數(shù)形結(jié)合 巧解代數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思想方法，在解題時如能將數(shù)與形有機的結(jié)合起來，能將一些繁瑣冗長，或無從著手的問題迎刃而解，本文將談?wù)剶?shù)形結(jié)合在解決代數(shù)問題時的幾點運用，供參考。

一、數(shù)形結(jié)合在解方程中的運用

例1 解方程+=6

解:原方程可化為+=6

令y2=1，則+=6

它表示動點(x，y)到兩定點(2，0)，(-2，0)距離之和為6，

由橢圓定義知它就是橢圓+=1

把y2=1代入得x=±，

經(jīng)檢驗知原方程的根為x=±

二、數(shù)形結(jié)合在解不等式中的運用

例2 已知x>x，則x的范圍

解:在坐標(biāo)系中畫出冪函數(shù)y=x及y=x的圖像，

由圖像可知x的范圍為(-∞，0)∪(1，+∞)

三、數(shù)形結(jié)合在不等式證明中的運用

例3 若實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=a，x2+y2+z2=，(a>0)

求證:0≤x≤，0≤y≤，0≤z≤

證明:將已知條件看作直線和圓，

直線x+y+(z-a)=0與圓x2+y2=-z2(z當(dāng)作常量)有公共點。

因此圓心(0，0)到直線距離d=≤0≤z≤

同理可證:0≤x≤，0≤y≤

四、數(shù)形結(jié)合在求最值問題中的運用

例4 求函數(shù)y=的最值

解:問題可轉(zhuǎn)化成是動點(cosx，sinx)與定點(2，2)的連線斜率的最值。

又因為動點(cosx，sinx)軌跡為圓

x2+y2=1

設(shè)過(2，2)的直線方程為y-2=k(x-2)

即kx-y-2k+2=0

直線中與圓x2+y2=1相切的k即為所求

所以=1k=

從而ymax=，ymin=

綜上，數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在運用其解題時，要做到認真分析，精確作圖，嚴(yán)密推理，才能實現(xiàn)數(shù)與形的等價轉(zhuǎn)換，保證正確的解題結(jié)果。