離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索與實(shí)踐

摘要:離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心基礎(chǔ)理論課，該課程不但為學(xué)生學(xué)好后續(xù)課程提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，而且學(xué)好該課程有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，分析了當(dāng)前離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，針對(duì)該課程的特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)方法3個(gè)方面對(duì)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)改革進(jìn)行了探討，力求使該課程的教學(xué)上一個(gè)新的臺(tái)階。

關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué);教學(xué)改革;教學(xué)方法;教學(xué)手段

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它從不同的角度出發(fā)，研究各種離散量的結(jié)構(gòu)及其相互之間數(shù)與形的關(guān)系。計(jì)算機(jī)科學(xué)迅速發(fā)展，其相關(guān)領(lǐng)域提出了許多有關(guān)離散量的問(wèn)題，需要某些數(shù)學(xué)工具作出描述和深化[1]。離散數(shù)學(xué)把計(jì)算機(jī)科學(xué)中所涉及到研究離散量的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合在一起，其基本理論和研究成果全面系統(tǒng)地影響、推動(dòng)著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展[2]。學(xué)習(xí)這門(mén)課程，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)格邏輯推理能力，使學(xué)生掌握處理計(jì)算機(jī)科學(xué)離散結(jié)構(gòu)研究所必須的描述工具和方法。但離散數(shù)學(xué)內(nèi)容多、概念多、理論性強(qiáng)、抽象、解題方法靈活、解題思路嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生興趣不高，教學(xué)效果不理想。因此，改革離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和方法等以提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和科研工作有重要的意義。

1離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

分析離散數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，在課程教學(xué)實(shí)踐中常常存在以下問(wèn)題:

(1) 離散數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、組合數(shù)學(xué)等多個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，離散數(shù)學(xué)將這些知識(shí)有機(jī)組合成為合理、完善的體系。這些知識(shí)具有或多或少的聯(lián)系，但又自成體系，致使學(xué)生感覺(jué)各部分內(nèi)容聯(lián)系不大，對(duì)課程學(xué)習(xí)的目的不明確。學(xué)生甚至覺(jué)得這門(mén)課程和計(jì)算機(jī)科學(xué)聯(lián)系不起來(lái)，從而缺乏學(xué)習(xí)興趣。

(2) 由于離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的廣泛性，其定義和定理特別多，又抽象難懂，學(xué)生一時(shí)難以理解和記憶，并且對(duì)定義和定理之間的聯(lián)系缺乏一定的概括能力。

(3) 離散數(shù)學(xué)授課主要以定理證明和邏輯推理為主，方法性強(qiáng)，但由于內(nèi)容多、定理多，學(xué)生常常對(duì)很多解題方法混淆不清。

(4) 離散數(shù)學(xué)內(nèi)容多，課時(shí)少，一般高校將課時(shí)由144學(xué)時(shí)減少到90或72或64學(xué)時(shí)。課堂教學(xué)大多采用傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”教學(xué)手段，課堂教學(xué)的信息量受到一定的限制;也有采用多媒體教學(xué)手段的學(xué)校，但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中教師往往過(guò)多地依賴多媒體，大多點(diǎn)到為止，學(xué)生的思路追不上教師的講課速度，只記住結(jié)論或結(jié)果，掌握不了方法和思路，這樣的離散數(shù)學(xué)教學(xué)是失敗的[3]。

針對(duì)實(shí)際教學(xué)中存在的問(wèn)題，主要提出以下改革措施。

2教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)整合

離散數(shù)學(xué)內(nèi)容多，教材各異，但一般都至少包含4個(gè)主要部分的內(nèi)容:數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論。按“以夠用為尺度，以有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用為目的”的原則，我們認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)以數(shù)理邏輯、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論為重點(diǎn)，以圖論為核心，在保證基本理論完整的基礎(chǔ)上，降低抽象推理的難度，本著“精、廣、實(shí)用”的原則組織教學(xué)內(nèi)容，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合。

(1) 注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)性。整合那些最能體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用、能培養(yǎng)學(xué)生抽象和邏輯思維能力以及解決問(wèn)題能力的那些內(nèi)容。注重內(nèi)容的科學(xué)性和先進(jìn)性，逐步滲透學(xué)科研究的前沿知識(shí)，充分體現(xiàn)精品課程的先進(jìn)性。

(2) 注重教學(xué)內(nèi)容的趣味性。教師在授課時(shí)可以列舉一些有趣的例子，如“理發(fā)師問(wèn)題”、“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”、“四色問(wèn)題”等來(lái)說(shuō)明離散數(shù)學(xué)的用處，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

(3) 注重教學(xué)內(nèi)容與后續(xù)課程的聯(lián)系。計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展與離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容有非常密切的聯(lián)系，如數(shù)理邏輯是研究推理的學(xué)科，在人工智能、程序理論、數(shù)字電路等研究中有重要應(yīng)用;集合與關(guān)系的內(nèi)容與數(shù)據(jù)庫(kù)原理、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語(yǔ)言與自動(dòng)機(jī)等課程有密切的聯(lián)系;代數(shù)結(jié)構(gòu)是研究關(guān)于運(yùn)算及其規(guī)則的學(xué)科，代數(shù)方法被廣泛應(yīng)用于可計(jì)算性與計(jì)算復(fù)雜性、密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)與通信理論等;圖論為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)表示理論等奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和描述方法。教師在授課中應(yīng)幫助學(xué)生認(rèn)知所學(xué)知識(shí)與后繼課程知識(shí)的銜接，幫助學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)，使學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)的作用，對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣。

(4) 離散數(shù)學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少，因此內(nèi)容設(shè)計(jì)應(yīng)以“夠用”為原則，不僅要涵蓋離散數(shù)學(xué)所有知識(shí)要點(diǎn)，還要確保計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)生應(yīng)有的數(shù)學(xué)知識(shí)、素質(zhì)和能力。因此，教師要合理分配教學(xué)課時(shí)，注意各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容的合理搭配。

(5) 在教學(xué)內(nèi)容中適當(dāng)加入實(shí)驗(yàn)。例如，要求學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)求出主析(合)取范式、實(shí)現(xiàn)Warshall算法求出傳遞閉包、判斷一簡(jiǎn)單圖是否為二分圖或歐拉圖、實(shí)現(xiàn)Dijkstra算法等。當(dāng)然，針對(duì)教學(xué)時(shí)數(shù)較少的情況，這些實(shí)驗(yàn)可以在課后完成，不占用上課學(xué)時(shí)。學(xué)生通過(guò)對(duì)指定實(shí)驗(yàn)題目上機(jī)實(shí)踐，可以更好地理解離散數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，并能提高自身分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3教學(xué)手段的改進(jìn)

3.1綜合利用多種教學(xué)手段，提高授課質(zhì)量和效率

傳統(tǒng)教學(xué)手段和多媒體教學(xué)手段各有優(yōu)勢(shì)和不足，應(yīng)互補(bǔ)而非對(duì)立，我們應(yīng)避開(kāi)其缺點(diǎn)，發(fā)揚(yáng)其優(yōu)點(diǎn)，采用二者靈活結(jié)合的多媒體輔助教學(xué)方式。如離散數(shù)學(xué)中有很多的概念、公式和定理由教師在課堂上板書(shū)，勢(shì)必占用大量寶貴的授課時(shí)間，若借用多媒體顯示出來(lái)，教師就有更多的時(shí)間進(jìn)行講解，這樣不僅可以加大課堂教學(xué)的信息量，還可以將離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)各領(lǐng)域中的應(yīng)用做成專題片給學(xué)生演示，使課堂教學(xué)生動(dòng)活潑，大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)理邏輯中的推理理論、定理的各種證明方法等不適合用多媒體教學(xué)方式，這些知識(shí)的講解使用傳統(tǒng)的教學(xué)方式能使學(xué)生更清楚證明的思路和過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。教師在教學(xué)中應(yīng)針對(duì)不同的教學(xué)方法采取不同的教學(xué)手段，這樣才能發(fā)揮各種教學(xué)方法的綜合功能，取得最佳教學(xué)效果。

3.2建設(shè)網(wǎng)絡(luò)課程，利用網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)

在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)飛速發(fā)展的今天，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為突破傳統(tǒng)的教育手段、教育觀念提供了契機(jī)，基于以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)模式，教學(xué)網(wǎng)站作為多媒體教學(xué)手段的必要補(bǔ)充，其作用不容忽視。我們將本課程的教學(xué)大綱、知識(shí)結(jié)構(gòu)、難點(diǎn)、重點(diǎn)以及典型例題的思路、解法和電子教案、考試要求、考試范圍等所有學(xué)生關(guān)注和能夠幫助學(xué)生更加有效進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容都以電子文稿的方式發(fā)布到教學(xué)網(wǎng)站上，方便學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行自學(xué)。還可以將涉及離散數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用和離散數(shù)學(xué)方面的著名科學(xué)家介紹放在教學(xué)網(wǎng)站上，以增加趣味性，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。當(dāng)然，在教學(xué)網(wǎng)站上還可以增加一些網(wǎng)站鏈接，讓學(xué)生了解有關(guān)離散數(shù)學(xué)更多的網(wǎng)站，拓寬知識(shí)面。利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)精品課程，可以極大地改善教學(xué)中存在的問(wèn)題，為學(xué)生提供豐富的網(wǎng)絡(luò)資源，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生個(gè)性的發(fā)揮。

利用多媒體和教學(xué)網(wǎng)站輔助教學(xué)，不僅是教學(xué)模式、教學(xué)手段的更新，更重要的是教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)化，將多種教學(xué)手段引進(jìn)離散數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行教學(xué)是必然的發(fā)展趨勢(shì)。

4教學(xué)方法的改革

離散數(shù)學(xué)不同于其他計(jì)算機(jī)課程的教學(xué)，該課程定義多、定理多、理論性強(qiáng)、抽象性強(qiáng);也不同于數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，該課程不能只是片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)演繹推理，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的一門(mén)課程。因此，要想教好這門(mén)課程，對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)采用不同的教學(xué)方法，傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)方法需要改革。

4.1應(yīng)用示例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

離散數(shù)學(xué)知識(shí)在計(jì)算機(jī)專業(yè)中的應(yīng)用或“分散”或“隱含”，可以說(shuō)是無(wú)處不在[4]，但在教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生對(duì)該課程興趣不濃。為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在前幾堂課的教學(xué)中，教師可以通過(guò)一些實(shí)際的例子來(lái)說(shuō)明離散數(shù)學(xué)的用處，如“一筆畫(huà)問(wèn)題”、“四色問(wèn)題”、“Hamilton回路與旅行商問(wèn)題”等，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)其他課程之間的密切聯(lián)系及對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。

在課堂教學(xué)中，也可以穿插一些適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，以便建立理論和實(shí)際工作的聯(lián)系。如等價(jià)關(guān)系和劃分建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般是用模n同余關(guān)系[5]作為示例，理論上較嚴(yán)謹(jǐn)。在教學(xué)中我們不妨考慮生活中的例子，如:定義“人”集合上的關(guān)系 有相同的性別。顯然， 是等價(jià)關(guān)系，于是具有相同性別的人是等價(jià)的，據(jù)此可以將人劃分為兩類，性別為男性的人構(gòu)成的集合和性別為女性的人構(gòu)成的集合。如果要研究人的性別特點(diǎn)，可以從這兩個(gè)集合中各選一人(元素)作為代表，這個(gè)人所產(chǎn)生的等價(jià)類就是他所在的集合，即與他有相同性別的所有人的集合。這樣的示例不僅易懂，而且也能說(shuō)明對(duì)集合進(jìn)行劃分的目的，體現(xiàn)出對(duì)目標(biāo)進(jìn)行歸類研究的方法。

4.2使用類比方法教學(xué)，降低學(xué)習(xí)難度

離散數(shù)學(xué)內(nèi)容龐雜，但有些看起來(lái)不相干的東西，實(shí)際上有著驚人的相似之處，在教學(xué)中可以采用類比的方法，揭示出它們相同的內(nèi)涵，找出它們之間的聯(lián)系，從而減少學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。

例如，在教學(xué)內(nèi)容上可以類比。如命題定律與集合運(yùn)算律可類比記憶，命題中有析取 、合取 、否定 ，命題邏輯中其他運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為這三種運(yùn)算。集合運(yùn)算有并運(yùn)算 、交運(yùn)算 、求補(bǔ)運(yùn)算～，集合中其他運(yùn)算也可轉(zhuǎn)化為這三種運(yùn)算。我們將 與 、 與 、 與～、全集E與真值T、空集 與真值F類比，發(fā)現(xiàn)命題定律與集合運(yùn)算律除了含義不同外，形式上完全一樣。離散數(shù)學(xué)中可聯(lián)系、能比較的內(nèi)容較多，有些類比也可以讓學(xué)生去做，這樣有助于提高他們的思維能力。

又如，在教學(xué)方法上也可以類比。例如命題邏輯與謂詞邏輯兩部分的內(nèi)容幾乎是平行的，這就為教學(xué)提供了可類比的方法，如兩者合式公式的定義形式非常相似，通過(guò)類比，兩個(gè)概念的異同就顯而易見(jiàn)了，教師只要對(duì)量詞加以強(qiáng)調(diào)，學(xué)生就能在前一個(gè)概念的基礎(chǔ)上很好地理解后一個(gè)概念。在離散數(shù)學(xué)中教學(xué)方法還有許多是可以類比的，這就要求教師多分析比較，以學(xué)生易于接受的生動(dòng)的方式進(jìn)行教學(xué)。

4.3推行研究型教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和綜合能力

研究型教學(xué)模式是指融學(xué)習(xí)與研究為一體的教學(xué)體系和方法，其理論基礎(chǔ)是美國(guó)學(xué)者布魯納提出的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”教學(xué)模式。在教學(xué)中通過(guò)講解知識(shí)的來(lái)龍去脈，將學(xué)科的基本方法、計(jì)算機(jī)問(wèn)題求解應(yīng)考慮的問(wèn)題要點(diǎn)、研究方法和思路傳授給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生挖掘深層次的東西，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和綜合能力。

在研究型教學(xué)中，教師的工作是設(shè)計(jì)“問(wèn)題”以激發(fā)學(xué)生思考、設(shè)計(jì)、總結(jié)和報(bào)告，問(wèn)題的選擇和編排是非常重要的，必須難度適中、具備足夠的挑戰(zhàn)性、還應(yīng)該有利于知識(shí)的學(xué)習(xí)和積累，這樣才能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。此時(shí)，學(xué)生由被動(dòng)的學(xué)習(xí)者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)者。在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。例如，在命題邏輯中判斷推理是否正確允許學(xué)生用多種方法去判斷，如主析(合)取范式、真值表法、等值演算法等多種方法，然后要求學(xué)生分析這些方法的利弊，從而思考哪種推理結(jié)構(gòu)采用哪種方法來(lái)解。

4.4注重歸納小結(jié)，使知識(shí)條理化和系統(tǒng)化

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容看似多而散，實(shí)際上，每一章均有一條主線，因此，歸納小結(jié)是教學(xué)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。通過(guò)教師課堂上或?qū)W生課后對(duì)所學(xué)內(nèi)容的歸納小結(jié)，理清其內(nèi)在聯(lián)系，將這些內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，使知識(shí)條理化和系統(tǒng)化。同時(shí)，歸納小結(jié)可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、舉一反三的目的。

5結(jié)語(yǔ)

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)重要的基礎(chǔ)理論課程之一，它的思想和方法滲透到計(jì)算機(jī)應(yīng)用的許多領(lǐng)域，所以如何提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)水平和質(zhì)量，如何為計(jì)算機(jī)專業(yè)后續(xù)課程打好基礎(chǔ)，如何培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和科研素質(zhì)，是值得教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷研究的課題。教學(xué)改革和探索是沒(méi)有止境的，今后，我們還需要在離散數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的實(shí)踐過(guò)程中不斷探索、集思廣益，合理調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)手段和教學(xué)方法，使離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量和水平不斷得到提高。

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Exploration and Practice of Discrete Mathematics Teaching Reform

WEN Hai-ying1， LIAO Rui-hua2，WEI Da-kuan1

(1.Computer and Information Scientific Department， Hunan University of Science and Engineering ，

Yongzhou 425000， China; 2. Hunan First Normal University， Changsha 410205， China)

Abstract: Discrete Mathematics is the core foundation theory course of computer science. The course will not only offer basic mathematical theory for students to learn follow-up courses， but also help develop the mathematical thinking of computer science students. In combination with teaching practice， this article analyses existing problems in Discrete Mathematics teaching. It also discusses the teaching reform of \"Discrete Mathematics\" in three aspects:teaching content， teaching approach and teaching methods on the basis of the characteristics of this course and strives to make the teaching of this course to a new level.

Key words: Discrete Mathematics;teaching reform;teaching approach;teaching method

(編輯:姚彥如)