壓桿穩(wěn)定計算的黃金分割法

晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學院，安徽 合肥 230022）

壓桿穩(wěn)定計算的黃金分割法

晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學院，安徽 合肥 230022）

文章分析了壓桿臨界應力總圖中的安全系數(shù)分布，提出用黃金分割法進行壓桿的穩(wěn)定計算具體做法，通過算例驗證了黃金分割法的正確性及有效性，與平分法的算法相比，黃金分割法具有明顯的優(yōu)越性。

材料力學；鋼結構；壓桿；黃金分割法

1.引言

壓桿的穩(wěn)定計算是材料力學的重要內容，也是鋼結構設計和鋼筋混凝土設計結構的重要基礎。工程中的構件常選擇型鋼，由于構件橫截面的形狀復雜，決定壓桿穩(wěn)定性的幾何參數(shù)往往很多，因此軸向受壓桿的穩(wěn)定性設計一般用折減系數(shù)法經(jīng)過多次試算后才能獲得理想的截面尺寸，計算過程很繁瑣?，F(xiàn)在使用的材料力學教材大多采用平分法給出的折減系數(shù)φ進行試算以驗證是否符合設計要求[1]。在鋼結構中一般是對于設計的壓桿假定一個柔度值進行與前者相似的試算，最后給出壓桿的合理截面。

由于平分法并不考慮問題本身的特殊性，一律選擇φ=0.5開始試算，往往需要多次迭代，計算繁瑣，工作量很大。實際上，每一個具體的問題，它應該具有的安全系數(shù)是有規(guī)律可循的，而且工程實踐中的設計都是按國家規(guī)范進行的，不同的結構采用的安全系數(shù)都有一定的分布區(qū)間，這些都直接決定了φ的取值范圍[2]?？梢姡患訁^(qū)別地采用平分法計算沒有考慮到問題本身的特殊性。

本文提出用黃金分割法進行壓桿的穩(wěn)定計算具體做法，并通過兩個算例驗證了本文方法的正確性及有效性。

2.壓桿的安全系數(shù)分布及穩(wěn)定計算的黃金分割法

在壓桿的穩(wěn)定計算中對各類壓桿能承受的最大應力用臨界應力總圖描述，如圖1所示：

圖1臨界應力總圖示意圖

圖中：σcr—壓桿的界應力；

σs、σp—材料屈服極限和比例極限；

λ—壓桿的柔度；

λs、λp—小柔度桿、中柔度桿的臨界柔度；

i—壓桿屈曲方向的慣性半徑。

在對壓桿進行穩(wěn)定計算時習慣上借用強度許用應力作為設計指標[4]。

圖2折減系數(shù)和柔度的關系

圖3壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)和柔度的關系

令φ=σcr／nst[σ]，φ稱為折減系數(shù)，它反映了壓桿的穩(wěn)定許用應力與柔度的關系[5]，也包含了與壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst的關系（圖2）。壓桿的設計準則為:

這一設計準則給出的安全因數(shù)僅為穩(wěn)定安全因數(shù)，它們與壓桿的柔度有關，例如λs=30為純強度問題，φ=0.963，安全系數(shù)n=1.04。彈塑性材料的屈服極限與比例極限相差無幾，我國鋼結構設計規(guī)范常用σp取代σs，在σcr=σp≈σs時，低碳鋼（Q235）的臨界柔度，λp≈100，φ=0.638，安全因數(shù)約為 n=1.57。對于 λ≥λp，有 σp=π2E ／1002，這時 σcr=π2E ／λ2=σp／（λ2／1002），壓桿安全因數(shù)為 nst=1.57λ2／1002。a 類截面低碳鋼穩(wěn)定安全因數(shù)與柔度間的關系用圖3描述。由圖3可以看出在λ≤40時，壓桿主要還是強度問題。我國鋼結構規(guī)范中壓桿在λ／λ2≤0.215時，設計主要考慮強度問題，工程上穩(wěn)定計算的柔度常用范圍[2]是60≤λ≤100。就圖3來看，λ≤60時穩(wěn)定安全系數(shù)接近于1，這就給我們用折減系數(shù)法進行穩(wěn)定計算提供了有益的啟示，即計算時傾向于考慮強度問題時，φ取值多在0.5~1區(qū)間；計算時傾向于考慮穩(wěn)定問題時，φ取值多在0.5以下區(qū)間。所以，我們對于穩(wěn)定問題按黃金分割點假設初始折減系數(shù)是合理的。

用黃金分割法進行壓桿穩(wěn)定計算的做法是:

3．壓桿的穩(wěn)定計算實例

解：桿長2m，如果柔度λ=100，如果是圓桿，截面直徑8cm，通常結構直徑要大得多，傾向于強度問題，φ分布在0.5~1區(qū)間，由φ1=0.618試算。

以上兩個算例的求解過程列于表1：

表1算例的計算列表

比較兩種算法，可以看到黃金分割法的工作量明顯減少。平分法不管什么問題，均從φ=0.5算起，而黃金分割法要就具體問題的特點判斷求解區(qū)間，這正是優(yōu)選法的重要特性。其起始計算就縮小了搜索范圍，每次運算則可以排除剩下部分大約二分之一的區(qū)間，因而求解迅速。

4.結論

用折減系數(shù)法進行壓桿穩(wěn)定計算本質上是對壓桿進行滿足穩(wěn)定條件下的優(yōu)化設計，也是優(yōu)選法解決問題的范疇。計算實例表明用優(yōu)選法中的黃金分割法與用傳統(tǒng)的平分法相比較，能以較少的計算工作量較快的完成截面設計工作。

［1］孫訓方等.材料力學（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.

［2］孫強等.鋼結構設計[M].合肥：合肥工業(yè)大學出版社，2007.

［3］任治章.壓桿穩(wěn)定設計的優(yōu)化方法[J].力學與實踐，1992，14（2）：51~52.

［4］任治章.壓桿穩(wěn)定設計的直接法[J].力學與實踐，1993，15（1）：66~69.

［5］王世華，杜歷強.圓截面壓桿穩(wěn)定設計的先試后算法[J].力學與實踐，2005，27（6）：79~80.

TU311

A

1672-0547（2010）04-0069-02

2010-06-20

晏 燕（1964-），女，安徽建筑工業(yè)學院講師，研究方向：力學。

安徽省高等學校省級教學研究項目研究成果（編號：2008jyxm324）。