在列方程解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程

朱春雷

方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它對豐富學(xué)生解決問題的策略,提高解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。

六年級(上冊)“方程”單元,是在四年級(下冊)和五年級(下冊),學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”“方程的意義”“等式的性質(zhì)”等知識,并能解決簡單的、一步計算的方程,會列方程解答簡單的、一步計算的實際問題的基礎(chǔ)上安排的。本單元教學(xué)內(nèi)容的安排和教學(xué)的設(shè)計是在繼承傳統(tǒng)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上,從便教利學(xué)出發(fā),著眼于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí),加強了學(xué)生的自主探索,注重學(xué)生對方程思想方法和價值的感受和體驗。突破了傳統(tǒng)教材先學(xué)解方程,再利用解方程來解決實際問題的做法,把列方程解決實際問題和解方程安排在一起進行教學(xué),使學(xué)生在列方程解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程。教師在解讀教材,研究教法、學(xué)法,具體教學(xué)中可從以下幾個方面認真把握。

第一,從促進學(xué)生有效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,提高學(xué)習(xí)效率出發(fā),科學(xué)合理安排教學(xué)內(nèi)容

六年級(上冊)教科書“方程”單元安排了兩個例題:例1,西安大雁塔高64米,比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?例2,北京頤和園占地290公頃,其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面大約各有多少公頃?讓學(xué)生解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,學(xué)習(xí)列方程解答兩、三步計算的實際問題。通過這部分內(nèi)容的教學(xué),一方面可以使學(xué)生進一步感受方程的思想和方法,增強用方程方法解決問題的意識和能力;另一方面,也能使學(xué)生進一步積累解方程的經(jīng)驗,從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此,解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,列方程解決兩、三步計算的實際問題,同屬于本單元的教學(xué)內(nèi)容。而會用等式的性質(zhì)解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,能列方程解決一些需要兩、三步計算的實際問題,也同為本單元的教學(xué)目標之一。

教材為了讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)活動,提高學(xué)習(xí)效率,把解方程和列方程解決實際問題的教學(xué)融為一體,同步進行,這是和以前教材不同的編排。在例1里,解2x-22=64這個方程是新知識,用它解答實際問題也是新知識;在例2里,解方程x+3x=290是新授內(nèi)容,解決實際的問題也是新授內(nèi)容。這兩道題既教學(xué)解方程的思路和方法,又教學(xué)列方程的相等關(guān)系和技巧。這樣編排,能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實生活的聯(lián)系。一方面分析實際問題里的數(shù)量關(guān)系,抽象成方程,形成知識與技能的教學(xué)內(nèi)容。如例1,通過分析大雁塔和小雁塔高度的數(shù)量關(guān)系,建立起等量關(guān)系,根據(jù)已知量和未知量的數(shù)量關(guān)系列出方程:2x-22=64。這是需要進行兩步計算才能求出解的方程,學(xué)生以前沒有見過,而今天也是在解決問題的過程中出現(xiàn)的新知識,這提高了學(xué)生的求知欲望,觸動他們好奇心,為了解決實際問題,還必須解這道方程,促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)解方程。這不僅提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容,也提供了學(xué)生自主探索的空間和進行數(shù)學(xué)活動的機會。另一方面,利用方程解決實際問題,使知識技能的教學(xué)具有現(xiàn)實意義,成為數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。如例2,通過學(xué)生學(xué)習(xí)解方程x+3x=290,利用方程的解,順利解決了頤和園的陸地大約有72.5公頃,水面大約有217.5公頃的實際問題。在解決問題的過程中,學(xué)生充分體會到列方程和解方程的實際意義,感受到解方程是解決問題的途徑和必經(jīng)過程,枯燥的知識技能教學(xué)變得有意義、有情趣、有價值。

第二,從引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)方程解法考慮,讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法

解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程的知識基礎(chǔ)主要有兩點:一、等式的性質(zhì);二、化簡ax±bx的方法。前者已在五年級(下冊)教學(xué)過,而且學(xué)生也積累了一定的利用等式的性質(zhì)解只需要一步計算的方程的經(jīng)驗;后者在四年級(下冊)教學(xué)用字母表示數(shù)時已安排相應(yīng)的例題。因為有這些因素,教材沒有把解方程作為教學(xué)的重點,而是把列方程解決實際問題作為教學(xué)的主線,讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法。例1教學(xué),首先引導(dǎo)學(xué)生利用題中數(shù)量之間的相等關(guān)系列出方程2x-22=64,學(xué)生對這個方程既熟悉又陌生,熟悉的是ax=c的解法,而這個方程多了“-22”該怎么辦?新的問題產(chǎn)生了。這時學(xué)生初次面對兩步解,就要在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,運用轉(zhuǎn)化的策略把稍復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化成五年級(下冊)里教學(xué)的簡單方程。化復(fù)雜為簡單、變未知為已知是人們解決新穎問題的常用策略。教材給出了解這個方程的第一步運算,教師要鼓勵學(xué)生自主解釋并理解運算的依據(jù),并接著解出這個方程,從而初步掌握解法。例2的教學(xué)是讓學(xué)生通過解決實際問題,學(xué)習(xí)解形如ax±bx=c的方程。同樣教材也是先引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析題中數(shù)量之間的相等關(guān)系,并在根據(jù)等量關(guān)系列出方程后,突出轉(zhuǎn)化的過程,鼓勵學(xué)生獨立求解,并通過交流突出解例2這樣的方程時,一般要先化簡,即兩步轉(zhuǎn)化成一步,復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化成簡單方程,使新知識植根于已有的經(jīng)驗和能力的基礎(chǔ)上。教材為什么示范了解方程的全過程,目的除了規(guī)范格式、理清解答過程,還有一個目的就是說明這道題利用方程要解決兩個實際問題:陸地面積和水面面積。然后重點啟發(fā)學(xué)生結(jié)合題意檢驗方程,進一步理解并掌握解方程的完整過程。

例1和例2都有列方程和解方程兩個教學(xué)內(nèi)容,列出的方程必須正確地解答,才可能得到正確的答案。解方程雖然不是教學(xué)的主線,但它也是教學(xué)的主要內(nèi)容。

因此教學(xué)過程中,學(xué)生在初步掌握解方程的方法后,又在后面練習(xí)里專門安排了解方程,加強了解方程的練習(xí),“練習(xí)一”的“1.解方程。4x+20=56,1.8+7x=3.9,5x-8.3=10.7?！笔窃诶?解方程的基礎(chǔ)上又向兩個方向擴展,一是引出了a+bx=c、ax-b=c等結(jié)構(gòu)與例題不完全相同的方程,二是把小數(shù)及運算納入了方程。只要體會了例題里解方程的轉(zhuǎn)化思想和轉(zhuǎn)化方法,會進行小數(shù)計算就能適應(yīng)這兩個方面的擴展。練習(xí)過程中要先讓學(xué)生說說解每道方程的第一步要怎樣做,以及這樣做的根據(jù)是什么,然后讓學(xué)生獨立完成。交流時,除了關(guān)注學(xué)生是否求得了正確的解,還要關(guān)注學(xué)生解方程的過程是否進行了檢驗。這樣及時的練習(xí)使解方程的思路和方法得到了進一步鞏固,也更好達成了解方程這個重要的教學(xué)目標。

第三,從學(xué)生的實際思維和有利于學(xué)生發(fā)展的角度,正確看待解方程的不同思路和不同解法

教材中突出了利用等式的性質(zhì)解方程的方法,如例1第一步“2x-22+22=64+22”,要讓學(xué)生清楚地理解,根據(jù)等式的性質(zhì),在方程的兩邊同時加上22,就可以使方程變形為“2x=?”,即把兩步轉(zhuǎn)化為一步,新方程轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的方程。應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程,較好地解決了關(guān)于方程解法的中、小學(xué)銜接問題。教材專門改變了在小學(xué)階段利用四則運算的意義、四則運算互逆關(guān)系及相關(guān)運算律解方程的傳統(tǒng)做法,所以,在五年級(下冊)剛學(xué)習(xí)方程時就引入等式的性質(zhì),并應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程。

能解方程和會解方程是學(xué)生的基本技能,也是學(xué)習(xí)能力。教師在幫助學(xué)生掌握教材提供的利用等式的性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上,教師要尊重學(xué)生解決問題的實際情況,尊重他們所看好的策略和方法,從有利于學(xué)生思維、有利于學(xué)生解決問題和有利于學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā),正確地對待學(xué)生不同的思考和運用不同的方法解方程。當學(xué)生能根據(jù)四則運算的意義、四則運算的互逆關(guān)系,將例1解方程的過程由“2x-22=64”直接推出“2x=64+22”,并接著寫“2x=86,x=43”把方程解出來,教師對于學(xué)生這樣的思考和解法應(yīng)給予充分肯定,而且要說明能解方程和會解方程是目的。

既然讓學(xué)生在列方程解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程,那么,解方程的學(xué)習(xí)也應(yīng)該和數(shù)量關(guān)系的分析聯(lián)系起來。學(xué)生根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系可以列出不同的方程,也反映出學(xué)生在解方程時也會有各自獨到的思考過程,我們應(yīng)該尊重不同的思考,并幫助他們理清思路。當學(xué)生思考“怎樣才能使大雁塔的高度是小雁塔高度的2倍”這個問題,并且得出“只要64米加上22米,它們的和不就是小雁塔高度的2倍嗎”的結(jié)論。這時學(xué)生很順利地列出方程“2x=64+22”,當中也就蘊涵著解法的思考,說不定學(xué)生就會干脆用算術(shù)方法“(64+22)÷2=43(米)”解答了。其實解方程也會加深對數(shù)量關(guān)系的分析,幫助學(xué)生分析問題、解決問題,“小雁塔高度的2倍”不正好與“大雁塔的高度加上22米的和”建立起等量關(guān)系了嗎!同時也讓學(xué)生感受到解方程在解決實際問題過程中的價值。教學(xué)中,我們要充分尊重教材,領(lǐng)會教材的意圖,幫助學(xué)生完成必需的學(xué)習(xí)任務(wù),如分析數(shù)量關(guān)系列方程時,我們要引導(dǎo)學(xué)生按條件敘述的順序進行思考,而不能鼓勵他們喜歡怎么想就怎么想。在此基礎(chǔ)上,我們就要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實際,從利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考,促進學(xué)生有效發(fā)展的角度,科學(xué)地、綜合地、全面地考慮,通過創(chuàng)新教學(xué),使教學(xué)真正扎實、有效和有可持續(xù)發(fā)展性。

第四,從學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗和數(shù)學(xué)思想的滲透的高度思考,讓學(xué)生在解方程和列方程解決實際問題的過程中感受方程的思想方法和價值

我們要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗,在解方程和列方程解決實際問題的過程中,進一步感受方程的思想方法和價值。在教學(xué)解方程時,都是根據(jù)實際問題,通過分析數(shù)量關(guān)系列出方程,再引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握方程的解法。這樣既使學(xué)生體會到方程是解決實際問題的需要,又能使學(xué)生認識到列方程需要依據(jù)數(shù)量之間的相等關(guān)系。教材中安排的實際問題是需要逆向思考的問題,學(xué)生經(jīng)過列方程解決這樣的實際問題,體會到列方程解決實際問題可以按條件的敘述順序,通過正向思考解決。一方面降低了解決實際問題的思維難度,拓寬了學(xué)生解決實際問題的思路;另一方面也有利于學(xué)生在列方程解決實際問題的過程中,更好地感受方程的思想,體會方程的實際應(yīng)用價值。

在學(xué)生掌握列方程和解方程后,教師注意引導(dǎo)把列方程和解方程與其他知識相結(jié)合,繼續(xù)解決一些實際問題,如要求學(xué)生列方程解答已知三角形的面積和底,求高的實際問題。并和現(xiàn)實生活中的一些實際問題聯(lián)系起來,用方程的方法去思考解答。這樣在不同的情境中應(yīng)用方程的知識和方法,有助于學(xué)生把握方程思想的普遍意義,不斷提高解方程和列方程解決實際問題的能力。

解方程和列方程解決實際問題的教學(xué),是通過組織有效的數(shù)學(xué)活動,使學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成式與方程的過程,積累了將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗,進一步感受方程的思想方法及價值,發(fā)展了抽象思維能力和符號意識。而學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中,也養(yǎng)成獨立思考、主動與他人合作交流、自覺檢驗等習(xí)慣。由解方程和列方程解決實際問題獲得的成功體驗,也為學(xué)生增加了探究問題的好奇心和進一步樹立了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。這些更是我們用好教材,創(chuàng)新教學(xué),促進學(xué)生發(fā)展所要努力探究的。