量子氣體在光晶格中的一維玻色-哈伯德模型模擬

欒 添,張雪松,陳徐宗

(1.中國(guó)電子科學(xué)研究院,北京 100041; 2.北京大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,北京 100871)

0 概述

近年來(lái),量子模擬引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]提出應(yīng)用量子系統(tǒng)模擬物理問題與現(xiàn)象,通過(guò)可控的量子系統(tǒng)模擬仿真不可控的或不易解析的量子系統(tǒng),獲取被模擬量子系統(tǒng)的相關(guān)規(guī)律和信息[2]。文獻(xiàn)[3]指出實(shí)現(xiàn)量子模擬的主要技術(shù)手段有光晶格囚禁超冷原子、離子阱技術(shù)、原子核自旋操控、超導(dǎo)電路芯片、相干光子操控等。文獻(xiàn)[4-5]闡述了量子計(jì)算的研究方向,包括凝聚態(tài)物理、拓?fù)湮锢怼⒏吣芪锢?、宇宙學(xué)、量子化學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)等。

目前,超冷原子量子模擬技術(shù)逐漸成為量子研究領(lǐng)域的熱門方向[6-7]。超冷原子作為量子模擬載體[8-9]的優(yōu)越性主要表現(xiàn)在:超冷原子在量子模擬的過(guò)程中可以保持較好的關(guān)聯(lián)特性;應(yīng)用Feshbach共振技術(shù)可連續(xù)調(diào)節(jié)超冷原子之間的相互作用;在超冷原子的基礎(chǔ)上引入人造規(guī)范勢(shì)模擬自旋系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]在BEC實(shí)驗(yàn)上應(yīng)用環(huán)形勢(shì)阱實(shí)現(xiàn)對(duì)聲波黑洞的模擬。文獻(xiàn)[11]在超冷133Cs原子系統(tǒng)中引入淬火效應(yīng)模擬宇宙大爆炸模型早期的非平衡演化過(guò)程,成功觀測(cè)到Sakharov振蕩現(xiàn)象。文獻(xiàn)[12]應(yīng)用超冷原子模擬激光黑洞,并觀察到霍金輻射現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]提出通用對(duì)射激光形成光學(xué)晶格囚禁超冷原子模擬凝聚態(tài)理論經(jīng)典模型的構(gòu)想。文獻(xiàn)[14]利用三維光晶格囚禁超冷87Rb原子進(jìn)行超流-莫特絕緣態(tài)量子相變實(shí)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)對(duì)三維玻色-哈伯德模型的量子模擬,以光晶格囚禁超冷原子模擬凝聚態(tài)物理中的理論模型。由于激光有“零缺陷”性,原子可以較好地囚禁在獨(dú)立分布的光學(xué)格點(diǎn)中。另外,對(duì)光晶格的強(qiáng)度、頻率、相位等關(guān)鍵參數(shù)加以調(diào)節(jié),可以模擬一些不易實(shí)現(xiàn)的晶體結(jié)構(gòu)類型,如一維鏈狀結(jié)構(gòu)、蜂巢結(jié)構(gòu)、三角形結(jié)構(gòu)、石墨烯結(jié)構(gòu)等。目前,物理學(xué)家實(shí)現(xiàn)了對(duì)玻色-哈伯德模型(Bose-Hubbard Model)、費(fèi)米-哈伯德模型(Fermi-Hubbard Model)[15]、伊辛模型(Ising Model)[16]、海森堡模型(Heisenberg Model)[17]、豪爾丹模型(Haldane Model)[18]、量子無(wú)序態(tài)模型的量子模擬[19]。

本文研究一維玻色-哈伯德模型理論及量子相變過(guò)程,應(yīng)用光晶格中的超冷原子模擬一維玻色-哈伯德模型,通過(guò)觀察超冷原子超流-莫特絕緣態(tài)相變過(guò)程測(cè)得相變發(fā)生的臨界點(diǎn),并對(duì)量子氣體擴(kuò)散過(guò)程中的動(dòng)態(tài)空間干涉圖樣進(jìn)行分析和比較。

1 一維玻色-哈伯德模型

玻色-哈伯德模型可以解釋超導(dǎo)現(xiàn)象發(fā)生時(shí)導(dǎo)體中的電子在構(gòu)成晶格的原子之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。利用光晶格中的一維玻色氣體對(duì)一維玻色-哈伯德模型進(jìn)行模擬,當(dāng)一維氣體在周期性外勢(shì)場(chǎng)Vext(x)=V0cos(kx)中時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為[20]:

(1)

其中,m為原子的質(zhì)量,k為光晶格的波矢。以格點(diǎn)的基態(tài)瓦尼爾函數(shù)w0(x-ia)為基對(duì)式(1)進(jìn)行二次量子化(a=2π/k為晶格常數(shù)),定義算符的矩陣元:

(2)

(3)

(4)

2 一維玻色-哈伯德模型量子相變

在一維玻色-哈伯德模型中,當(dāng)t和U連續(xù)變化時(shí),量子系統(tǒng)經(jīng)歷超流態(tài)到絕緣態(tài)變化的過(guò)程,是一種量子相變,稱之為超流-莫特(Mott)絕緣態(tài)相變[21]。從理論上對(duì)相變進(jìn)行簡(jiǎn)要分析,當(dāng)t/U→0時(shí),式(4)可以簡(jiǎn)化為[22]:

(5)

n-1<μ/U

(6)

在該取值條件下,單格點(diǎn)的囚禁原子數(shù)僅為n時(shí)系統(tǒng)能量最小。定義ΔEP表示此時(shí)格點(diǎn)內(nèi)每增加一個(gè)粒子帶來(lái)的能量變化,ΔEH表示減少一個(gè)粒子帶來(lái)的能量變化。則:

(7)

由μ/U的取值條件可知,單格點(diǎn)的原子數(shù)為n時(shí),ΔEP與ΔEH均為正值。無(wú)論格點(diǎn)內(nèi)增加或減少一個(gè)原子都將使格點(diǎn)的整體能量增加,只有通過(guò)外界能量參與才能強(qiáng)制改變這種狀態(tài),即可以看成是格點(diǎn)內(nèi)單原子激發(fā)存在著能帶間隔。從式(4)可以看出,隧穿項(xiàng)(-t)帶來(lái)的能量變化使系統(tǒng)的能量減少,當(dāng)t

圖1 一維玻色-哈伯德模型超流-莫特絕緣態(tài)相變

3 超冷原子的一維玻色-哈伯德模型

光晶格的周期性勢(shì)阱是研究一維玻色-哈伯德模型的理想手段,一般先以超冷原子為基礎(chǔ)制備一維玻色氣體,然后在一維玻色氣體上加載一維光晶格,通過(guò)調(diào)節(jié)光晶格的勢(shì)阱深度改變?cè)釉诟顸c(diǎn)之間的隧穿項(xiàng),實(shí)現(xiàn)超流-莫特絕緣態(tài)的量子相變。

采用87Rb超冷原子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行量子模擬實(shí)驗(yàn),在制備完成87Rb玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein Condensate,BEC)后,得到原子數(shù)為1.6×105,純度約為90%,處于|F=1,mF=-1〉超精細(xì)能態(tài)上的BEC。以e指數(shù)的形式絕熱加載勢(shì)阱深度為50Er的1 064 nm二維光晶格激光(Er為原子的反沖能量)。在加載光晶格的過(guò)程中,采用磁懸浮的方法平衡87Rb原子的重力。由于原子在橫向上的束縛比較強(qiáng)(橫向束縛頻率ω⊥=2π×30 kHz),滿足一維氣體條件:μ,kBT<<ωr,因此,原子在空間中看作是處在整齊排列的一維管道中,每個(gè)管道中的原子可以近似成一維玻色氣體(一維束縛頻率ωx=2π×83.3 Hz,相互作用參量γ=0.57),如圖2(a)所示。

圖2 量子模擬實(shí)驗(yàn)

在一維方向上以相同的時(shí)序加載852 nm對(duì)射激光形成光晶格,形成周期性勢(shì)場(chǎng),光晶格的勢(shì)阱深度由1Er連續(xù)調(diào)節(jié)至50Er,以連續(xù)改變?cè)釉谙噜徃顸c(diǎn)之間的隧穿強(qiáng)度。在實(shí)驗(yàn)中,t/U可以從0.002 6連續(xù)變化到1.106,采用時(shí)間飛行(Time of Flight,TOF)方法來(lái)進(jìn)行成像,圖2(b)為實(shí)測(cè)到的一維玻色氣體超流-莫特絕緣態(tài)動(dòng)量空間相變圖。從圖2(b)可以看出,隨著光晶格勢(shì)阱深度的增加,一維玻色氣體的動(dòng)量空間發(fā)生連續(xù)的變化。

4 超冷原子超流-莫特絕緣態(tài)相變過(guò)程

為研究光晶格中超冷原子在相變過(guò)程的特性,采用雙高斯擬合的方法對(duì)原子在動(dòng)量空間的物質(zhì)波干涉圖樣進(jìn)行分析,以分辨出超流成分和莫特絕緣態(tài)成分在相變過(guò)程中的變化。在實(shí)驗(yàn)時(shí)序上,制備一維氣體時(shí)加載一維方向上852 nm的光晶格。在晶格加載完畢后,原子在光晶格中靜置30 ms,并在50 μs內(nèi)迅速將光晶格勢(shì)阱深度增加至30Er(t/U=0.012 6),將所有的激光和磁場(chǎng)關(guān)斷并做30 ms的TOF成像。該過(guò)程可以看作是將原子的波函數(shù)向30Er阱深下的光晶格能帶做一個(gè)投影,完整保留一維氣體方向的相干信息。

(8)

(9)

圖3 光晶格中一維玻色氣體動(dòng)量空間干涉圖樣及縱向積分

圖3(b)是在t/U=0.081 7(13Er)條件下得到的干涉圖樣,相干峰成分較圖3(a)有所降低,非相干成分增加。

圖4 光晶格中一維玻色氣體隨平均原子數(shù)密度和t/U變化的超流成分映射

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以凝聚態(tài)物理中的一維玻色-哈伯德模型為基礎(chǔ),從理論角度研究了超流-莫特絕緣態(tài)的量子相變過(guò)程,在超冷87Rb原子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上制備一維玻色氣體,在此基礎(chǔ)上加載852 nm光晶格囚禁超冷原子,對(duì)一維玻色-哈伯德模型進(jìn)行量子模擬。同時(shí),研究了在超流-莫特絕緣態(tài)相變過(guò)程中一維玻色氣體動(dòng)量空間的變化情況,利用連續(xù)改變光晶格中一維玻色氣體的密度和光晶格勢(shì)阱深度得到超流成分映射圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,光晶格中的量子氣體可以較好地對(duì)一維玻色-哈伯德理論模型進(jìn)行模擬。下一步將改進(jìn)、完善實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),在大參數(shù)范圍內(nèi)調(diào)節(jié)原子的密度,以便模擬凝聚態(tài)物理學(xué)中的理論模型。