試談“一次函數(shù)”中的數(shù)學(xué)思想

張官勝

摘要:用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)的思維方法去看待、分析和解決實際生活問題,體現(xiàn)了 “人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”的課程理念,是當(dāng)前課程改革的大勢所趨。 解決問題時倡導(dǎo)將各種數(shù)學(xué)思想方法有機地結(jié)合起來理解,相互聯(lián)系、相互融合運用。在解決數(shù)學(xué)問題時,往往需要綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。

關(guān)鍵詞:函數(shù);方程;數(shù)形結(jié)合分類討論;整體類比;幾何運動變化;建模

中圖分類號:G633文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1003-2851(2009)10-0059-01

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓,它在學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)知識的過程中,起指導(dǎo)作用?；局R點是數(shù)學(xué)課上首先要掌握的,但更重要的是解決問題的思路和方法,思路和 方法的獲取要靠自己一步一步地去體驗和理解,更重要的是解決問題的過程,在過程中探索、獲取思路和方法。每年的中考數(shù)學(xué)題都著重考查了同學(xué)們對數(shù)學(xué)思想方 法的理解和掌握。因此,同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,對重要的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)要加強,而不是消弱。

下面談一談“一次函數(shù)”中的數(shù)學(xué)思想。

一、函數(shù)的思想:就是根據(jù)題中條件學(xué)會用函數(shù)方法解決實際問題?！昂瘮?shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運動變化、相互聯(lián)系,從量的側(cè)面反映客觀世界的動 態(tài),它們的相互制約性,函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要模型。經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程,體會函數(shù)的模型思想和一次函數(shù)在我們現(xiàn)實生活的廣泛應(yīng)用,培養(yǎng)同學(xué)們“數(shù)學(xué)化”的能力。

二、方程思想:就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,適當(dāng)設(shè)出未知數(shù),通過等量關(guān)系列出方程或方程組來解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。主要是指建立方程(組)解決 實際問題的思想方法。函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切。如解方程就是求函數(shù)y=f(x)當(dāng)函數(shù)值為零時自變量x的值;用函數(shù)圖象的“交軌”方法,可以求 出或討論方程f(x)=g(x)的根或“函數(shù)組”化的方程組,等等。這種聯(lián)系提供了解決問題過程中轉(zhuǎn)化的依據(jù)。

三、轉(zhuǎn)化思想:就是根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系 ,把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題,恰當(dāng)?shù)匕杨}目中的某些關(guān)系從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式,問題就能比較順利地得到解決,這 就是轉(zhuǎn)化思想。領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化思想,能夠幫助同學(xué)們打開思路,把一個較復(fù)雜或陌生的問題轉(zhuǎn)化成較簡單或熟悉的問題。 例如,一次函數(shù)的圖、表、式三種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化,通過方程與函數(shù)的聯(lián)系解決問題,求兩條直線交點的問題轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組的解。使學(xué)生學(xué)會以 特殊情況為基礎(chǔ),通過轉(zhuǎn)化來解決一般問題的方法,培養(yǎng)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號的能力。

四、數(shù)形結(jié)合思想:就是把問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考查的思想,簡單地說,就是將數(shù)與形結(jié)合起來解題的一種方法,在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地 位。在解題方法上,把“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化,從而使問題化難為易、化繁為簡,做到靈活進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化,達(dá)到解決問題的目的。在生活中量與量的關(guān)系可以形象 地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來,如心電圖、股市行情走勢圖等,圖象中含有著豐富的圖象信息,要善于從圖象的形狀、位置發(fā)展變化趨勢等有關(guān)信息中獲取啟發(fā)。教學(xué) 中根據(jù)函數(shù)的圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式,由函數(shù)圖象獲取信息,由y=kx+b中k、b的值,可畫函數(shù)的圖象;由函數(shù)圖象,能判斷k、b的取值范圍;以及y 隨x的變化而變化的情況。讓學(xué)生把一次函數(shù)的性質(zhì)熟練運用,進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。

五、分類討論思想:當(dāng)研究的問題包含多種可能情況時,必須按所有可能出現(xiàn)的情況來分別討論,從而得到各種情況下相應(yīng)的結(jié)論,這種處理問題的思想稱為分類討 論思想。它既是一種數(shù)學(xué)思想,又是一種重要的解題策略。并且需分類討論的問題覆蓋的知識點較多,還要注意分類的方法和技巧,做到明確分類標(biāo)準(zhǔn),即“不重 復(fù),不遺漏”。如一次函數(shù)圖象經(jīng)過哪些象限需要針對k、b的取值范圍分情況討論;理解某函數(shù)的折線圖象時需分段考慮;實際應(yīng)用題中涉及多種情況時也需要分 類。

六、整體思想:就是將注意力和著眼點放在問題的整體上,或把一些相互聯(lián)系的量作為整體來處理的思想。不僅能避免復(fù)雜的計算,而且能達(dá)到解決問題的目的。如 “y-a 與2x+b成正比例”,那么,可以設(shè)y-a=k(2x+b),則y=2kx+2b+a,…

七、類比思想:即所謂的“類比發(fā)現(xiàn)法”,就是通過對兩個相類似的數(shù)學(xué)研究對象的異同進(jìn)行觀察和比較,從一個已經(jīng)學(xué)過的、熟知的研究對象所具有的性質(zhì),去猜 想另一個研究對象所具有的類似的性質(zhì)。同學(xué)們可由題目結(jié)構(gòu)相同或類似,類比可得題目間解題的方法可能相同或類似,以此嘗試確定解題的思路。

八、幾何運動變化思想:適用于常以動態(tài)的形式出現(xiàn)的圖形變換題。將一個圖形或某部分進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱或中心對稱變換后,得到新的圖形,從中探求結(jié) 論。不僅要求學(xué)生會根據(jù)已知條件作出變換后的圖形,還要求學(xué)生能根據(jù)原圖形與變換后的圖形的位置關(guān)系說明具體的變換過程。“一次函數(shù)”中主要是了解圖象 (直線)的平移。

九、建模思想:從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型,再利用數(shù)學(xué)知識解決它,這種思想叫做數(shù)學(xué)建模思想。是一種常見的解決實際問題的思想,其實質(zhì)是從實際問題中提取 出關(guān)鍵性的基本量,再將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來進(jìn)行推理、計算、論證等,最后得出結(jié)論。

總之,在課堂上,在老師的引導(dǎo)下,學(xué)生投入到解題的整個過程中去,要通過親自動手、親自探究,在解題探究的整個過程中,自然而然地掌握了思路、方法,這樣 獲取的思路和方法才是學(xué)生自己的。從教學(xué)效果看,在“一次函數(shù)”的教學(xué)中滲透和運用這些數(shù)學(xué)思想方法,能增強學(xué)習(xí)的趣味性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的主 動性;能啟迪思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)智能,有利于學(xué)生形成牢固、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這樣無疑有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升,無疑有助于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展。