小議邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

龍冠樺

摘要:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),而邏輯學(xué)是研究思維形式及其規(guī)律的科學(xué)。本文就邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作一探討。

關(guān)鍵詞:邏輯數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào):G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-2851(2009)10-0177-01

高中數(shù)學(xué)的起始單元就是“集合與簡(jiǎn)易邏輯” 。雖然它是第一次以“邏輯”的形式正式出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中,但是邏輯思維方法,早從初中數(shù)學(xué)伊始,就已經(jīng)貫穿于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中了。如初中代數(shù)中的一元二次方程、一元二次方程組,平面幾何中的四種命題、反證法等,這些知識(shí)中都包含和滲透著邏輯學(xué)知識(shí)。而高中代數(shù)中的集合、不等式組、數(shù)學(xué)歸納法,立體幾何中的定義、公理、反證法等等,更是貫穿著邏輯學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用。我們一定要認(rèn)真理解并吸收這些知識(shí),掌握正確的邏輯思維方法,才能為以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

既然邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著如此重要的位置,要學(xué)好數(shù)學(xué),我們必須努力學(xué)習(xí)和掌握邏輯學(xué)相關(guān)知識(shí),進(jìn)而全面地理解概念,正確地進(jìn)行邏輯推理和判斷。唯有如此,我們才能贏得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的勝利。

下面是我對(duì)邏輯學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)部分知識(shí)中的滲透和運(yùn)用的一些膚淺理解。

一、邏輯學(xué)知識(shí)在集合中的應(yīng)用

簡(jiǎn)易邏輯與集合密不可分。邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”詮釋著三種不同的邏輯,它們與集合的“并”、“交”、“補(bǔ)”有著密切的聯(lián)系。

(一)“或”可以理解為集合中的并集,是將不同集合的所有元素合成一個(gè)集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個(gè)成立。

(二)“且”可以聯(lián)想到集合中交集的概念,它類似于我們慣常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”這兩個(gè)條件同時(shí)都滿足。

(三)“非”可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集。若命題P對(duì)應(yīng)的集合為A,則命題非P就應(yīng)該對(duì)應(yīng)著集合A在全集U中的補(bǔ)集CuA。

二、 邏輯學(xué)知識(shí)在概率中的應(yīng)用

假使我們把以上三種邏輯運(yùn)用到概率中,便更容易理解了。如果事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,則事件A與B為互斥事件,就像“或”對(duì)應(yīng)著并集,發(fā)生的概率是A發(fā)生的概率加B發(fā)生的概率。而對(duì)于相互獨(dú)立事件,事件A與B發(fā)生的概率就是A的概率與B的概率之乘積。如果A和B是對(duì)立事件,就滿足著排斥邏輯。所以說(shuō)數(shù)學(xué)中概率的運(yùn)用也同樣離不開(kāi)邏輯。

三 、邏輯學(xué)知識(shí)在“反證法”中的應(yīng)用

從邏輯學(xué)的角度理解反證法,也就是通過(guò)推理論證矛盾命題非P的虛假性,從而確定命題P的真實(shí)性的論證。需要注意的是,假定P與非P的結(jié)論所確定的集合分別是A、B,且滿足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”結(jié)論必須包含P的結(jié)論的所有對(duì)立面。否則我們使用反證法證題時(shí)就可能犯錯(cuò)誤。如題:用反證法證明:如果a>b>0,則√a>√b。我們證明時(shí)假設(shè)√a不大于√b,則有兩種情況√a<√b 或者√a=√b。這樣在推理過(guò)程中,把命題結(jié)論對(duì)立面的兩種情況都納入了論證,才是正確而完整的論證,這樣得出的結(jié)論才能令人信服。

四、邏輯學(xué)知識(shí)在充分、必要、充要條件中的運(yùn)用

我們知道,一般情況下,如果由p=>q,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要條件,即充要條件。

例:條件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判斷p是q的()。

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立則q成立,而q成立則p不一定成立,故p是q的充分不必要條件,故選A。

五、邏輯學(xué)知識(shí)在理解判斷四種命題及其相互關(guān)系的應(yīng)用

在本節(jié)的學(xué)習(xí)中,我們可以從邏輯學(xué)和集合兩個(gè)角度去理解概念,正確掌握判斷四種命題的方法,如定義法,集合法,轉(zhuǎn)化法等。學(xué)會(huì)運(yùn)用集合的觀點(diǎn)來(lái)解決簡(jiǎn)易邏輯中的一些問(wèn)題。

當(dāng)然,邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透和應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只上述幾個(gè)方面,在高中學(xué)的其他章節(jié)的學(xué)習(xí)中,我們都會(huì)遇到諸如此類的邏輯應(yīng)用問(wèn)題,在此無(wú)法一一列舉。

正是由于邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中不容忽視的作用,我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,一定要有意識(shí)地學(xué)習(xí)和掌握邏輯學(xué)知識(shí)。這一方面有助于我們合乎邏輯地、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)和方法,另一方面也有助于培養(yǎng)我們良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì),為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和今后的社會(huì)實(shí)踐奠定牢固的基礎(chǔ)。