī)效與成敗.因此,企業(yè)在選擇合作伙伴時(shí),常需要對(duì)伙伴企業(yè)的績(jī)效、業(yè)務(wù)能力、質(zhì)量管理系統(tǒng)以及企業(yè)所處的環(huán)境進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[10].假設(shè)某企業(yè)擬在4個(gè)企業(yè){X1,X2,X3,X4}中選擇合作伙伴,并聘請(qǐng)了 m個(gè)專(zhuān)家進(jìn)行決策(m≥2),專(zhuān)家根據(jù)企業(yè)的基本狀況進(jìn)行兩兩比較,給出如下的區(qū)間數(shù)判斷矩陣B,

對(duì)此,我們可首先考查判斷矩陣的合理性,即把判斷矩陣B的數(shù)據(jù)代入規(guī)劃模型P1,求解得,δ＊= 0.0168＜0.1,說(shuō)明判斷矩陣具有滿(mǎn)意一致性.進(jìn)一步,取δU=0.1,求得區(qū)間數(shù)排序向量w為,

據(jù)此可做出判斷,企業(yè) X2是最佳的合作伙伴.

4 結(jié) 語(yǔ)

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上,本文推導(dǎo)出了區(qū)間數(shù)判斷矩陣滿(mǎn)意一致性判別方法,并證明了此方法還可以用來(lái)判別一致性問(wèn)題.同時(shí),本文提出的排序向量?jī)?yōu)化模型,既適用于求解一致性區(qū)間數(shù)判斷矩陣,也適用于求解非一致性區(qū)間數(shù)判斷矩陣.

[1]HainesL.A Statistical Approach to the Analytic Hierarchy Process with Interval Judgments(I) Distributions on Feasible Regions [J].European Journal of Operational Research,1998,110(1): 112-125.

[2]Salo A.On Fuzzy Ratio Comparisons in Hierarchical Decision Models[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,84(1):21-32.

[3]Arbel A.Approximate Articulation of Preference and Priority Derivation[J].European Journal of Operational Research,1989,43 (3):126-317.

[4]Satty TL,Vargas L.Uncertainty and Rank Order in the Analytic Hierarchy process[J].European Journal of Operational Research,1987,32(1):107-117.

[5]Wang YM,Yang J B,Xu D L.A Two Stage Logarithmic Goal Programming Method for Generating Weights from Interval Comparison Matrices[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,152(1):475 -498.

[6]馮向前,魏翠萍,胡 鋼,等.區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性研究[J].控制與決策,2008,23(2):82-85.

[7]錢(qián) 鋼,馮向前,魏翠萍.基于一致性指標(biāo)的兩類(lèi)不確定偏好信息集結(jié)[J].控制與決策,2009,24(1):29-34.

[8]Wang YM,Yang J B,Xu D L.Interval Weight Generation Approaches Based on Consistency Test and Interval Comparison Matrices[J].Applied Mathematics and Computation,2005,167(1): 252-273.

[9]Satty T L.The Analysis Hierarchy Process[M].New Y ork: McGraw-Hill Press,1980.

[10]吳 雋,張劍英,任麗娟.基于證據(jù)推理與粗集理論的供應(yīng)鏈合作伙伴選擇方法研究[J].中國(guó)軟科學(xué),2005,21 (3):130-133.