抽象積分方程的加權偽概自守解

張榮娟,褚衍彪,宋曉秋

(中國礦業(yè)大學 理學院,江蘇 徐州 221116)

本片篇章討論了如下抽象積分方程的加權偽概自守解的存在性與唯一性

其中 t∈R,f,g,h1,h2,C:R→R是連續(xù)的函數(shù),Q:R×R×R→R也是連續(xù)的.

1.準備工作

對每個 t∈R成立,且

對于每個 t∈R成立.

記 R到 X的概自守函數(shù)的集合為 AA(X).

定義 1.2 函數(shù) f∈C(R×X,X)稱為概自守的,若對任意序列存在 {αn}與函數(shù) g:R×X→X,使得

對每個 t∈R成立,且

對于每個 t∈R成立.

記 R×X到 X的概自守函數(shù)的集合為 AA(R×X,X).

引理 1.3[1]如果取函數(shù) f∈AA(X)的上確界范數(shù),即 ‖f‖AA(X)=‖f‖, 則為 Banach空間.

引理 1.4[1]如果 f:R→X為概自守函數(shù),則 f有界.

引理 1.5[2]設 f∈AA(R×X,X),若存在常數(shù)L＞0,對一切 x,y∈X和 t∈R,使得 f滿足 L ip sch itz條件

如果 h∈AA(X),則 f(t,h)∈AA(X).

記 U為ρ:R→(0,∞)在 R上局部可積,且ρ＞0的函數(shù)的集合.對任意的ρ∈U,給定r＞0,設

Ub={ρ∈U∞:ρ有界且

顯然:Ub?U∞?U

對任意的ρ∈U∞,記

定義 1.6 函數(shù) f∈Cb(R,X)稱為加權偽概自守的,如果存在函數(shù) g∈AA(X)及φ∈ PAA0(R,ρ),使得

記 R到 X的加權偽概自守函數(shù)的集合為W PAA(R,ρ).

定義 1.7 函數(shù) f∈Cb(R×X,X)稱為加權偽概自守的,如果存在函數(shù) g∈AA(R×X,X),φ∈PAA0(R ×X,ρ),使得

記 R×X到 X的加權偽概自守函數(shù)的集合為W PAA(R×X,ρ).

引理 1.8[3]設ρ∈U∞,如果取函數(shù) f∈W PAA(R,ρ)的上確界范數(shù),即

則 (W PAA(R,ρ),‖·‖WPAA(R,ρ))為 Banach空間.

引理 1.9[3]加權偽概自守函數(shù) f=g+φ的分解是唯一的.即如果

其中 g1,g2∈AA(X),φ1,φ2∈ PAA0(R,ρ),則 g1=g2,φ1=φ2.

引理 1.10[3]設 f∈W PAA(R×X,ρ),若存在常數(shù)L ＞0,對一切 x,y∈X和 t∈R,使得 f滿足 Lip schitz條件

如果 h∈W PAA(R,ρ),則 f(t,h)∈W PAA(R,ρ)

2.主要結果

假設以下條件成立:

C1f,g是加權偽概自守函數(shù),且存在常數(shù) 0＜α ＜1,對任意 x,y∈R,滿足 |f(x)-f(y)|≤α|x-y|;

C2函數(shù) hi(i=1,2)是連續(xù)的,u(hi)∈W PAA(R,ρ)當且僅當 u∈W PAA(R,ρ);C3函數(shù) Q:(t,x,y)→Q(t,x,y)是加權概自守的且關于 t是連續(xù)的,Q =Q1+Q2,其中;

對任意的 v∈W PAA(R,ρ),有 Q2(.,v(.),v(h2(.))∈L1(R),存在 0≤K≤1使得|Q(t,x,y)-Q(t,w,z)|≤k|x-w|+(1-k)|y-z|;

C4t→C(t) ∈ PAA0(R,ρ),C是 L1可積的且

證明:因為 u(t)是加權偽概自守的,由 C2知 u(h2)∈W PAA(R,ρ);

由 C3易知 Q(s,u(s),u(h2(s))也是加權偽概自守的.

設 Q=Q1+Q2,其中 Q1∈AA(R2,R),Q2∈PAA0(R2,R,ρ)

則Γu=Γ1(u)+Γ2(u)

下證Γ1(u)是概自守的.

因為 Q1是概自守的,設 Q1(s,u(s),u(h2)))=h(s),所以,存在函數(shù) g(s)使得

‖h(s+τn)C(t-s)-g(s)C(t-s)‖ =|C(t-s)|‖h(s+τn)-g(s)‖

由 C4知 C(t-s)是有界的,所以存在一M使得上式 ＜M(h(s+τn)-g(s))

當 n→∞時,對任意固定的 s∈R,有 h(t+τn)C(t-s)→g(s)C(t-s)

另外 ‖h(s+τn)C(t-s)‖ ＜M‖h‖

由 L ebesgue控制收斂定理得

同理可證:

則Γ1u是概自守的.

下證Γ2

因為 t→C(t)∈PAA0(R,ρ),Q2(.,u(.),u(h2(.))∈L1(R)

所以 K=0,既Γ2(u)∈PAA0(R,ρ).

綜上所述:函數(shù)Γu(t)是加權偽概自守的.

定理 2.2 當α+C0＜1時,積分方程 (1)有唯一的加權為概自守解.

證明:令 u∈W PAA(R,ρ),定義一個非線性算子

由引理 1.10和 C2易知 f(u(h1(.))∈W PAA(R,ρ),

由定理 3.2知,Λu(t)∈W PAA(R,ρ)

任意取 u,v∈W PAA(R,ρ)

因此 ‖Λ(u)(t)-Λ(v)(t)‖≤ (α +C0)‖u-v‖

當α+C0＜1時,Λ為壓縮映射,又W PAA(R,ρ)是完備的,由 B anach不動點定理知,Λ有唯一的不動點 u(t)∈W PAA(R,ρ),使得Λu(t)=u(t).

故方程 (1)有唯一的加權為概自守解.

[1]N’Guérékata G.M.,Almost Automorphic Functions and Almost Periodic Functions in Abstract Spaces[M].Kluwer Academic/Plnum Publisher,New York-Berlin-M oscow,2001.

[2]Diagana T.,Henriquez H.R.,Hern′andez E.M.,Almost automorphic mild solutions to some partial neutral functional-differential equations and Applications[J],Nonlinear Analysis,2008,69:1485-1493.

[3]B lot J,Mophou G.M.,N’Gu′er′ekata G.M.,D.Pennequin,Weighted pseudo almost auto-morphic functions and Applications to abstract differential equations[J].Nonlinear Analysis,2009,71:903–909.

[4]Jing-huai Liu,Xiao-qiu Song,Almost Automorphic and Weighted Pseudo Almost Automorphic solutions of Semilinear E-volution Equations[J].Journal of Functional Analysis,Volume258,2010:196-207.