基于二次方程組的鄰近圓軌道四沖量最優(yōu)交會*

陳長青，解永春

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京100190）

基于二次方程組的鄰近圓軌道四沖量最優(yōu)交會*

陳長青1，2，解永春1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京100190）

研究了一種基于二次方程組的鄰近圓軌道四沖量最優(yōu)交會的求解方法.給出鄰近圓軌道交會的無量綱化動力學(xué)方程及相應(yīng)的基向量方程，介紹由Carter提出的一種基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法，在提出鄰近圓軌道最優(yōu)沖量交會的原始解、相反解、對偶解、對偶相反解概念的基礎(chǔ)上，分析基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法存在的問題，并給出修正方法.仿真結(jié)果表明，該方法是對Carter提出的基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會求解方法的有效補充.

鄰近圓軌道；四沖量最優(yōu)交會；二次方程組

在交會對接過程中，對燃料消耗的優(yōu)化一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點.20世紀(jì)60年代末，Prussing關(guān)于鄰近圓軌道有限時間內(nèi)多沖量最優(yōu)交會理論是其間很突出的成果.Prussing［1-2］針對鄰近圓軌道平面交會問題，選擇兩圓形軌道的中間軌道建立參考坐標(biāo)系，利用線性方程下共軛變量與狀態(tài)變量的解耦性，分別對基向量和邊界值問題進行求解，得到具體交會時間和初末相對狀態(tài)下最優(yōu)沖量模式的分布情況.在Prussing［1-2］的工作基礎(chǔ)上，國內(nèi)外不少學(xué)者對該理論進行了補充和延伸：文獻［3］選擇平均速率參考軌道，重復(fù)了Prussing的工作，使得交會結(jié)束后參考系原點與目標(biāo)航天器重合，同時提高了追蹤航天器與目標(biāo)航天器存在較大初始相位差時的交會精度；文獻［4］和［5］研究了具體軌道下不同交會時間的三沖量最優(yōu)交會模式；文獻［6］以目標(biāo)航天器軌道為參考軌道，研究鄰近圓軌道的最優(yōu)沖量交會問題，分析了不同交會模式的邊界分布情況；文獻［7］針對四沖量求解問題，提出了一種基于二次方程組的求解方法，大大提高了求解的效率.

但是文獻［7］提出的求解方法，在某些存在四沖量最優(yōu)解的交會問題中無法得到正確解.本文在文獻［7］的研究基礎(chǔ)上，提出原始解、相反解、對偶解、相反對偶解的概念，分析文獻［7］中求解方法無法得到正確解的原因，并給出一套完整的基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法.

1 動力學(xué)方程和基向量方程

如圖1所示，追蹤航天器和目標(biāo)航天器均沿圓軌道運動，其初始相位角之差為β，O點為地球球心，選擇中間軌道為參考軌道，參考坐標(biāo)系的初始原點在地心與追蹤航天器連線的延長線上，利用如下無量綱化的線性方程研究航天器相對參考圓軌道的平面內(nèi)相對運動［1-2］：

圖1 相對運動與參考軌道

式中，歸一化后的參考圓軌道的軌道半徑為1，δr為航天器與參考軌道的半徑差的歸一化表示，δθ為航天器與參考系原點的相位角之差，以飛行方向為正向，ax和az分別為徑向和切向歸一化后的推力加速度.方程（1）中的導(dǎo)數(shù)都是相對于無量綱化后的時間τ求得的.記則方程（1）寫成狀態(tài)方程的形式如下：

方程（2）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

式中τ為歸一化后的轉(zhuǎn)移時間.對于鄰近圓軌道交會問題，交會時間為τF時，初末相對狀態(tài)為

式中δθF＝β－0.75τFδr.定義基向量p＝－λv＝［λμ］T，其中λv為狀態(tài)變量的共軛變量，利用最優(yōu)控制理論可以得到基向量方程為［1-2］

可以求得方程（5）的解為

式中參數(shù)A，B，C為待定常數(shù).

本文將利用方程（1）、（2）、（5）描述鄰近圓軌道的交會活動，研究文獻［7］提出的基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法.

2 基于二次方程組的鄰近圓軌道四沖量最優(yōu)交會

本文只給出一些關(guān)鍵的推導(dǎo)過程，分3部分進行闡述，具體的求解過程參見文獻［7］.

（1）基向量解的簡化表示

由最優(yōu)交會的必要條件可以得到當(dāng)四脈沖最優(yōu)交會成立時基向量滿足對稱性、相交條件和相切條件［1，7］.利用對稱性分析式（6）中的參數(shù)，可以得到

引入新的變量

（2）基向量方程的求解

下面基于式（9），利用二次方程組來求基向量解的相關(guān)參數(shù).通過相切條件可以得到

式中β（τ3）和γ（τ3）的表示與文獻［7］中式（40）和式（41）相同.利用相交條件可以得到

式中δ（τ3，τ4）和η（τ3，τ4）的表示與文獻［7］中式（48）和式（49）相同.

在已知交會時間τF的條件下，可以得到τ4＝τF／2，則由式（12）可以求得含τ3，τ4的B

把式（12）代入式（11）可以得到方程（13）是兩個只含有τ3的二元一次方程，容易求解得到τ3.將τ3代入方程（12）可以得到B.由基向量模值等于1可以求得

由對稱性容易求得

則4個沖量時刻為

（3）邊界值問題的求解

當(dāng)初末相對狀態(tài)由式（4）表示時，可以利用邊界值求解問題得到4個沖量幅值.記

又記Gi＝Φ（τi－τ1）B pi，則進一步可以求得4個沖量幅值如下：

式（17）中i＝1，2，3，4.若ΔV中的4個分量均不小于0，則存在四沖量解，4個沖量時刻由式（16）決定，沖量方向由式（17）確定，沖量大小由式（18）確定.

3 鄰近圓軌道交會中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解

在文獻［7］中，Carter利用簡化的基向量解方程（9），通過解二次方程組來求解四沖量最優(yōu)基向量解，大大簡化了求解過程.但是對于某些滿足四沖量最優(yōu)交會的問題，利用該方法可能無法得到正確解.下面從基向量方程出發(fā)，根據(jù)基向量解中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解，分析無法得到正確解的原因；根據(jù)邊界值問題中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解，探討無法得到正確解滿足的初末相對狀態(tài)和交會時間.

3.1 基向量解中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解

對方程（5）進行分析，可以推導(dǎo)得到關(guān)于基向量的兩個方程

式中，第一個方程只存在奇次導(dǎo)數(shù)項，第二個方程只存在偶次導(dǎo)數(shù)項.顯然若有λ（τ）滿足方程（19），則必有λ（－τ）也滿足方程（19）；同樣若有μ（τ）滿足方程（19），則必有μ（－τ）也滿足方程（19），即若方程（19）存在如下原始解：

則必然存在分別由方程（21）、（22）、（23）表示的相反解、對偶解和對偶相反解

這3組解的參數(shù)與原始解的參數(shù)之間存在如下關(guān)系：

對于四沖量最優(yōu)交會問題，若原始解沖量時刻的4個相位角為τ1，τ2，τ3，τ4，且四沖量最優(yōu)交會問題存在式（15）所示的對稱性，則對偶解沖量時刻的相位角同樣也可以表示成τ1，τ2，τ3，τ4.類似的，相反解和對偶相反解沖量時刻的相位角可以表示成π＋τ1，π＋τ2，π＋τ3，π＋τ4.

式（7）中當(dāng)n＝0時，C0＝0，原始解和對偶解可以由式（9）求得.當(dāng)n為其他偶數(shù)時，由式（9）可以很容易得到原始解和對偶解，其四沖量解與n＝0時的解一樣.顯然通過文獻［7］的方法可以求得原始解和對偶解.當(dāng)C0＝0，n＝1時，可以驗證由式（21）、式（24）確定的相反解和由式（23）、式（26）確定的對偶相反解，變換A，B，τ后同樣可以寫成式（9）的形式.當(dāng)n取不等于1的其他的奇數(shù)時，類似的，經(jīng)過變換，相反解和對偶相反解也可以寫成式（9）的形式，但是通過式（9）求得系數(shù)A，B后需要做相反的變換，否則得不到相反解和對偶相反解.文獻［7］中的方法沒有進行相反變換，所以無法得到這兩組解.

3.2 邊界值問題中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解

若有一組最優(yōu)交會解滿足相對高度差為δr0，初始相位角差為β0，δθF0＝β0－0.75τFδr0.記這組最優(yōu)交會解為原始解，其沖量方向為（λ01，μ01），…，（λ0n，μ0n），沖量幅值為ΔV01，…，ΔV0n；對應(yīng)的相反解的沖量方向為（－λ01，－μ01），…，（－λ0n，－μ0n），沖量幅值為ΔV01，…，ΔV0n，相反解對應(yīng)的交會問題滿足δrr＝－δr0，βr＝－β0，δθFr＝－δθF0；對應(yīng)的對偶解的沖量方向為（λ0n，－μ0n），…，（λ01，－μ01），沖量幅值為ΔV0n，…，ΔV01，對偶解對應(yīng)的交會問題，其高度差與原始解互為相反數(shù)，即δrd＝－δr0，初始相位角差為βd＝β0－1.5τFδr0，且有δθFd＝βd－0.75τFδrd＝δθF0；對應(yīng)的對偶相反解的沖量方向為（－λ0n，μ0n），…，（－λ01，μ01），沖量幅值為ΔV0n，…，ΔV01，對偶相反解對應(yīng)的交會問題滿足δrdr＝δr0，βdr＝－β0＋1.5τFδr0，δθFdr＝－δθF0.表1給出了這4組解之間的關(guān)系.

表1 邊界值問題中原始解、相反解、對偶解、對偶相反解之間的關(guān)系

從以上分析可以看出對于同一個交會時間，存在4組解，且當(dāng)它們分別對應(yīng)于不同的軌道高度差和初始相位角差時，它們的沖量方向與沖量幅值存在一定的關(guān)系.文獻［7］的方法只能得到原始解和相反解，而當(dāng)邊界值問題中的初末相對狀態(tài)滿足對偶解和對偶相反解時無法得到正確解.

3.3 四沖量最優(yōu)交會中的原始解、相反解、對偶解和對偶相反解

在文獻［7］中，對于一個具體的交會時間τF，可以利用求解二次方程組的方法求得4個沖量時刻的相位角.由于四沖量最優(yōu)交會解具有對稱性，所以原始解和對偶解的相應(yīng)沖量時刻的相位角是一致的.可以從利用文獻［7］的方法，通過求解邊界值，求得原始解和對偶解.

當(dāng)邊界值問題中的初末相對狀態(tài)滿足相反解和對偶相反解時，無法用文獻［7］中的方法求得相反解和對偶相反解，這時需要增加對相反解和對偶相反解的判斷求解，即從方程（24）、方程（26）求得相反解和對偶相反解的系數(shù)，再利用邊界值問題進行判斷求解.

4 仿真分析

考慮鄰近圓軌道的交會問題，若目標(biāo)器軌道高度為400 km，追蹤器軌道高度為360 km，選擇中間軌道為參考軌道，則有Rr＝6 758.14 km，可以計算得到δr＝0.005 919，τ4＝5.145，τ3＝2.134，B＝0.370 1，交會時間為905 4s，即τF＝10.29.

當(dāng)追蹤器和目標(biāo)器的初始相位角之差為1°，即β＝0.017 45 rad時，初末相對狀態(tài)分別為x0＝［－0.002 959 0 0 0.004 439］T，xF＝［0.002 959－0.045 57 0 －0.004 439］T，則可以求得滿足四沖量最優(yōu)交會的4個沖量幅值為［13.998 13.550 2.180 2.133］Tm／s.由于四沖量最優(yōu)交會的對稱性，當(dāng)βd＝－0.073 9 rad，δr＝0.005 919時，同樣可以求得這個交會問題的4個沖量幅值為［2.133 2.180 13.550 13.998］Tm／s.這兩組解分別為原始解和對偶解.

當(dāng)兩個航天器的軌道高度與原始解的軌道高度相反，且相位角差為－β＝－0.017 45 rad時，利用文獻［7］的方法求得的4個沖量幅值為［－13.998－13.550 －2.180 －2.133］Tm／s，顯然不滿足四沖量最優(yōu)交會.而實際上相反解可以滿足該交會問題.由式（24）有B＝－0.370 1，C＝－3.488，τr＝π＋τ0，可以得到?jīng)_量幅值為［13.998 13.550 2.180 2.133］Tm／s，可以驗證該解滿足四沖量最優(yōu)交會的必要條件.同樣當(dāng)軌道高度為δr＝0.005919，初始相位角差為βdr＝0.073 9 rad時，由文獻［7］的方法可求得沖量幅值為［1.405 1.089－21.198 13.080］Tm／s，顯然不滿足四沖量最優(yōu)解.而對偶相反解滿足該交會問題，利用式（26）重新計算，可得到?jīng)_量幅值為［2.133 2.180 13.550 13.998］Tm／s，可以驗證該解滿足四沖量最優(yōu)交會的必要條件.

從上面的仿真和分析可以看出，文獻［7］中提出的方法遺漏了相反解和對偶相反解，而本文對基向量解的補充修正，增加了對這兩組解的計算，防止了解的遺漏，完善了基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法.從仿真還可以看出，所遺漏的兩組解其參數(shù)B與原始解的相應(yīng)參數(shù)互為相反數(shù)，漏解的原因是在基向量解簡化表示過程中，當(dāng)n為奇數(shù)時，解的形式實際上已經(jīng)發(fā)生變化，所以利用文獻［7］的方法求解基向量后，需要對該形式進行還原.本文對相反解、對偶相反解的判斷求解，實際上就是對n為奇數(shù)時的還原求解.

5 結(jié) 論

Carter針對Prussing的鄰近圓軌道最優(yōu)交會理論，提出了一種基于二次方程組的四沖量最優(yōu)交會的求解方法，大大簡化了求解過程，但是在某些情況下無法得到正確解.本文在前人研究的基礎(chǔ)上，給出了原始解、相反解、對偶解、對偶相反解的概念，完善了Carter的四沖量最優(yōu)交會求解方法，并指出原始解和對偶相反解的存在是最優(yōu)交會模式對稱的根本原因.仿真結(jié)果表明，本文的工作是對文獻［7］提出方法的有效補充，進一步完善了鄰近圓軌道最優(yōu)沖量交會理論.

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［3］ Liu F C，Plexico L D.Improved solution of optimal impulsive fixed-time rendezvous［J］.Journal of Spacecraft and Rocket，1982，19（6）：521-528

［4］ Qi Y H，Cao X B.Optimal rendezvous trajectory planning with time constraint［C］.1stInternational Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics，Harbin，2006

［5］ 齊映紅，曹喜濱.三脈沖最優(yōu)交會問題的解法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版），2007，36（4）：608-612

［6］ 陳長青，解永春.參考系在目標(biāo)器軌道的鄰近圓軌道最優(yōu)脈沖交會研究［J］.載人航天，2007，25（3）：16-19

［7］ Carter T E，Alvarezs A.Quadratic-based computation of four-impulse optimal rendezvous near circular orbit［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2000，23（1）：109-117

Quad ratic-Based Computation of Four-Impulse Optimal Rendezvous between Near Circular Orbits

CHEN Changqing1，2，XIE Yongchun1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.Nationalkey Key Laboratory of Science and Technology on Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

In this paper，a method of solving quadratic equations-based four-impulse optimal rendezvous between near circular orbits is investigated.Dimensionless dynamics equations for rendezvous between near circular orbits and their corresponding primer vector e-quations are introduced.And the method of quadratic equations-based four-impulse optimal rendezvous presented by Carter is explained.Then four concepts including original solution，reciprocal solution，dual solution and dual reciprocal solution of rendezvous between near circular orbits are given.By using these concepts the problems of solving quadratic equations-based fourimpulse optimal rendezvous are analyzed，and amodifying method is given.The simulation results show that the modifying method is a good supplement for the method of quadratic equations-based four-impulse optimal rendezvous.

near circular orbit；four-impulse optimal rendezvous；quadratic equations

V526

A

1674-1579（2009）06-0045-05

*國家自然科學(xué)基金資助項目（90305024）.

2009-04-07

陳長青（1979—），男，福建人，工程師，研究方向為交會對接的制導(dǎo)技術(shù)（e-mail：changqingchen＠hotmail.com）.