對勾股定理一種推廣方式的探究

李俊永

勾股定理有著各種不同形式的推廣,其推廣所用的方式也是不同的,本文所介紹的一種推廣是用所謂聯(lián)系拓廣的方式,它是探索新的教學命題的一種重要方法.

我們知道,在直角△ABC中,設∠C=90°,則有結(jié)論:AB²=AC²+BC².這就是大家熟悉的勾股定理,如果我們將它和圓聯(lián)系起來考慮,就可以把這一定理推廣.

一、問題的提出

作直角△ABC的外接圓,如圖1所示,再延長兩直角邊AC、BC,如圖2所示,這時直角△ABC可看作是過圓一直徑的兩端點A、B作兩直線,當其交點C在圓周上時所形成的圖形.用這種觀點來看,過直徑兩端所作的兩相交直線其交點在圓周上,這僅是一種特殊位置,交點還可以在圓內(nèi),也可以在圓外.因此,從圓與過圓直徑兩端點所作的兩相交直線的關系來看,可將勾股定理加以推廣.

二、問題的猜想

在圖2的基礎上,如果以A為固定點,將AC順時針旋轉(zhuǎn)一個角度,這時兩直線AD、BC在圓內(nèi)相交于E,如圖3所示,當AC旋轉(zhuǎn)時,AE?AD比AC²越來越大,而BE?BC比BC²越來越小,這時AE?AD+BE?BC可猜想為常量AB²,即AE?AD+AC?BC=AB².①

三、問題的解決

之所以這樣猜想,是因為通過以上分析我們知道,當AC處于兩種特殊位置時,一種是圖2所示的位置,一種是當AC旋轉(zhuǎn)到與AB重合時,①式都是成立的.

下面證明對于一般情況①式也是成立的.

連結(jié)AC、BD,如圖4所示,于是有

AB²=AC²+BC²,

AB²=BD²+AD²,

而AC²=AE²-EC²=AE²-(BC-BE)²,

BD²=BE²-ED²=BE²-(AD-AE)²,

所以2AB²=AE²-(BC-BE)²+BC²+BE²-(AD-AE)²+AD²=2(AE?AD+BE?BC).

故①式得證.

四、問題的推廣

通過以上討論,我們對勾股定理可作如下推廣:

定理1 從圓的直徑AB的兩端引兩弦AD、BC,在圓內(nèi)交于E,則有

AB²=AE?AD+BE?BC.

在圖3中,如果AD逆時針方向旋轉(zhuǎn),①式右端第一項逐漸減小,第二項逐漸增大,當其交點在圓外相交于E時(如圖5所示),第二項BE?BC繼續(xù)增大,第一項AE?AD逐漸減小,我們可以繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到當AD=0時,也就是說AE與圓相切于A時(如圖6所示),這時①式變成AB²=BE?BC,這是大家所熟知的射影定理.由此可猜想如圖5所示的位置,①式也成立.其證明與上面類似.

定理2 以△EBA的AB邊為直徑作圓,分別交AE、BE邊于D、C,則有AB²=AE?AD+BE?BC.

在圖6中,當AE繼續(xù)逆時針方向旋轉(zhuǎn)時,這時BE?BC就要大于AB²,連結(jié)AC、BD,如圖7,AB²=AC²+BC²,AB²=BD²+AD²,

而AC²=AE²-EC²=AE²-(BE-BC)²,

BD²=BE²-ED²=BE²-(AE+AD)²,

所以2AB²=AC²+BC²+BD²+AD²=AE²-(BE-BC)²+BC²+BE²-(AE+AD)²+AD²=2(BE?BC-2AE?AD).

故AB²=-AE?AD+BE?BC.②(如圖7所示)

對稱地,如圖8所示有AB²=AE?AD-BE?BC.③

參考文獻:

[1]呂峰.一堂開放式探究習題課[J].中學數(shù)學教學參考,2005,(7).

[2]程新林.一道幾何題的聯(lián)想[J].中學教研,1989,(2).

[3]嚴士健等.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀[J].南京:江蘇教育出版社.2004.

(責任編輯:金 鈴)