一元四次方程2種根式求解算法的精度分析

周志宏

(長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一元四次方程2種根式求解算法的精度分析

周志宏

(長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

介紹了一元四次方程的2種根式算法，并分析了2種根式算法解的精度。研究結(jié)果表明，第1種的數(shù)值計算精度更高，而且更為穩(wěn)定。

一元四次方程；根式解；算法；精度

許多實際問題都可能導(dǎo)致求解一個一元四次方程或一元三次方程，如計算機(jī)圖形學(xué)中求解橢圓與橢圓的交點、光線追蹤[1，2]，定向井和水平井的曲線段的屈曲臨界載荷[3]等。

一元四次方程求解方法有數(shù)值迭代求解和解析求解2大類方法。這些求解方法雖然總的思路一樣，但某些局部的不同使得算法的精度與穩(wěn)定性存在較大的差異。由于數(shù)值迭代求解需要對解的區(qū)間進(jìn)行搜索，求解全部的解的算法比較復(fù)雜，計算時間也較多。而采用根式解計算，可以直接得出所有實數(shù)根。下面，筆者介紹了一元四次方程的2種根式算法，并比較研究了2種解法的數(shù)值穩(wěn)定性。

1 根式算法

一元四次方程的一般形式如下：

x4+bx3+cx2+dx+e=0

(1)

1.1第1種算法

式(1)移項可得：

x4+bx3=-cx2-dx-e

(2)

將式(2)左邊配成完全平方得：

(3)

(4)

式(4)中的y是一個參數(shù)。如果所取的y值使式(4)右邊關(guān)于x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對式(4)兩邊同時開方可以得到次數(shù)較低的方程。為了使式(4)右邊關(guān)于x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，化簡得：

y3+(-c)y2+(bd-4e)y+(4ce-b2e-d2)=0

(5)

這是關(guān)于y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應(yīng)取的實數(shù)值。

把由式(5)求出的y值代入式(4)后，式(4)的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到2個關(guān)于x的一元二次方程：

(6)

解這2個一元二次方程，就可以得出原方程的4個根。

1.2第2種算法

將式(1)中的x換成x=y-b/4可得：

x4+fx2+gx+h=0

(7)

式中，f=c-3b2/8；g=d+b3/8-bc/2；h=e-3b4/256+b2c/16-bd/4。

由于復(fù)根只能以共軛對的形式出現(xiàn)，式(7)左邊的四次多項式分解成實系數(shù)的2個二次多項式：

x4+fx2+gx+h=(x2+px+q)(x2-px+h/q)

(8)

式中，g和h不為零，p和q也不為零。設(shè)pgt;0，令式(8)左右兩邊的x2和x的系數(shù)相等，得:

f=h/q+q-p2g=p(h/q-q)

(9)

即：

h/q+q=f+p2h/q-q=g/p

(10)

從而得：

2h/q=f+p2+g/p2q=f+p2-g/p

(11)

式(11)的兩式相乘，整理后得p2的三次方程為：

p6+2fp4+(f2-4h)p2-g2=0

(12)

由式(12)可解出p2，開方取正值得p，代入式(9)得出q。由式(8)可得出2個二次方程，求解2個方程可得四次方程的根。

2 精度分析

2種算法都用了一元三次方程的求解方法，不同的是第1種算法沒有消去四次方程的三次項，而是直接配平方；第2種算法則在消去三次項后，通過比較系數(shù)的辦法求出2個一元二次方程的系數(shù)。第1種算法導(dǎo)出的三次方程和2個二次方程的系數(shù)只是原四次方程系數(shù)的平方，而第2種算法導(dǎo)出的方程的系數(shù)與原方程的系數(shù)的四次方有關(guān)。因此，如果原方程的各項系數(shù)相差較大，有可能造成大數(shù)吃小數(shù)的情況，產(chǎn)生較大的誤差。

對四次方程：

x4+rx3+r2+rx-1=0 (r為參數(shù))

(13)

當(dāng)r=0時，在實數(shù)域內(nèi)方程(13)的解為x=±1。

表1是r為小參數(shù)時第1種算法和第2種算法計算結(jié)果的精度。其中，f為根代入式(13)左邊多項式的值，f越小，計算越精確。

表1 2種算法計算結(jié)果的精度

表1可以看出，當(dāng)r=10-8時，第1種算法的解的精度仍然很高，多項式的絕對值lt;2×10-8，而算法2的根誤差已經(jīng)很大，超過了30%，多項式的絕對值達(dá)到1的數(shù)量級；當(dāng)r=0時，第1種算法能得出精確的結(jié)果，而第2種算法完全無法計算出根。這說明第1種算法的數(shù)值精度要高于第2種算法的精度，而且更加穩(wěn)定。

[1]Philip J Schneider， David H Eberly.計算機(jī)圖形學(xué)幾何工具算法詳解[M].第1版.北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[2]Herbison-Evans D.Real Time Animation of Human Figure Drawings with Hidden Lines Omitted[J]. IEE Computer Graphics and Applications, 1982， 2(9)：27～33.

[3]Yi Yunfeng. An Advanced Coiled Tubing Simulator for Calculations of Mechanical and Flow Effects[J].Model Advancements, and Full-Scale Verification Experiments, SPE 89455, 2004.

[編輯] 洪云飛

O241.1；O151.1

A

1673-1409(2009)03-N005-02

2009-05-25

周志宏(1956-)，男，1981年大學(xué)畢業(yè)，博士，教授，現(xiàn)主要從事數(shù)值計算與應(yīng)用方面的研究工作。