拋物面梯度可視化研究

劉小羊， 林大鈞， 鄭鵬飛， 吳志庭

（華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237）

工程中，有關(guān)數(shù)量場(chǎng)各點(diǎn)的溫度和壓力變化趨勢(shì)可以歸結(jié)為求解各點(diǎn)處的梯度。梯度與方向?qū)?shù)以及數(shù)量場(chǎng)等值面之間存在一種比較理想的關(guān)系，這就使得梯度成為研究數(shù)量場(chǎng)時(shí)的一個(gè)重要概念。曲面梯度的求解一般是通過(guò)求曲面函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)得到的，其結(jié)果比較抽象。本文利用畫(huà)法幾何原理，用作圖方式求解曲面梯度，再通過(guò)計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)梯度的圖形顯示，使抽象問(wèn)題形象化，對(duì)處理相關(guān)工程數(shù)量場(chǎng)的優(yōu)化問(wèn)題具有重要的意義。

1 拋物面梯度的數(shù)學(xué)表達(dá)

2 拋物面梯度的圖解[1]

可知：曲面上某點(diǎn)的梯度是該點(diǎn)的切平面上H 面最大斜度線對(duì)H 面傾角的正切而其最大斜度線的水平投影即為梯度方向。

2.1 拋物面上一點(diǎn)處切平面的幾何作圖[2]

圖1 正平面截切拋物面

2.2 梯度求解

根據(jù)梯度的圖解原理知道它是最大斜度線對(duì)H面傾角的正切。求解曲面上某點(diǎn)梯度需求出該點(diǎn)切平面對(duì)H面的最大斜度線。因切平面對(duì)H面的最大斜度線垂直于該面內(nèi)水平線。按照這個(gè) 定義可以作出旋轉(zhuǎn)拋物面上 Pa( xa， ya， za)點(diǎn)處的切平面的最大斜度線，如圖2所示。

先作水平線Q1M。過(guò)作m ′平行于x軸，根據(jù)已知條件求得m′點(diǎn)x，z坐標(biāo)為。 利用畫(huà)法幾何原理作圖得到M點(diǎn)的H面投影m。它的y坐標(biāo)可以根據(jù)其所在的切平面的方程求出。拋物面在Pa點(diǎn)處切平面的法向量為，利用點(diǎn)法式求出其切平面方程為，將ax ，代入求得 y 坐 標(biāo)， 得 到 點(diǎn)。

可見(jiàn)圖解方法和用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)果相同。而圖形求解過(guò)程更具直觀性。

圖2 旋轉(zhuǎn)拋物面梯度圖解

3 梯度可視化程序的實(shí)現(xiàn)[3]

圖 3 橢圓拋物面梯度圖解

圖 4 雙曲拋物面梯度圖解

圖 5 程序流程圖

圖 6 程序界面

當(dāng)p=q=2，輸入旋轉(zhuǎn)拋物面上的點(diǎn)(2, 2, 4)，得到它們的梯度，如圖7所示。同理，雙曲拋物面梯度顯示如圖8所示。

4 應(yīng)用舉例[4-5]

圖 7 旋轉(zhuǎn)拋物面梯度

圖 8 雙曲拋物面梯度

圖 9 橢圓拋物面梯度

5 結(jié)論與展望

綜上所述，通過(guò)形、數(shù)、計(jì)算機(jī)三者的結(jié)合，不僅使梯度的求解變得形象化，而且能夠迅速準(zhǔn)確地解決工程數(shù)量場(chǎng)的一些問(wèn)題。本文僅研究了拋物面這類曲面的梯度圖解，對(duì)自由曲面梯度的圖解有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)

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