數(shù)學(xué)解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生思考

摘要: 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要注意創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)學(xué)生積極思考，思考哪些問題，怎樣思考。本文通過幾個(gè)例子，具體說明數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中的四個(gè)環(huán)節(jié)要注意思考的問題。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題教學(xué);思考

一、在審察題意時(shí)的思考

解題者通過仔細(xì)讀題、觀察和思考，對(duì)題目逐字逐句地進(jìn)行推敲，力求看清看懂，特別要看透題意，看明白數(shù)學(xué)條件和問題，充分利用題目的條件，并深入挖掘題中隱含的條件，這是正確地解題的前提。在審察題意時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生思考下列幾個(gè)問題:

1.這是什么類型的數(shù)學(xué)題?2.已知條件是什么?3.要求解決的數(shù)學(xué)問題是什么?4.隱含著什么條件?

例1:已知、是方程x2+(m-2)x+(m2+3m+5)=0(m∈R)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求y=2+2的最大值和最小值。

分析:這是求二元函數(shù)(可化為一元函數(shù))的最值問題的數(shù)學(xué)題。此題的已知條件是:、是含參數(shù)的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，題目所求的是這兩根之平方和的最大值、最小值。此一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故其△≥0，由此條件(此條件是隱含條件)決定參數(shù)m的取值范圍，從這個(gè)隱含的條件入手去求解。

解析:∵一元二次方程x2+(m-2)x+(m2+3m+5)=0(m∈R)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴△= (m-2)2-4(m2+3m+5)≥0，即3m2+16m+16≤0，故m∈-4，-.

∵、 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴+=(m-2)，#8226;=m2+3m+5，故y=2+2=(+)2-2=(m-2)2-2(m2+3m+5)=-(m+5)2+19.

∵y=-(m+5)2+19在[-5，+∞)上遞減，而m∈-4，-，因此，當(dāng)m=-4時(shí)，ymax=-(-4+5)2+19=18，當(dāng)m=-時(shí)，ymin=--+52+19=.

教師對(duì)此種類型題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意△≥0這個(gè)隱含條件。若忽略了這個(gè)隱含條件，則會(huì)不求甚解，直接由配方法得y=-(m+5)2+19，即y∈(-∞，19]，有最大值19，這就產(chǎn)生了錯(cuò)誤的答案。因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在審察題意時(shí)，注意從題型、已知、求解、隱含條件等方面作仔細(xì)思考。

二、分析解題途徑的思考

解題者通過仔細(xì)分析考慮題目的題設(shè)條件與題目要求，并聯(lián)想到有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題方法，尋求題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，即找出溝通這兩者的橋梁，這是順利解題的關(guān)鍵。在分析解題途徑的教學(xué)活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分析法和綜合法思考下列問題:1.從已知可以推出什么結(jié)論?2.要推導(dǎo)出結(jié)論需要什么條件?3.怎樣把復(fù)雜問題簡單化?

例2:已知cot-=aa≠0，求cosx。

分析:這是一道有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算問題。已知復(fù)角的余切值，求單角的余弦值，若不善于分析隱含條件，不善于發(fā)現(xiàn)已知條件中的復(fù)角與待求式中的單角之間的關(guān)系，不善于聯(lián)想三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化公式，只按通常的思路(先將已知條件展開進(jìn)行)求解，會(huì)相當(dāng)困難，我們可以將角的變換與三角函數(shù)的變換結(jié)合起來分析，先從“未知”找“需知”:cosx=sin-x= sin2-(應(yīng)用萬能公式，需知tan-)。

解析:∵cot-=aa≠0，∴tan-=(用萬能公式可求sin2- )，

∴cosx=sin-x= sin2-=== .

這樣，將角的變換與三角函數(shù)的變換結(jié)合起來研究，就能順利地將已知復(fù)角的余切值，求單角的余弦值問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)基本的問題:已知角的正切值，求倍角的余弦值，用萬能公式由“已知”求出“未知”。因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在分析解題途徑時(shí)，注意分析由已知可推導(dǎo)出什么結(jié)論，要導(dǎo)出結(jié)論需要什么條件，怎樣可以將問題簡單化等方面作仔細(xì)思考。

三、完美地寫出解答的思考

解題者對(duì)數(shù)學(xué)題看透徹，想明白，確立了解題的方法和途徑之后，要善于運(yùn)用嚴(yán)密、精確、規(guī)范、簡明的數(shù)學(xué)語言，將頭腦中構(gòu)思的解題程序具體地表達(dá)出來。這也是解題者將輸入頭腦中的題目信息和存儲(chǔ)的有關(guān)知識(shí)信息經(jīng)過加工改造后，輸出新信息的過程。在實(shí)現(xiàn)解答的敘述過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意思考下列問題:⑴敘述要分為哪幾個(gè)層次和步驟?⑵各層次是否條理分明?各步驟有什么根據(jù)?⑶書寫格式是否規(guī)范?

例3 :平面內(nèi)有n個(gè)圓，最多把平面分成幾部分?

分析:這是一道抽象的探究性數(shù)學(xué)題。第一步，要挖掘出題目的隱含條件，題目的隱含條件是將平面分成的區(qū)域數(shù)最多，即 個(gè)圓兩兩相交且任何三個(gè)圓不共點(diǎn)。第二步，將問題轉(zhuǎn)換成數(shù)列問題，設(shè)平面內(nèi)1，2，…，n個(gè)圓，最多把平面分成的區(qū)域塊數(shù)分別為a1，a2，…，ax。第三步，直接求數(shù)列{ax｝的通項(xiàng)公式有困難，可轉(zhuǎn)求遞推公式，接著用試驗(yàn)、歸納、猜想方法求通項(xiàng)公式。第四步，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格的證明，可分以下四個(gè)層次寫出解答:

解析:設(shè)平面內(nèi)1，2，…，n個(gè)圓，最多把平面分成的區(qū)域塊數(shù)分別為a1，a2，…，ax。

若平面內(nèi)有n-1個(gè)圓，已將平面分解為ax-1個(gè)部分，如果再增加一個(gè)圓，這第n個(gè)圓分別與前n-1個(gè)圓都相交且任何三個(gè)都不共點(diǎn)，則第n個(gè)圓必與前 n-1個(gè)圓交于2(n-1)個(gè)交點(diǎn)，第n個(gè)圓被分成2(n-1)段弧，每段弧把它所在的原區(qū)域一分為二，因此，分割區(qū)域總數(shù)便增加了2(n-1)塊，即ax=ax-1+ 2( n-1)(n≥2)。經(jīng)試驗(yàn)，顯然:a1=2，a2=a1+2(2-1)=2+2-1，a3=a2+2(3-1)=2+3.2，a4=a3+2(4-1)=2+4.3 …… 由此可猜想通項(xiàng)公式ax=2+n( n-1)(n+)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:因?yàn)?/p>

(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1= 2，右邊=2+1(1-1)=2，左邊=右邊，故命題成立。

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立。即ax=2+k(k+1)。

(3)當(dāng)n=k +1時(shí)，ax+1=ax+2[(k+1)-1]=2+k(k-1)+2[(k+1)-1]=2+(k-1)[(k+1)-1]，

所以，當(dāng)n=k +1時(shí)，命題成立。

故，平面內(nèi)n個(gè)圓最多把平面分成n2-n+2部分。

此例是一道用數(shù)學(xué)歸納法證明的抽象的探究性數(shù)學(xué)題，通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行遞推(由ax-1遞推出ax)，不但要要善于試驗(yàn)、歸納和猜想，而且在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要善于運(yùn)用歸納假設(shè):當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即ax=2+k(k-1)，對(duì)n=k +1時(shí)，等式ax+1=ax+2[(k+1)-1]的右邊通過分解和提取等作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，證明當(dāng)n=k +1時(shí)，猜想也成立，從而肯定猜想是正確的。

因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在完美無缺地寫出解答時(shí)，注意從敘述的層次和步驟，各層次是否條理分明，各步驟有什么根據(jù)，書寫格式是否規(guī)范等方面作仔細(xì)思考。

四、解題完成后的思考

在每完成一道數(shù)學(xué)題的解答后，我們要善于反思和評(píng)價(jià)，因?yàn)殡m然該問題解決了，但并不意味著解題的思維活動(dòng)可以結(jié)束，而應(yīng)該深入認(rèn)識(shí)。為了充分體現(xiàn)解一道數(shù)學(xué)題的作用和效益，還需要回顧解決問題的過程，判斷解題結(jié)果的正確性，并從數(shù)學(xué)思想方法上高度概括解題的規(guī)律性，運(yùn)用發(fā)散思維進(jìn)行類比、推廣和延伸，令每解一道題都有所發(fā)展，不斷地積累解題經(jīng)驗(yàn)。重視解題信息的反饋和自我調(diào)控，從而提高解題的質(zhì)量和效益，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的自我評(píng)價(jià)能力，提高獨(dú)立思維能力和解題能力，養(yǎng)成多思、深思的好習(xí)慣。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在完成解答后，思考下列問題:

1.此題歸屬哪種類型的數(shù)學(xué)題?此類型題的解題思想是什么?解題思路是什么?解題過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法?

2.此題的解題結(jié)果是否正確、完美?是否有別的解法?哪種解法最佳?

3.此題是否可以推廣和延伸?

例如，解答完例3后進(jìn)一步深思，便會(huì)領(lǐng)悟到該題的解題思想為:化歸思想(將幾何問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為數(shù)列問題)、數(shù)形結(jié)合思想(圓形、圓的性質(zhì)與遞推數(shù)列結(jié)合)、遞推思想(試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明)。通過此例題可以更好地鞏固多種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法:兩圓相交的特殊性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式、演繹推理法、不完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法。這類題的解題思路可以概括為:先將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，再由圖形的有關(guān)性質(zhì)導(dǎo)出遞推公式，然后用不完全歸納法猜想出通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法(或迭加法或迭代法)給予嚴(yán)格的證明。并且，從例3可引伸出下列命題:

1.平面內(nèi)有n條直線最多把平面分成幾個(gè)部分?

2.空間n個(gè)平面最多把空間分成幾個(gè)部分?

3.連結(jié)將△ABC的兩邊AB、AC各分n+1部分的n個(gè)分點(diǎn)，將三角形分割成多少部分?

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一方面要從理論上提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)，完整地看待數(shù)學(xué)解題的作用和解題思維活動(dòng)的全過程;另一方面在解題的實(shí)際操作上，思考要得法，要有目的、有步驟地思考具有指導(dǎo)作用的有關(guān)問題，在教會(huì)學(xué)生如何思考上下功夫，促使學(xué)生在解題活動(dòng)中學(xué)會(huì)如何進(jìn)行審題思考，如何進(jìn)行分析思考，如何進(jìn)行表達(dá)思考，如何進(jìn)行反思、評(píng)價(jià)與拓展?？傊?，數(shù)學(xué)解題教學(xué)要以思維訓(xùn)練為中心，以解數(shù)學(xué)題為手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)意識(shí)，逐步提高數(shù)學(xué)能力，形成優(yōu)良的思維品質(zhì)，養(yǎng)成積極鉆研、探索和創(chuàng)造精神。

(作者單位:廣東省食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)校)

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)